专题12 全等模型-角平分线模型（原卷版）

专题12 全等模型-角平分线模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各 类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全 等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 模型1 角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1， 为 的角平分线、 于点时，过点作 结论： 、 ≌ 图1 图2 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在 中， ， 为 的角平分线，过点D 作 结论： 、 ≌ （当 是等腰直角三角形时，还有 ） 图3 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，是∠B 的角平分线，=B，过点作D⊥、E⊥B。 结论：① ；② ；③ 例1．（2022·北京·中考真题）如图，在 中， 平分 若 则 __ __． 例2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△B 的外角∠D 的平分线P 与内角∠B 的平分线BP 交于点P，若∠BP ＝40°，则∠P＝（ ） ．40° B．45° ．50° D．60° 例3．（2023·广东中山·八年级校联考期中）如图， 中， 、 的角平分线 、 交于 点P，延长 、 ， ， ，则① 平分 ；② ；③ ；④ ．上述结论中正确的是（ ） ．①② B．①③ ．②③④ D．①②③④ 例4．（2023 秋·浙江·八年级专题练习）如图，四边形 中， ，点为 的中点，且 平分 ．(1)求证： 平分 ；(2)求证： ；(3)求证： ． 例5．（2022·河北·九年级专题练习）已知P 平分∠B，∠DE 的顶点在射线P 上，射线D 交射线于点F，射 线E 交射线B 于点G．（1）如图1，若D⊥，E⊥B，请直接写出线段F 与G 的数量关系；（2）如图2， 若∠B=120°，∠DE=∠，试判断线段F 与G 的数量关系，并说明理由． 模型2 角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1， 为 的角平分线， ， 结论：△≌△B， 是等腰三角形、 是三线合一等。 图1 图2 图3 条件：如图2， 为 的角平分线， ，延长B，E 交于点F 结论：△BE≌△BEF， 是等腰三角形、BE 是三线合一等。 例1．（2023·山东淄博·校考二模）如图，点 在 内部， 平分 ，且 ，连接 ． 若 的面积为 ，则 的面积为 ． 例2．（2022 秋·湖北黄冈·八年级校考期中）如图， 中， 是 的角平分线， ；若 的最大值为 ，则 长为 ． 例3．（2022·绵阳市·九年级期中）在△B 中，B=，∠B=90，BD 平分∠B 交于点D． （1）如图1，点F 为B 上一点，连接F 交BD 于点E．若B=BF，求证：BD 垂直平分F． （2）如图2，E⊥BD，垂足E 在BD 的延长线上．试判断线段E 和BD 的数量关系，并说明理由． （3）如图3，点F 为B 上一点，∠EF= ∠B，E⊥EF，垂足为E，EF 与交于点M．直接写出线段E 与线段 FM 的数量关系． 例4．（2022·安徽黄山·九年级期中）如图，在 中， ， ， 是 边上一动点， 于 ．（1）如图（1），若 平分 时，①求 的度数； ②延长 交 的延长线于点 ，补全图形，探究 与 的数量关系，并证明你的结论； （2）如图（2），过点 作 于点 ，猜想线段 ， ， 之间的数量关系，并证明你的猜想． 模型3 角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 【模型解读与图示】 条件：如图， 为 的角平分线，为任意一点，在 上截取 ，连结 结论： ≌ ，B=。 条件：如图， 分别为 和 的角平分线， ，在 上截取 ，连结 结论： ≌ ， ≌ ，B+D=B。 例1．（2022 秋·江苏·八年级专题练习）在△B 中，D 为△B 的角平分线，点E 是直线B 上的动点． （1）如图1，当点E 在B 的延长线上时，连接E，若∠E＝48°，E＝D＝D，则∠B 的度数为 ． （2）如图2，＞B，点P 在线段D 延长线上，比较+BP 与B+P 之间的大小关系，并证明． （3）连接E，若∠DE＝90°，∠B＝24°，且满足B+＝E，请求出∠B 的度数（要求：画图，写思路，求出度 数）． 例2．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在 中， ， ， 是 的平分线， 延长 至点 ， ，试求 的度数． 例3．（2022·北京九年级专题练习）在四边形 中， 是 边的中点． （1）如图（1），若 平分 ， ，则线段 、 、 的长度满足的数量关系为____ __；（直接写出答）；（2）如图（2）， 平分 ， 平分 ，若 ，则线段 、 、 、 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明． 例4．（2022·湖北十堰·九年级期末）在△B 中，∠B＝2 B ∠，如图①，当∠＝90°，D 为∠B 的角平分线时，在 B 上截取E＝，连结DE，易证B＝＋D． （1）如图②，当∠≠90°，D 为∠B 的角平分线时，线段B，，D 又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接 写出你的猜想；（2）如图③，当D 为△B 的外角平分线时，线段B，，D 又有怎样的数量关系？请写出你的 猜想，并对你的猜想给予证明． 课后专项训练 1．（2022 秋·福建厦门·九年级校考期中）如图， （ 是常量）．点P 在 的平分线上，且 ，以点P 为顶点的 绕点P 逆时针旋转，在旋转的过程中， 的两边分别与 ， 相交于M，两点，若 始终与 互补，则以下四个结论：① ；② 的值不变； ③四边形 的面积不变；④点M 与点的距离保持不变．其中正确的为（ ） ．①③ B．①②③ ．①③④ D．②③ 2．（2022·江苏常州·一模）如图，已知四边形 的对角互补，且 ， ， ． 过顶点作 于E，则 的值为（ ） ． B．9 ．6 D．7．2 3．（2023·成都·中考模拟）已知，如图，B=D，∠B+ D=180° ∠ ． 连接，在B，，D 上分别取点E，P，F，连 接PE，PF． 若E=4，F=6，△PE 的面积为4，则△PF 的面积是（ ） ．2 B．4 ．6 D．8 4．（2023·福建厦门·九年级校考期中）如图， （ 是常量）．点P 在 的平分线上，且 ，以点P 为顶点的 绕点P 逆时针旋转，在旋转的过程中， 的两边分别与 ， 相交于M，两点，若 始终与 互补，则以下四个结论：① ；② 的值不变； ③四边形 的面积不变；④点M 与点的距离保持不变．其中正确的为（ ） ．①③ B．①②③ ．①③④ D．②③ 5．（2022·安徽合肥·一模）如图， 中，D 平分 ，E 是B 中点， ， ， ， 则DE 的值为（ ） ．1 B．2 ． D． 6．（2022·福建·福州一模）如图，△B 中，∠B=45°，D⊥B 于点D，BE 平分∠B，且BE⊥于点B，交D 于点 F，是B 边的中点，连接D 交BE 于点G，现给出以下结论：①△D≌△FBD；②E=E；③△DGF 为等腰三角 形；④S 四边形DGE=S 四边形GE．其中正确的有_________（写出所有正确结论序号）． 7．（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，四边形 中 ， ， 为 上 一点，连接 ， ， ，若 ，则线段 的长为 ． 8．（2023·达州·校考一模）如图，已知四边形 中， 平分 ， ， 求证： ． 9．（2022·安徽芜湖·九年级期中）如图，已知， 是 的平分线，且 交 的延长线于点E．求证： ． 10．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在 中， 分别平分 ，交 于点 ． (1)求证： ； (2)过点 作 ，垂足为 ．若 的周长为56， ，求 的面积． 11．（2022 秋·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图，在△BE 中，D、分别在E、BE 上且D＝B，平分 ∠EB，⊥B 于点．(1)求证： ；(2)若D＝3，B＝8，求的长． 12．（2023·宁夏银川·校考二模）问题提出 （1）如图①，已知 ，以点为圆心，适当长为半径画弧，交 于点M，交 于点，分别以点M， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部交于点，画射线 ，连接 ， 则图①中与 全等的是___________； 问题探究（2）如图②，在 中， 平分 ，过点D 作 于点M，连接 ， ，若 ，求证： ； 问题解决（3）如图③，工人刘师傅有块三角形铁板 ， ，他需要利用铁板的边角裁出一个四 边形 ，并要求 ， ．刘师傅先在纸稿上画出了三角形铁板的草图，再用尺规作 出 的平分线 交 于点D，作 的平分线 交 于点E， 交于点F，得到四边 形 ．请问，若按上述作法，裁得的四边形 是否符合要求？请证明你的结论． 13．（2022·江苏·一模）如图，已知 ，E，BD 是 的角平分线，且交于点P． （1）求 的度数．（2）求证：点 在 的平分线上．（3）求证：① ；② ． 14．（2022·北京西城·二模）在△B 中，B=，过点作射线B′，使∠B = ′ ∠B（点B′与点B 在直线的异侧）点D 是射线B′上一动点（不与点重合），点E 在线段B 上，且∠DE+∠D=90°． (1)如图1，当点E 与点重合时，D 与 的位置关系是______，若 ，则D 的长为______；（用含的 式子表示）(2)如图2，当点E 与点不重合时，连接DE．①用等式表示 与 之间的数量关系，并 证明；②用等式表示线段BE，D，DE 之间的数量关系，并证明． 15．（2022·重庆·二模）已知：如图1，四边形BD 中， ，连接、BD，交于点E， ．(1)求证： ；(2)如图2，过点B 作 ，交D 于点F，交于点G，若 ，求证： ；(3)如图3，在（2）的条件下，若 ，求线段GF 的长． 16．（2022·陕西西安·一模）如图，△BD 和△BE 都是等边三角形，∠B＜105°，E 与D 交于点F． （1）求证：E＝D；（2）求∠BFE 的度数；（3）若F＝917m，BF＝153m，F＝753m，求D． 17．（2022·自贡市九年级月考）根据图片回答下列问题． (1)如图①，D 平分∠B，∠B+∠=180°，∠B=90°，易知：DB____D． (2)如图②，D 平分∠B，∠BD+∠D=180°，∠BD<90°，求证：DB=D． 18．（2023·山东·九年级专题练习）【材呈现】如图是华师版八年级上册数学材96 页的部分内容． 已知：如图1354， 是 的平分线，P 是 上任意一点， ，垂足分别为点D 和点E． 求证： ． 分析：图中有两个直角三角形 和 ，只要证明这两个三角形全等便可证得 【问题解决】请根据材分析，结合图①写出证明 的过程． 【类比探究】（1）如图②， 是 的平分线，P 是 上任意一点，点 分别在 和 上， 连接 和 ，若 ，求证： ；（2）如图③， 的周长是12， 分别平分 和 于点D，若 ，则 的面积为 ． 19．（2023·安徽·九年级期末）如图，在 中， ， 平分 ． （1）如图1，若 ，求证： ；（2）如图2，若 ，求 的度 数； （3）如图3，若 ，求证： ． 20．（2023·湖北孝感·九年级校联考阶段练习）（情景呈现）画 ，并画 的平分线 ． （）把三角尺的直角顶点落在的任意一点 上，使三角尺的两条直角边分别与 的两边 ， 垂 直，垂足为 ， （如图1）．则 ；若把三角尺绕点 旋转（如图2），则 ________ ． （选填：“<”、“>”或“=”） （理解应用）（2）在（1）的条件下，过点 作直线 ，分别交 ， 于点 ， ，如图3． ①图中全等三角形有________对．（不添加辅助线）；②猜想 ， ， 之间的关系为________． （拓展延伸）（3）如图4，画 ，并画 的平分线 ，在 上任取一点 ，作 ， 的两边分别与 ， 相交于 ， 两点， 与 相等吗？请说明理由．