专题17 全等与相似模型-对角互补模型（原卷版）

专题17 全等与相似模型-对角互补模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本 解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、旋转中的对角互补模型 对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。 思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋 转的构造，构造手拉手全等。 常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60° 对角互补模型、 2α-（180°-2α）对角互补模型。 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠B＝∠DE＝90°，平分∠B 结论：①D＝E，②D＋E＝ ，③ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DE 的一边与的延长线交于点D，∠B＝∠DE＝90°，平分∠B[ZXXK] 结论：①D＝E，②E－D＝ ，③ 3）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠B＝2∠DE＝120°，平分∠B 结论：①D＝E，②D＋E＝，③ 4）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠B＝2∠DE＝120°，平分∠B，∠DE 的一边与B 的延长线交于点D， 结论：①D＝E，②D－E＝，③ 5）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△B 是等腰三角形，且∠B=120°，∠BP=60°。 结论：①PB+P= P； 6）“2α 对180°-2α 模型” 条件：四边形BD 中，P=BP, + ∠∠B=180° 结论：P 平分∠B 注意：①P=BP，②∠+∠B=180°，③P 平分∠B，以上三个条件可知二推一。 7）“蝴蝶型对角互补模型” 条件：P=BP,∠B= P ∠B 结论：P 平分∠B 的外角。 例1．（2023·黑龙江黑河·八年级期中）Rt△B 中，B=，点D 为B 中点．∠MD=90°，∠MD 绕点D 旋转， DM、D 分别与边B、交于E、F 两点．下列结论：①(BE+F)= B，② ，③ D·EF，④D≥EF 其中正确结论的个数是（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 例2．（2022 辽宁九年级期末模拟）已知∠B＝90°，在∠B 的平分线M 上有一点，将一个三角板的直角顶点 与重合，它的两条直角边分别与，B(或它们的反向延长线)相交于点D，E 当三角板绕点旋转到D 与垂直时(如图①)，易证：D＋E＝ ； 当三角板绕点旋转到D 与不垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成立，请 给予证明：若不成立，线段D，E，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 例3．（2022 秋·四川绵阳·九年级校联考阶段练习）已知 ， ， 是过点 的直线， 过点 作 于点 ，连接 ．(1)问题发现：如图(1)，过点 作 ，与 交于点 ， 、 、 之间的数量关系是什么？并给予证明．(2)拓展探究：当 绕点 旋转到如图(2)位置时， 、 、 之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 例4．（2022 四川宜宾八年级期末）如图1， ， 平分 ，以 为顶点作 ， 交 于点 ， 于点E （1）求证： ；（2）图1 中，若 ，求 的长； （3）如图2， ， 平分 ，以 为顶点作 ，交 于点 ， 于点 若 ，求四边形 的面积． 例5．（2022 湖北省宜城市八年级期末）如图，已知∠B=120°，在∠B 的平分线M 上有一点，将一个60°角 的顶点与点重合，它的两条边分别与直线、B 相交于点D、E． （1）当∠DE 绕点旋转到D 与垂直时（如图1），请猜想E+D 与的数量关系，并说明理由；（2）当∠DE 绕点旋转到D 与不垂直时，到达图2 的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DE 绕点旋 转到D 与的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段D、E 与之间 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 例6．（2023·山东·九年级专题练习）如图，△B 是边长为4 的等边三角形，点D 是线段B 的中点， ∠EDF=120°，把∠EDF 绕点D 旋转，使∠EDF 的两边分别与线段B、交于点E、F．（1）当DF⊥时，求证： BE=F； （2）在旋转过程中，BE+F 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由 例7．（2022 山东省枣庄市一模）如图，已知 ，在 的角平分线 上有一点 ，将一 个 角的顶点与点 重合，它的两条边分别与射线 相交于点 （1）如图1，当 绕点 旋转到 与 垂直时，请猜想 与 的数量关系，并说明理由； （2）当 绕点 旋转到 与 不垂直时，到达图2 的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理 由； （3）如图3，当 绕点 旋转到点 位于 的反向延长线上时，求线段 与 之间又有怎 样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明 例8（2023·浙江金华·校考三模）如图，点P 为定角∠B 的平分线上的一个定点，且∠MP 与∠B 互补，若∠MP 在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与、B 相交于M、两点，则以下结论：（1）PM＝P 恒成立；（2）M ﹣的值不变；（3）△M 的周长不变；（4）四边形PM 的面积不变，其中正确的序号为_____． 模型2 对角互补模型（相似模型） 【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向 两边做垂线，从而证明两个三角形相似 【常见模型及结论】 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△B 中，∠＝∠EF＝90°，点是B 的中点， 辅助线：过点作D⊥，垂足为D，过点作⊥B，垂足为， 结论：①△DE∼△F；② （思路提示： ） 2）对角互补相似2 条件：如图，已知∠B＝∠DE＝90°，∠B＝ 图1 图2 辅助线：作法1：如图1，过点作F⊥，垂足为F，过点作G⊥B，垂足为G； 结论：①△EG∼△DF；②E＝D· （思路提示： ，F=G，在Rt△G 中， ） 辅助线：作法2：如图2，过点作F⊥，交B 于F； 结论：①△FE∼△D；②E＝D· （思路提示： ，在Rt△F 中， ） 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形BD 中，∠B+∠D=180°。 辅助线：过点D 作DE⊥B，垂足为E，过点D 作DF⊥B，垂足为F； 结论：①△DE∼△DF；②BD 四点共圆。 例1．（2023·成都市·九年级期中）如图所示，在 中， ， ，在 中， ，点P 在 上， 交 于点E， 交 于点F．当 时， 的值为（ ）． ．1 B．2 ．3 D．4 例2．（2023·河南南阳·九年级统考阶段练习）如图，在等腰直角 中， ， ，过 点 作射线 ， 为射线 上一点， 在边 上（不与 重合）且 ， 与 交于点 ．（1）求证： ；（2）求证： ；（3）如果 ，求证： ． 例3．（2023·广西河池·校联考一模）综合与实践【问题情境】在 中， ， ， ，在直角三角板 中， ，将三角板的直角顶点 放在 斜边 的中点处， 并将三角板绕点 旋转，三角板的两边 ， 分别与边 ， 交于点 ， ． 【猜想证明】如图，在三角板旋转过程中，当 为边 的中点时，试判断四边形 的形状，并说 明理由．【问题解决】如图 ，在三角板旋转过程中，当 时，求线段 的长． 例4．（2023 年江西省南昌市月考）如图，两个全等的四边形 和 ，其中四边形 的顶 点位于四边形 的对角线交点． (1)如图1，若四边形 和 都是正方形，则下列说法正确的有_______．（填序号） ① ；②重叠部分的面积始终等于四边形 的 ；③ ． (2)应用提升:如图2，若四边形 和 都是矩形， ，写出 与 之间的数量关 系，并证明． (3)类比拓展:如图3，若四边形 和 都是菱形， ，判断（1）中的结论是否依然成立； 如不成立，请写出你认为正确的结论（可用 表示），并选取你所写结论中的一个说明理由． 例5．（2023 辽宁中考模拟）如图，在Rt B 中，＝B，∠B＝90°，点在线段B 上（点不与点，B 重合）， 且B＝k，点M 是延长线上的一点，作射线M，将射线M 绕点逆时针旋转90°，交射线B 于点．（1）如图 1，当k＝1 时，判断线段M 与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当k＞1 时，判断线段M 与的数量关系（用含k 的式子表示），并证明；（3）点P 在射线B 上，若∠B＝15°，P＝kM（k≠1），且 ＜ ，请直接写出 的值（用含k 的式子表示）． 例6．（2023 浙江中考二模）（1）特例感知：如图1，已知在Rt B 中，∠B＝90°，B＝，取B 边上中点 D，连接D，点E 为B 边上一点，连接DE，作DF⊥DE 交于点F，求证：BE＝F； （2）探索发现：如图2，已知在Rt B 中，∠B＝90°，B＝＝3，取B 边上中点D，连接D，点E 为B 延长 线上一点，E＝1，连接DE，作DF⊥DE 交延长线于点F，求F 的长； （3）类比迁移：如图3，已知在 B 中，∠B＝120°，B＝＝4，取B 边上中点D，连接D，点E 为射线B 上 一点（不与点、点B 重合），连接DE，将射线DE 绕点D 顺时针旋转30°交射线于点F，当E＝4F 时，求 F 的长． 课后专项训练 1．（2022·江苏·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系xy 中，,B 两点分别在x 轴，y 轴的正半轴上， 且=B，点在第一象限，=3，连接B，，若∠B=90°，则B+的值为_________． 2．（2023 广东九年级期中）如图， 为等边三角形，以 为边向外作 ，使 ，再 以点为旋转中心把 旋转到 ，则给出下列结论：①D，，E 三点共线；② 平分 ；③ ；④ ．其中正确的有（ ）． ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 3（2023·山西临汾·统考二模）在菱形 中， ，对角线 交于点 ， 分别是 边上的点，且 与 交于点 ，则 的值为 ． 4．（2023 青岛版九年级月考）如图，在 中， ， ，直角 的顶点 在 上， 、 分别交 、 于点 、 ， 绕点 任意旋转．当 时， 的值为 ；当 时， 为 ．（用含 的式子表示） 5．（2023•西城区校级期中）已知，如图，在四边形BD 中，B＞B，∠+∠＝180°，DE⊥B，BD 平分∠B， 试说明D＝D． 6．（2023•阜新中考模拟）如图，在△B 中，∠B＝90°，B＝，D⊥B 于点D． （1）如图1，点E，F 在B，上，且∠EDF＝90°．求证：BE＝F； （2）点M，分别在直线D，上，且∠BM＝90°． ①如图2，当点M 在D 的延长线上时，求证：B+＝ M； ②当点M 在点，D 之间，且∠M＝30°时，已知B＝2，直接写出线段M 的长． 7、（2023 重庆九年级期中）已知：如图，在等边△B 中，点是B 的中点，∠DE＝120°，∠DE 绕着点旋转， 角的两边与B 相交于点D，与相交于点E． (1)若D，E 都在B 的上方，如图1，求证：D＝E．(2)在图1 中，BD，E 与B 的数量关系是 ． (3)若点D 在B 的延长线上，点E 在线段上，如图2，直接写出BD，E 与B 的数量关系是 ． 8．（2022 山西省吕梁市八年级期末）如图，已知 与 ， 平分 ． (1)如图1， 与 的两边分别相交于点 、 ， ，试判断线段 与 的 数量关系，并说明理由 以下是小宇同学给出如下正确的解法：解： ． 理由如下：如图1，过点 作 ，交 于点 ，则 ，… 请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分． (2)你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．(3)若 ， ． ①如图3， 与 的两边分别相交于点 、 时，(1)中的结论成立吗？为什么？线段 、 、 有什么数量关系？说明理由．②如图4， 的一边与 的延长线相交时，请回答(1)中的结 论是否成立，并请直接写出线段 、 、 有什么数量关系；如图5， 的一边与 的延长线 相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段 、 、 有什么数量关系． 9．（2022·湖北武汉·八年级校考期末）已知在四边形 中， ， (1)如图1．连接 ，若 ，求证： (2)如图2，点 分别在线段 上，满足 ，求证： ; (3)若点 在 的延长线上，点 在 的延长线上，如图3 所示，仍然满足 ，请写出 与 的数量关系，并给出证明过程． 10．（2023·山东青岛·八年级统考期中）[问题]如图①，点 是 的角平分线 上一点，连接 ， ，若 与 互补，则线段 与 有什么数量关系？ [探究]探究一：如图②，若 ，则 ，即 ， ，又因为 平分 ，所以 ，理由是：_______． 探究二：若 ，请借助图①，探究 与 的数量关系并说明理由． [结论]点 是 的角平分线 上一点，连接 ， ，若 与 互补，则线段 与 的数量 关系是______． [拓展]已知：如图③，在 中， ， ， 平分 ．求证： ． 11．（2022·陕西宝鸡·统考二模）问题提出 （1）如图1，四边形BD 中， ， 与 互补， ，点到B 边的距离为17，求四 边形BD 的面积． 问题解决（2）某公计划修建主题活动区域，如图2 所示， ， ， ，在B 上 找一点E，修建两个不同的三角形活动区域，△BE 区域为体育健身活动区域，△ED 为文艺活动表演区域，根 据规划要求， ， ，设E 的长为x(m)，△ED 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式， 并求出△ED 面积的最大值． 12．（2023 山东中考模拟）如图，矩形BD 中，∠B=30°，将一块直角三角板的直角顶点P 放在两对角线， BD 的交点处，以点P 为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边B，B 所在的直线相交， 交点分别为E，F．（1）当PE⊥B，PF⊥B 时，如图1，则 的值为 ； （2）现将三角板绕点P 逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求 的值；（3）在（2）的基础上继续 旋转，当60°＜α＜90°，且使P：P=1：2 时，如图3， 的值是否变化？证明你的结论． 13．（2022 秋·河南鹤壁·九年级统考期末）已知在 中， ， ， ， 为 边上的一点．过点 作射线 ，分别交边 、 于点 、 ． （1）当 为 的中点，且 、 时，如图1， _______： （2）若 为 的中点，将 绕点 旋转到图2 位置时， _______； （3）若改变点 到图3 的位置，且 时，求 的值． 14．（2023·浙江台州·九年级校考阶段练习）【问题情境】如图①，在 中， ， ，点 为 中点，连结 ，点 为 的延长线上一点，过点 且垂直于 的直线交 的 延长线于点 易知BE 与F 的数量关系 ． 【探索发现】如图②，在 中， ， ，点 为 中点，连结 ，点 为 的延长线上一点，过点 且垂直于 的直线交 的延长线于点 【问题情境】中的结论还成立吗？请 说明理由．【类比迁移】如图③，在等边 中， ，点 是 中点，点 是射线 上一点 （不与点 、 重合），将射线 绕点 逆时针旋转 交 于点 ．当 时， ______． 15．（2023 广东中考模拟）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形” （1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子； （2）问题探究；如图1，在等邻角四边形BD 中，∠DB= B ∠，D，B 的中垂线恰好交于B 边上一点P，连结， BD，试探究与BD 的数量关系，并说明理由； （3）应用拓展；如图2，在Rt B △与Rt BD △ 中，∠= D=90° ∠ ，B=BD=3，B=5，将Rt BD △ 绕着点顺时针旋转 角α（0°＜∠α＜∠B）得到Rt B D △′ ′（如图3），当凸四边形D B ′ 为等邻角四边形时，求出它的面积． 16．（2023 年成都市中考模拟）（1）如图，Rt B 中，∠＝90°，B＝，D 为B 中点，E、F 分别为B、上的 动点，且∠EDF＝90°．求证：DE＝DF；（2）如图2，Rt B 中，∠B＝90°，＝4，B＝3，D⊥B，∠EDF＝ 90°．①求证：DF•D＝DB•DE；②求EF 的最小值． 17．（2023 浙江省绍兴市九年级期中）如图，在Rt△B 中，∠B=90°，B=6，=8，点D 为边B 的中点，点P 为射线B 上的一动点，点Q 为边上的一动点，且∠PDQ=90°． （1）当DP B ⊥时，求Q 的长； （2）当BP=2，求Q 的长． 18．（2023·湖北·九年级专题练习）如图，四边形 是矩形，点P 是对角线上一动点（不与、重合）， 连接 ，过点P 作 ，交 于点E，已知 ， ．设 的长为x． (1) ___________；当 时，求 的值；(2)试探究： 是否是定值?若是，请求出这个值；若不是， 请说明理由；(3)当 是等腰三角形时，请求出 的值． 19．（2023 秋·山西忻州·九年级校考期末）综合与实践 问题情境：在学习了三角形的相似后，同学们开始了对不同三角形中的相似模型的探究． 猜想推理：（1）如图1，在等边 中，D 为 边上一点，E 为 边上一点， ， ， ，则 ______．问题解决：（2）如图2， 是等边三角形，D 是 的中点，射线 ， 分别交 ， 于点E，F，且 ，求证： ．（3）如图3， ， ， ，D 是 的中点，射线 ， 分别交 ， 于点E，F，且 ，求 的值． 20．（2023 广东深圳三模试题）（1）【探究发现】如图1，正方形 的对角线相交于点 ，在正方 形 绕点 旋转的过程中，边 与边 交于点 ，边 与边 交于点 ．证明： ； （2）【类比迁移】如图2，矩形 的对角线相交于点 ，且 ， ．在矩形 绕点 旋转的过程中，边 与边 交于点 ，边 与边 交于点 ．若 ，求 的长； （3）【拓展应用】如图3，四边形 和四边形 都是平行四边形，且 ， ， ， 是直角三角形．在 绕点 旋转的过程中，边 与边 交于点 ，边 与边 交于点 ．当 与 重叠部分的面积是 的面积的 时，请直接写出 的 长．