专题12 全等模型-角平分线模型（解析版）

专题12 全等模型-角平分线模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各 类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全 等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 模型1 角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1， 为 的角平分线、 于点时，过点作 结论： 、 ≌ 图1 图2 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在 中， ， 为 的角平分线，过点D 作 结论： 、 ≌ （当 是等腰直角三角形时，还有 ） 图3 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，是∠B 的角平分线，=B，过点作D⊥、E⊥B。 结论：① ；② ；③ 例1．（2022·北京·中考真题）如图，在 中， 平分 若 则 __ __． 【答】1 【分析】作 于点F，由角平分线的性质推出 ，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，作 于点F， ∵ 平分 ， ， ，∴ ， ∴ ．故答为：1． 【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形D 中边的高是解题的关键． 例2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△B 的外角∠D 的平分线P 与内角∠B 的平分线BP 交于点P，若∠BP ＝40°，则∠P＝（ ） ．40° B．45° ．50° D．60° 【答】 【分析】根据外角与内角性质得出∠B 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出 ∠P＝∠FP，即可得出答 【详解】解：延长B，作P⊥BD，PF⊥B，PM⊥，设∠PD＝x°， ∵P 平分∠D，∴∠P＝∠PD＝x°，PM＝P， ∵BP 平分∠B，∴∠BP＝∠PB，PF＝P，∴PF＝PM， ∠ ∵ BP＝40°，∴∠BP＝∠PB＝∠PD﹣∠BP＝（x 40 ﹣ ）°， ∠ ∴ B＝∠D﹣∠B＝2x°﹣（x° 40° ﹣ ）﹣（x° 40° ﹣ ）＝80°，∴∠F＝100°， 在Rt△PF 和Rt△PM 中， ， ∴Rt△PF≌Rt△PM（L），∴∠FP＝∠P＝50°．故选． 【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线 的性质得出PM＝P＝PF 是解题的关键． 例3．（2023·广东中山·八年级校联考期中）如图， 中， 、 的角平分线 、 交于 点P，延长 、 ， ， ，则① 平分 ；② ；③ ；④ ．上述结论中正确的是（ ） ．①② B．①③ ．②③④ D．①②③④ 【答】D 【分析】过点 作 于 ，根据角平分线的判定定理和性质定理即可判断①结论；证明 ， ，得出 ， ，进而得到 ，再利用四边形内角和，即可判断②结论；根据角平分线的定义和三角形的外角性质， 即可判断③结论；根据全等三角形的性质，即可判断④结论． 【详解】解：①如图，过点 作 于 ， 平分 ， ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， ， 平分 ，①结论正确； ② ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ，同理可得， ， ， ， ， ， ，②结论正确；③ 平分 ， ， ， ， ， 平分 ， ， ， ，③结论正确； ④由②可知， ， ， ， ， ， ，④结论正确， 正确的结论是①②③④，故选：D 【点睛】本题考查了角平分线的平分线的判定定理和性质定理，全等三角形的判定和性质，四边形内角和， 三角形的外角性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． 例4．（2023 秋·浙江·八年级专题练习）如图，四边形 中， ，点为 的中点，且 平分 ．(1)求证： 平分 ；(2)求证： ；(3)求证： ． 【答】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【分析】（1）过点 作 于 ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得 ，从 而求出 ，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可； （2）利用 ，证明 ，根据全等三角形对应角相等，可得 ，同理可得 ，然后求出 ，再根据垂直的定义即可证明；（3）根据全等三角形对应边相等， 可得 ， ，然后根据线段之间的数量关系，即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点 作 于 ， ∵ ， 平分 ，∴ ， ∵点 为 的中点，∴ ，∴ ，又∵ ，∴ 平分 ； （2）证明：在 和 中， ，∴ ，∴ ， 在 和 中， ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ； （3）证明：∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ． 【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线的定义，熟记性质并作辅助 线构造出全等三角形是解题的关键． 例5．（2022·河北·九年级专题练习）已知P 平分∠B，∠DE 的顶点在射线P 上，射线D 交射线于点F，射 线E 交射线B 于点G． （1）如图1，若D⊥，E⊥B，请直接写出线段F 与G 的数量关系； （2）如图2，若∠B=120°，∠DE=∠，试判断线段F 与G 的数量关系，并说明理由． 【答】（1）F=G；（2）F=G，见解析 【分析】（1）结论F=G，由角平分线性质定理即可判断．（2）结论：F=G，作M⊥于M，⊥B 于，证明 △MF≌△G，利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：（1）结论：F=G； 证明：∵P 平分∠B，F⊥，G⊥B，∴F=G（角平分线上的点到角两边的距离相等）； （2）F=G．理由如下：如图，过点作M⊥，⊥B， ∵P 平分∠B，M⊥，⊥B，∠B=120°， ∴M=（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠=∠B=60°（角平分线的性质）， ∵∠DE=∠，∴∠=∠B=∠DE=60°，∴∠M=90°-60° =30°，∠=90°-60° =30°， ∴∠M=30°+30°=60°，∴∠M=∠DE， ∵∠MF=∠M-∠D，∠G=∠DE-∠D，∴∠MF=∠G， 在△MF 和△G 中， ∴△MF≌△G（S）， ∴F=G（全等三角形对应边相等）． 【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分 线的性质的应用，熟练证明三角形全等． 模型2 角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1， 为 的角平分线， ， 结论：△≌△B， 是等腰三角形、 是三线合一等。 图1 图2 图3 条件：如图2， 为 的角平分线， ，延长B，E 交于点F 结论：△BE≌△BEF， 是等腰三角形、BE 是三线合一等。 例1．（2023·山东淄博·校考二模）如图，点 在 内部， 平分 ，且 ，连接 ． 若 的面积为 ，则 的面积为 ． 【答】4 【分析】延长 交 于 ，由 证明 ，得出 ，根据三角形中线的性质即可 求解． 【详解】解：延长 交 于 ，如图所示： 平分 ， 垂直于 ， ， ， 在 和 中， ， )， ， ，∴ ， ∵ 的面积为 ，∴ 的面积为 ，故答为： ． 【点睛】此题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，中线的性质， 证明三角形全等得出 是解题关键． 例2．（2022 秋·湖北黄冈·八年级校考期中）如图， 中， 是 的角平分线， ；若 的最大值为 ，则 长为 ． 【答】 【分析】延长 和 相交于点 ，构造出 ，从而求出 的值；根据当 时， 有最大值求解即可； 【详解】解：延长 和 相交于点 ，如图： ∵ 是 的角平分线∴ ∵ ∴ ， 当 时， 有最大值；此时 ， 即： 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的定义；通过角平分线构造全等三角形是解题关键． 例3．（2022·绵阳市·九年级期中）在△B 中，B=，∠B=90，BD 平分∠B 交于点D． （1）如图1，点F 为B 上一点，连接F 交BD 于点E．若B=BF，求证：BD 垂直平分F． （2）如图2，E⊥BD，垂足E 在BD 的延长线上．试判断线段E 和BD 的数量关系，并说明理由． （3）如图3，点F 为B 上一点，∠EF= ∠B，E⊥EF，垂足为E，EF 与交于点M．直接写出线段E 与线段 FM 的数量关系． 【答】（1）见解析；（2）BD=2E，理由见解析；（3）FM=2E． 【分析】(1) 由BD 平分∠B，可得∠BE= FBE ∠ ，可证△BE FBE ≌△ （SS），可得E=FE，∠EB= FEB= ∠ ×180°=90° 即可；（2）延长E，交B 的延长线于G，由E⊥BD，∠BE= FBE ∠ ，可得GE=2E=2GE，可证△BD G ≌△（S）， 可得BD=G=2E；（3）作FM 的中垂线交F 于，交FM 于，由F=M，M=F= FM，可得∠M= B ∠，由∠EF= ∠B=225°，可求∠B= B= M=45° ∠ ∠ ，可得M=M=F，由外角∠EM= MF+ MF=225°+45°=675° ∠ ∠ ，可求∠EM=90°- EM=225° ∠ ，可证△F ME ≌△ （S），可得F=E 即可． 【详解】证明(1) ∵BD 平分∠B，∴∠BE= FBE ∠ ，∵B=BF，BE=BE，∴△BE FBE ≌△ （SS）， E=FE ∴ ，∠EB= FEB= ∠ × 180°=90°，∴BD 垂直平分F． （2）BD=2E，理由如下：延长E，交B 的延长线于G， ∵E⊥BD，∠BE= FBE ∠ ，∴GE=2E=2GE，∵∠ED=90°= BD ∠ ，∠DB= ED ∠ ，∴∠BD= G ∠， 又B=，∠BD= G ∠，，∴△BD G ≌△（S），∴BD=G=2E， （3）FM=2 E，理由如下：作FM 的中垂线交F 于，交FM 于， F=M ∴ ，M=F= FM，∴∠M= B ∠， ∵∠EF= ∠B=225°，∴∠M=2 F=2× ∠ ∠B=∠B， ∵B=，∠B=90，∴∠B= B= M=45° ∠ ∠ ，∴M=M=F， EM= MF+ MF=225°+45°=675° ∵∠ ∠ ∠ ，∴∠EM=90°- EM=225° ∠ ，∴∠F= ME ∠ ， 又∵∠F= E=90° ∠ ，∴△F ME ≌△ （S），∴F=E，∴FM=2F=2E． 【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线，三 角形外角性质，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线是 解题关键． 例4．（2022·安徽黄山·九年级期中）如图，在 中， ， ， 是 边上一动点， 于 ．（1）如图（1），若 平分 时，①求 的度数； ②延长 交 的延长线于点 ，补全图形，探究 与 的数量关系，并证明你的结论； （2）如图（2），过点 作 于点 ，猜想线段 ， ， 之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答】（1）① ，②BD=2E，理由见详解；（2）BE=E+2F，理由见详解． 【分析】（1）①由题意易得∠B= B=45° ∠ ，则有∠BD= BD=225° ∠ ，进而可求∠ED= DB ∠ ，则问题得解；②由题 意易得E=EF，则可证△BD F ≌△，进而可得BD=F，最后根据线段的数量关系可求解； （2）在BE 上截取B=E，连接，则易证△B E ≌△，则有E=，∠B= E ∠，进而可得∠E=90°，然后根据线段的数量 关系可求解． 【详解】解：（1）∵ ， ，∴∠B= B=45° ∠ ， BD ∵ 平分∠B，∴∠BD= BD=225° ∠ ， ① BD+ BD= DE+ ED=90° ∵∠ ∠ ∠ ∠ ，∠DE= BD ∠ ，∴∠BD= ED=225° ∠ ； ②BD=2E，理由如下：如图所示： ∵ ，∴∠EB= FEB=90° ∠ ，∵BE=BE，∴△EB FEB ≌△ （S），∴E=FE， DB+ F=90° ∵∠ ∠ ，∠F+ F=90° ∠ ，∴∠DB= F ∠， BD= F=90° ∵∠ ∠ ，B=，∴△BD F ≌△（S），∴BD=F，∴BD=2E； （2）BE=E+2F，理由如下：在BE 上截取B=E，连接，如图，由（1）易得∠B= E ∠， B= ∵ ，∴△B E ≌△（SS），∴=E，∠B= E ∠， B+ =90° ∵∠ ∠ ，∴∠E+ =90° ∠ ，即∠E=90°， F BE ∵⊥ ，∴F=F=FE，∵BE=B+F+FE，∴BE=E+2F． 【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线定理及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握直角三角形斜 边中线定理及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键． 模型3 角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 【模型解读与图示】 条件：如图， 为 的角平分线，为任意一点，在 上截取 ，连结 结论： ≌ ，B=。 条件：如图， 分别为 和 的角平分线， ，在 上截取 ，连结 结论： ≌ ， ≌ ，B+D=B。 例1．（2022 秋·江苏·八年级专题练习）在△B 中，D 为△B 的角平分线，点E 是直线B 上的动点． （1）如图1，当点E 在B 的延长线上时，连接E，若∠E＝48°，E＝D＝D，则∠B 的度数为 ． （2）如图2，＞B，点P 在线段D 延长线上，比较+BP 与B+P 之间的大小关系，并证明． （3）连接E，若∠DE＝90°，∠B＝24°，且满足B+＝E，请求出∠B 的度数（要求：画图，写思路，求出度 数）． 【答】（1） ；（2） ，见解析；（3）44°或104°；详见解析． 【分析】（1）根据等边对等角，可得 ， ，再根据三角形外角的性质求出 ，由此即可解题； （2）在边上取一点M 使M=B，构造 ，根据 即可得出答； （3）画出图形，根据点E 的位置分四种情况，当点E 在射线B 延长线上，延长到G，使G=B，可得 ，可得 ，设 ，则 ；根据∠B＝24°，D 为△B 的角平分 线，可得 ，可证 （SS），得出 ，利用还有 ，列方程 ；当点E 在BD 上时，∠ED＜90°，不成立；当点E 在D 上时， ∠ED＜90°，不成立；当点E 在B 延长线上，延长到G，使G=B， 可得 ，得出 ，设 ，则 ；∠B＝24°，根据D 为△B 的角平分线，得出 ，证明 （SS），得出 ，利用三角形内角和列方程 ，解方程即可． 【详解】解：（1）∵E＝D＝D，∴ ， ， ∵ ， ，∴ ， ∵D 为△B 的角平分线，即 ，∴ ；∴ （2）如图2，在边上取一点M 使M=B，连接MP， 在 和 中， ，∴ （SS），∴ ， ∵ ， ，∴ ，∴ ； （3）如图，点E 在射线B 延长线上，延长到G，使G=B， ∵B+＝E，∴G+＝E，即 ，∴ ，设 ，则 ； 又∠B＝24°，D 为△B 的角平分线，∴ ， 又∵ ，∴ ， ，∴ ， 在 和 中， ，∴ （SS），∴ ， 又∵ ，∴ ，解得： ，∴ ； 当点E 在BD 上时，∠ED＜90°，不成立；当点E 在D 上时，∠ED＜90°，不成立； 如图，点E 在B 延长线上，延长到G，使G=B， ∵B+＝E，∴G+＝E，即 ，∴ ，设 ，则 ； 又∵∠B＝24°，D 为△B 的角平分线，∴ ， 又∵ ，∴ ， ，∴ ， 在 和 中， ，∴ （SS）， ∴ ，∴ ，解得： ，∴ ．∴∠B 的度数为44°或104°． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质、全等三角形判定和性质，角平分线，三角形外角性质，三角形 内角和，解一元一次方程，根据角平分线模型构造全等三角形转换线段和角的关系是解题关键． 例2．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在 中， ， ， 是 的平分线， 延长 至点 ， ，试求 的度数． 【答】40° 【分析】在 上截取 ，连接 ，通过证明 ，可得 ， 再通过证明 ，即可求得 【详解】解：如图，在 上截取 ，连接 ， 是 的平分线， ， 在 和 中， ， ， ， DE=DF ∴ ， ，又 ， ， ， ， 在 和 中， ，故 ． 【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 例3．（2022·北京九年级专题练习）在四边形 中， 是 边的中点． （1）如图（1），若 平分 ， ，则线段 、 、 的长度满足的数量关系为____ __；（直接写出答）；（2）如图（2）， 平分 ， 平分 ，若 ，则线段 、 、 、 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明． 【答】（1）E＝B＋DE；（2）E＝B＋DE＋ BD，证明见解析． 【分析】（1）在E 上取一点F，使F＝B，由三角形全等的判定可证得△B △ ≌F，根据全等三角形的性质可得 B＝F，∠B＝∠F，根据三角形全等的判定证得△EF △ ≌ED，得到EF＝ED，再由线段的和差可以得出结论； （2）在E 上取点F，使F＝B，连结F，在E 上取点G，使EG＝ED，连结G，根据全等三角形的判定证得 △B △ ≌F 和△ED △ ≌EG，由全等三角形的性质证得F＝G，进而证得△FG 是等边三角形，就有FG＝G＝ BD， 从而可证得结论． 【详解】解：（1）如图（1），在E 上取一点F，使F＝B． ∵平分∠BE，∴∠B＝∠F．在△B 和△F 中， ∴△B △ ≌F（SS）． ∴B＝F，∠B＝∠F．∵是BD 边的中点，∴B＝D．∴F＝D． ∠ ∵ E＝90°，∴∠B＋∠DE＝90°，∠F＋∠EF＝90°．∴∠EF＝∠ED． 在△EF 和△ED 中， ∴△EF △ ≌ED（SS）．∴EF＝ED． ∵E＝F＋EF，∴E＝B＋DE．故答为：E＝B＋DE； （2）E＝B＋DE＋ BD． 证明：如图（2），在E 上取点F，使F＝B，连结F，在E 上取点G，使EG＝ED，连结G． ∵是BD 边的中点，∴B＝D＝ BD．∵平分∠BE，∴∠B＝∠F． 在△B 和△F 中， ∴△B △ ≌F（SS）．∴F＝B，∠B＝∠F． 同理可证：△ED △ ≌EG∴D＝G，∠DE＝∠GE．∵B＝D，∴G＝F． ∠ ∵ E＝120°，∴∠B＋∠DE＝180°−120°＝60°．∴∠F＋∠GE＝60°．∴∠FG＝60°． △ ∴FG 是等边三角形．∴FG＝F＝ BD．∵E＝F＋EG＋FG，∴E＝B＋DE＋ BD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问 题的关键． 例4．（2022·湖北十堰·九年级期末）在△B 中，∠B＝2 B ∠，如图①，当∠＝90°，D 为∠B 的角平分线时，在 B 上截取E＝，连结DE，易证B＝＋D． （1）如图②，当∠≠90°，D 为∠B 的角平分线时，线段B，，D 又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接 写出你的猜想；（2）如图③，当D 为△B 的外角平分线时，线段B，，D 又有怎样的数量关系？请写出你的 猜想，并对你的猜想给予证明． 【答】（