85 常见全等辅助线添加秘籍

常见全等辅助线添加秘籍—精准解读 《学习目标分解》 1.会添加倍长中线模型、截长补短模型的辅助线构造三角形全等； 2.会利用全等三角形的性质和判定进行相关的计算和证明 《重难点精准分析》 1.全等辅助线的添加； 2.全等三角形的性质和判定的综合应用 《专题精准分析》 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容， 本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题 分析，方便掌握。 模型1 倍长中线模型 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用 “倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造 出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题 已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 【常见模型及证法】 1、基本型：如图1，在三角形B 中，D 为B 边上的中线 证明思路：延长D 至点E，使得D=DE 若连结BE，则 ；若连结E，则 ； 2、中点型:如图2， 为 的中点 证明思路：若延长 至点 ，使得 ，连结 ，则 ; 若延长 至点 ，使得 ，连结 ，则 3、中点+平行线型：如图3, ，点 为线段 的中点 证明思路：延长 交 于点 (或交 延长线于点 )，则 倍长中线型辅助线 倍长中线型辅助线一般跟中点相关，在初中阶段与中点相关的辅助线大体分成三大类： 倍长中线（这里的中线指的是过中点的任意线段）、直角三角形斜边中线、中位线其中后 两种辅助线会在初二下学期的四边形章节中讲到，在此不做过多讲解，本节所讲的中点相 关的辅助线主要是倍长中线型辅助线（这里的中线指的是过中点的任意线段），此种模型 的本质都是构造“8 字型”全等，主要分成三类处理方法： （1）倍长中线型——这里的中线指的是标准的三角形的中线，具体模型如下： 已知：点D 为边的中点 作法：延长BD 至E，使得DE=BD，连结E （2）倍长过中点的任意线段型——这里只需要出现中点即可构造，具体模型如下： 已知：点D 为边的中点 作法：延长FD 至E，使得DE=DF，连结E （3）平行线构造“8 字型”——中点不是三角形的边的中点，具体模型如下： 已知：点E 为DF 的中点 作法：过点D 作DM//F，交于点M 另外，平行线构造“8 字型”的模型还可以有以下两种类型： 典例1 如图，D 是△B 的中线，BE 交于E，交D 于F，且E=EF，求证：=BF． 【答】证明：∵D 是△B 的中线，∴BD=D． 方法一：延长D 至点M，使DM=D，连接BM， 在△D 和△MDB 中， ， D MDB ∴△≌△ （SS）， M= M ∴∠ ∠ ，BM=， E=EF ∵ ， M= FE ∴∠ ∠ ，而∠FE= BFM ∠ ， M= BFM ∴∠ ∠ ， BM=BF ∴ ， BF= ∴ ． 方法二：延长D 至点M，使MD=FD，连接M， 在△BDF 和△DM 中， ， BDF DM ∴△ ≌△ （SS）． M=BF ∴ ，∠M= BFM ∠ ． E=EF ∵ ， EF= EF ∴∠ ∠ ， FE= BFM ∵∠ ∠ ， M= M ∴∠ ∠ ， =M ∴ ， BF= ∴ 【精准解析】有两种解法：①延长D 至点M，使MD=FD，连接M，则可证△BDF DM ≌△ （SS），可得M=BF，∠M= BFM ∠ ，再得∠M= M ∠ ，得=M=BF．②延长D 至点M，使 DM=D，连接BM，可证△D MDB ≌△ （SS），方法与①相同． 练习1 八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，D 是△B 的中线，延长D 至点E，使ED=D，连接BE，写出图中全等的两个 三角形 【理解与应用】 （2）填空：如图2，EP 是△DEF 的中线，若EF=5，DE=3，设EP=x，则x 的取值范围是 ． （3）已知：如图3，D 是△B 的中线，∠B= B ∠，点Q 在B 的延长线上，Q=B，求证： Q=2D． 【答】（1）证明：在△D 与△EDB 中， ， D EDB ∴△≌△ ；故答为：△D EDB ≌△ ； （2）解：如图2，延长EP 至点Q，使PQ=PE，连接FQ， 在△PDE 与△PQF 中， ， PEP QFP ∴△ ≌△ ，∴FQ=DE=3， 在△EFQ 中，EF FQ ﹣ ＜QE＜EF+FQ，即5 3 ﹣＜2x＜5+3， x ∴的取值范围是1＜x＜4；故答为：1＜x＜4； （3）证明：如图3，延长D 到M，使MD=D，连接BM， M=2D ∴ ， D ∵ 是△B 的中线，∴BD=D， 在△BMD 与△D 中， ， BMD D ∴△ ≌△， BM= ∴ ，∠M= D ∠， B= BM+ D= BM+ M ∴∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ， B= Q+ Q ∵∠ ∠ ∠，B=B， Q=180°﹣ ∵∠ （∠Q+ Q ∠），∠MB=180°﹣（∠BM+ M ∠ ）， Q= MB ∴∠ ∠ ， Q=B ∵ ， Q=B ∴ ， 在△Q 与△MB 中， ， Q MB ∴△≌△ ，∴Q=M=2D． 【精准解析】（1）根据全等三角形的判定即可得到结论；（2）延长EP 至点Q，使 PQ=PE，连接FQ，根据全等三角形的性质得到FQ=DE=3，根据三角形的三边关系即可得 到结论；（3）延长D 到M，使MD=D，连接BM，于是得到M=2D 由已知条件得到 BD=D，根据全等三角形性质得到BM=，∠M= D ∠，得到∠B= BM+ D= BM+ M ∠ ∠ ∠ ∠ ，推出 △Q MB ≌△ ，根据全等三角形的性质即可得到结论． 《小结》 当题目中出现中线时，常会考利用倍长中线型模型添加辅助线，构造“8 字型”的全等 典例2 如图，在△B 中，B＞，E 为B 边的中点，D 为∠B 的平分线，过E 作D 的平行线，交 B 于F，交的延长线于G．求证：BF=+F． 【答】证明：延长FE 至Q，使EQ=EF，连接Q， E ∵ 为B 边的中点， BE=E ∴ ， ∵在△BEF 和△EQ 中， ， BEF EQ ∴△ ≌△ ， BF=Q ∴ ，∠BFE= Q ∠， D ∵ 平分∠B， D= BD ∴∠ ∠ ， EF D ∵ ∥， D= G ∴∠ ∠，∠BD= GF ∠ ， G= GF ∴∠ ∠ ， GF= BFE ∴∠ ∠ ，G=F， BFE= Q ∵∠ ∠（已证）， G= Q ∴∠ ∠， Q=G ∴ ， Q=BF ∵ ， BF=G=G+=F+ ∴ ． 【精准解析】延长FE 至Q，使EQ=EF，连接Q，根据SS 证△BEF EQ ≌△ ，推出BF=Q， ∠BFE= Q ∠，根据平行线性质和角平分线性质推出∠G= GF= BFE ∠ ∠ ，推出∠G= Q ∠，推出 Q=G 即可． 练习1 已知：如图，△B（B≠）中，D、E 在B 上，且DE=E，过D 作DF B ∥ 交E 于点F， DF=．求证：E 平分∠B． 【答】证明：如图，延长FE 到G，使EG=EF，连接G． 在△DEF 和△EG 中， ∵ ， DEF EG ∴△ ≌△ ． DF=G ∴ ，∠DFE= G ∠． DF B ∵ ∥， DFE= BE ∴∠ ∠ ． DF= ∵ ， G= ∴ ． G= E ∴∠ ∠． BE= E ∴∠ ∠，即E 平分∠B． 【解析】延长FE 到G，使EG=EF．连接G，由于已知条件通过SS 证得△DEF EG ≌△ 得到 DF=G，∠DFE= G ∠，由平行线的性质和已知条件得到∠G= E ∠，故有∠BE= E ∠，结论可得． 《小结》 当题目中出现中点，而没有合适的中线可以倍长时，也可以考虑倍长过中点的任意一条线 段，构造“8 字型”全等 典例3 如图，△B 中，B=，D 在B 上，F 在的延长线上，且BD=F，连接DE 交B 于E．求 证：DE=EF． 【答】证明：过D 点作F 的平行线交B 于G 点， EF= DGE ∴∠ ∠ ， DGB= B ∴∠ ∠ B= ∵ ， B= B ∴∠ ∠， B= DGB ∴∠ ∠ ， DG=BD ∴ ， BD=F ∵ ， DG=F ∴ ． 由∠EF= DGE ∠ ，∠DEG= EF ∠ ，DG=F 可得△DGE FE ≌△ （S）， DE=EF ∴ ． 【精准解析】过D 点作F 的平行线交B 于G 点，利用等腰三角形的性质和平行线的性质， 求证△DGE FE ≌△ 即可 练习1 如图，已知∠B+ DE=180° ∠ ，=E．求证：B=DE． 【答】证明：如图，过E 点作E B ∥ 交BD 的延长线于，故∠= E ∠， 在△B 与△E 中， B E ∴△≌△（S）， B=E ∴ ， B+ DE=180° ∵∠ ∠ ， DE+ DE=180° ∠ ∠ DE= B= ∴∠ ∠ ∠， DE=E ∴ ． B=E ∵ ， B=DE ∴ ． 【精准解析】如图，过E 点作E B ∥ 交BD 的延长线于．构建全等三角形△B E ≌△（S），则由 全等三角形的性质得到B=E；然后结合已知条件得到DE=E，所以B=E，由等量代换证得 B=DE． 《小结》 当题目中出现中点，但此中点不是三角形的某条边的中点，只是与三角形某条边有交点时 则可以考虑利用作平行线的方法构造“8 字型”的全等 模型2 截长补短模型 【模型解读】 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分 线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往 需证2 次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知 线段。 【常见模型及证法】 截长补短法添加辅助线 在已知条件中、证明的结论中出现某三条线段，甚至是四条线段的关系时（或者猜想 某三条线段的关系时），优先考虑的就是方法就是截长、补短法截长和补短是两种方法： 截长是把长线段截成两条短线段；补短是把两条短线段之一补成一条长线段，两种方法有 时候可以通用，但是由于证明方法和已知条件的局限性，有时候会需要学生辨别一下具体 使用截长还是补短，所以分析已知条件非常重要 举例说明： 1 当三线关系出现在已知条件中，如：已知=B+BD，则 （1）截长法 具体操作：在线段上截取M=B 条件转化：已知条件“=B+BD”就变成了“M=B 和M=BD” 【注】当然也可以在线段上截取M=BD，具体截取的方法选择，由题中的其他已知条件决 定 （2）补短法 具体操作：延长B 至，使得= 条件转化：已知条件“=B+BD”就变成了“=和B=BD” 【注】当然也可以延长B、BD、DB，具体延长哪条线段、向哪个方向延长，由题中的其 他已知条件决定 2.当三线关系出现在待证明的结论中，如：证明=B+BD，则 （1）截长法 具体操作：在线段上截取M=B 条件转化：待证明的结论“=B+BD”就变成了“M=BD”，而多出了一个已知条件“M=B” 【注】当然也可以在线段上截取M=BD，具体截取的方法选择，由题中的其他已知条件决 定 （2）补短法 具体操作：延长B 至，使得= 条件转化：待证明的结论“=B+BD”就变成了“B=BD”，而多出了一个已知条件“=” 【注】当然也可以延长B、BD、DB，具体延长哪条线段、向哪个方向延长，由题中的其 他已知条件决定 截长补短模型证明问题 【专题说明】 截长补短法在初中几何学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这 种方法一直贯穿着整个几何学的始终那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层 意思,即截长和补短截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段, 证剩下的那一段等于另外一段较短的线段当条件或结论中出现+b=时，用截长补短． 【知识总结】 1、补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造 的线段和求证中那一条线段相等； 2、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证 明截剩部分与线段中的另一段相等。 3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条 线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种做法一般 遇到证明三条线段之间关系是常用 如图1，若证明线段B,D,EF 之间存在EF=B+D,可以考虑截长补短法 截长法：如图2，在EF 上截取EG=B,在证明GF=D 即可； 补短法：如图3，延长B 至点，使B=D,再证明=EF 即可 【类型】一、截长 “截长”是指在较长的线段上截取另外两条较短的线段，截取的作法不同，涉及四种方法。 方法一： 如图2 所示，在BF 上截取BM=DF， 易证△BM DF ≌△ （SS）， 则M=F=FG，∠BM= DF ∠ ， 可得△MF 为等腰直角三角形， 又可证∠FE=45°，∠FG=90°， FG= MF ∠ ∠ ，FG M ∥ ， 可得四边形GFM 为平行四边形，则G=MF， 于是BF=BM+MF=DF+G 图2 方法二： 如图2 所示，在BF 上截取FM=G， 可证四边形GFM 为平行四边形， 可得M=FG=F； 可得∠BF= BD=45° ∠ ，得∠MF=90°； 又得∠BM= DF=135° ∠ ， 于是△BM≌△DF（S），BM=DF， 于是BF=FM+BM=G+DF 上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt BD △ 和△MF。 [来源:Z§xx§km] 方法三： [来源:Z,xx,km] 如图3 所示，在BF 上截取FK=FD，得等腰Rt DFK △ ， 可证得∠DF= KFG=135° ∠ ， 所以△DF KFG ≌△ （SS）， 所以KG=D=B， FKG= FD= BF ∠ ∠ ∠ ，KG B ∥， 得四边形BGK 为平行四边形，BK=G， 于是BF=BK+KF=G+DF 图3 方法四：[来源:Z#xx#km] 如图3 所示，在BF 上截取BK=G， 可得四边形BGK 为平行四边形， B=GK=D，B KG ∥ ， GKF= BF= DF ∠ ∠ ∠ ，[] 根据四边形BFD 为圆的内接四边形， 可证得∠BF=45° ，∠DF= KFG ∠ ， 于是△DF KGF ≌△ （S），DF=KF， 于是BF=BK+KF=G+DF 上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt BD △ 和△KDF。 【类型】二、补短 “补短”指的是选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解 题突破，根据辅助线作法的不同也涉及四种不同的方法。 方法五： 如图4 所示，延长G 至，使=DF， 易证△DF B ≌△（SS）， 可得F=FG=B，∠DF= B=135° ∠ ， 又知∠FG=45°，可证B FG ∥ ， 于是四边形BFG 为平行四边形，得BF=G， 所以BF=G=+G=DF+G 图4[] 方法六： 如图4 所示，延长G 至，使G=BF， 得四边形BFG 为平行四边形， 所以B=GF=F， 又∠DF+ DF= B+ B=45° ∠ ∠ ∠ ， 得∠DF= B ∠， 又D=B，可证△DF B ≌△（SS）， DF=，以下从略 方法七： 如图5 所示，延长G 至P，使P=BF，连接PF， 则四边形PFB 为平行四边形，PF=B=D， 又∠BF=45°，∠PFE= DE ∠ ， 因为∠PFG= FG ∠ －∠P= 45°－∠P， DF= FE ∠ ∠ －∠DF=45°－∠DF， 又可证∠P= BF= DF ∠ ∠ ，于是∠PFG= DF ∠ ， 所以△PFG DF ≌△ （SS），PG=DF， 于是BF=P=G+PG=G+DF 图5 方法八： 如图5 所示，延长G 至P，使GP=DF，连接PF， 可证∠DF= PGF=135° ∠ ，F=F， 所以△DF PGF ≌△ （SS）， 所以D=PF=B， P= DF= BF= PE ∠ ∠ ∠ ∠ ，B FP ∥ ， 所以四边形BPF 为平行四边形， 所以BF=P=G+PG=G +DF 方法九： 如图6 所示，延长DE 至Q， 使DQ=BF，连接Q，GQ， 可证△BF DQ ≌△ （SS）， F=Q，∠BF= DQ ∠ ， 于是可得∠FQ= BD=90° ∠ ， 所以△FQ 为等腰直角三角形， 可得四边形FQG 为正方形，FQ=G， 所以BF=DQ=DF+FQ=DF+G 图6 方法十： 如图6 所示，延长FE 至Q，使FQ=G，通过证明四边形FQG 为正方形，△BF DQ ≌△ ，同样 可以证明结论成立。感兴趣的读者可以自行证明，详细思路从略。 方法十一： 如图7 所示，延长FD 至，使D=G， 可证得∠BDF= BD+ DF ∠ ∠ ， EF= FG+ EG ∠ ∠ ∠ ， 于是∠BDF= EF ∠ ， 则∠BD= BF ∠ ， 所以△BD BF ∽△ （SS）， 得∠= BF=45° ∠ ， 所以△BF 为等腰直角三角形， 于是B F=F=DF+D=DF+G 图7 方法十二： 如图7 所示，延长FD 至，使F=BF， 可得△BF 为等腰直角三角形， 于是∠BD= FB ∠ ，又∠= BF=45° ∠ ， 所以△BD BF ∽△ ， 所以BF=F=DF+D=DF+G 经过上述分析，可知采取不同的切入点，解题思路会有差异。 方法1 截长补短法（往往需证2 次全等） 截长补短法使用范围：线段和差的证明 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+D=D 方法：①在D 上取一点F，使得F=BE，证DF=D； ②在D 上取一点F，使DF=D，证F=BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE+D=D 方法：①延长D 至点M 处，使M=BE，证DM=D； ②延长D 至点M 处，使DM=D，证M=BE （3）旋转：将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等。 注：旋转需要特定条件（两个图形的短边共线） 例：如图，已知B=，∠BM=∠=90°，求证BM+=M 方法：旋转△BM 至△F 处，证E=M 题模：截长补短类 例131 如图所示， 是边长为的正三角形， 是顶角为 的等腰三角形，以 为顶点作一个 的 ，点 、 分别在 、 上，求 的周长． 【答】见解析 【解析】如图所示，延长 到 使 ． 在 与 中，因为 ， ， ， 所以 ，故 ． 因为 ， ，所以 ． 又因为 ，所以 ． 在 与 中， ， ， ， 所以 ，则 ，所以 的周长为 ． 典例1．（1）问题背景：如图1，在四边形BD 中，B＝D，∠BD＝120°，∠B＝∠D＝90°． E，F 分别是B，D