全等模型—倍长中线模型 夯实双基，稳中求进 倍长中线模型 题型一：求三角形中线取值范围 【例1】（2021·重庆市暨华中学校八年级月考）在 中， ，中线 ，则 边的取值范围 （ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】延长D 至E，使DE=D，然后利用“边角边”证明△BD 和△ED 全等，根据全等三角形对应边相等 可得B=E，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出E 归类探究 三角形的中线：三角形的顶点和对边中点的连线 三角形边长的不等关系：在三角形中，两边之和大于第三边，两边只差小于第三边 倍长中线定义：“倍长中线”是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶 点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之 间的关系（通常用“SS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 ，连接 ． ∵ 为 的 边上的中线， ∴ ， 在 和 中， ∴ ， ∴ ． 在 中， ， 即 ， ∴ ， 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，根据中点倍长法构造全等三角形是解题 的关键． 【变式1-2】（2021·武汉一初慧泉中学八年级月考）已知D 是△B 的中线，D=6，=5，则边B 的取值范围是 ______． 【答】7

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专题13 全等模型-倍长中线与截长补短模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三 角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1 倍长中线模型 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添 加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角 的中点，连接DF，F．请你判断线段DF 与D 的数量关系，并 给出证明； 【答】(1)见解析(2)线段DF 与D 的数量关系为：D＝2DF，证明见解析； 【分析】（1）类比材料，运用倍长中线辅助线作法，证得结论． （2）运用倍长中线辅助线作法，结合三角形全等证明及等边三角形性质，得出结论． （1）证明：如图，延长D 至M，使MD＝FD，连接M， 在△BDF 和△DM 中，∵ ， 是等边三角形，∴D＝DM＝2DF； 【点睛】本题考查了倍长中线的辅助线作法，全等三角形的证明，在倍长中线构造全等三角形的基础上， 综合运用相关知识是解题的关键． 模型2 截长补短模型 【模型解读】 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句， 可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2 次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于已知线

专题13 全等模型-倍长中线与截长补短模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三 角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1 倍长中线模型 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添 加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角 截长补短模型 【模型解读】 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句， 可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2 次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。 【常见模型及证法】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 的长度满足怎样的数量 关系？写出结论并证明． 例4．（2023·广东·九年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形 中，对角线 平分 ， ．求证： ． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在 上截取 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长 到点 ，使得 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1 和方法2 中任选一种，添加辅助线并完成证明．

全等三角形 模型（十三）——倍长中线模型 ◎结论：如图，D 为△B 的中线，则D＜ 1 2 （B+） 证明：延长D 到E,使DE=D,连接BE 在△D 和△EDB 中 D=ED, D= ∠ ∠EDB,D=BD D BD ∴△≌ E = ∴EB 在△BE 中,由三角形三边关系可得E倍长 有中点，可倍长，倍长之后8 字现 1．（2022·江苏·仪征市实验中学东区校八年级阶段练习）在 中， ，中线 ，则 边的取值范 围是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】延长 至 ，使 ，然后利用“边角边”证明 和 全等，根据全等三角形对应边相 等可得 ，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出 运用，解决 问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推算． 1．（2021·甘肃兰州·模拟预测）如图，在△B 中，B＝4，＝2，点D 为B 的中点，则D 的长可能是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【答】B 【分析】延长D 到E，使DE＝D，连接BE．证△D≌△EDB（SS），可得BE＝＝2，再利用三角形的三边关系求出 E 的范围即可解决问题．

全等三角形 模型（十三）——倍长中线模型 ◎结论：如图，D 为△B 的中线，则D＜ 1 2 （B+） 证明：延长D 到E,使DE=D,连接BE 在△D 和△EDB 中 D=ED, D= ∠ ∠EDB,D=BD D BD ∴△≌ E = ∴EB 在△BE 中,由三角形三边关系可得E倍长 有中点，可倍长，倍长之后8 字现 1．（2022·江苏·仪征市实验中学东区校八年级阶段练习）在 中， ，中线 ，则 边的取值范 围是（ ） ． B． ． D． 2．（2021·广西·灵山县烟墩中学八年级期中）如图，已知D 是△B 中B 边上的中线，B＝5，＝3，则D 的取值范围 是（ ） ．2＜D＜8 B．1＜D＜4 60°，E 平分∠FD，交D 于点E，且点E 是D 的中点，连接EF，已知D＝5，F＝3，则EF＝__． 1．（2021·甘肃兰州·模拟预测）如图，在△B 中，B＝4，＝2，点D 为B 的中点，则D 的长可能是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 2．（1）如图1，D 是△B 的中线，延长D 至点E，使ED=D，连接E． ①证明△BD≌△ED； ②若B＝5，＝3，设D＝x，可得x 的取值范围是_______；

专题18 全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三 角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 ............................................................................................2 模型1 倍长中线模型............................................................................................... .................20 模型1 倍长中线模型 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。 所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关 知识来解决问题的方法。（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 倍长中线在全等三角形的辅助线做法中，难度不是特别大，相对好理解和掌握。

专题18 全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三 角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 ............................................................................................2 模型1 倍长中线模型............................................................................................... .................20 模型1 倍长中线模型 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。 所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关 知识来解决问题的方法。（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 倍长中线在全等三角形的辅助线做法中，难度不是特别大，相对好理解和掌握。

倍半角模型知识精讲 一、二倍角模型处理方法 1 作二倍角的平分线，构成等腰三角形 例：如图，在△B 中，∠B＝2∠，作∠B 的平分线交于点D，则∠DB＝∠，DB＝D，即△DB 是 等腰三角形 2 延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形 例：如图，在△B 中，∠B＝2∠，延长B 到点D，使得BD＝B，连接D，则△BD、△D 都是等 腰三角形 例题：如图，在△B 中，＝E，∠D＝∠ED，D＝D， ∴△D≌△ED，∴∠＝∠E ， 又∵∠DB＝∠D＝∠，∴∠E＝∠DB，∴D＝DE，∴∠B＝90º 二、倍半角综合 1 由“倍”造“半” 已知倍角求半角，将倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长即可 如图，若 ，则 （ ） 2 由“半”造“倍” 已知半角求倍角，将半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段即可 如图，在Rt△B（∠＜45º）的直角边上取点D，当BD＝D 时，则∠BD＝2∠，设 三边比为 ，若 ， 则 ； （2）如图2，Rt△B 三边比为3:4:5，Rt△BD 三边比为 ，若 ， 则 ； （3）如图3，Rt△B 三边比为3:4:5，Rt△BD 三边比为 ，若 ，则 倍半角模型巩固练习（提优） 1 如图，在正方形BD 中，点E、F 分别在B、B 上，且∠FDE＝45º，连接DE、DF、 EF，试探究EF、F、E 之间的数量关系 【解答】EF＝F＋E，证明见解析

二倍角、半角问题 一、方法突破 既有构造相等角的，也有在这个问题上再进行加工的，比如，在坐标系中构造已知角的半 角或二倍角，角可以单独出现，也可以存在于某个几何图形中，因此，构造半角、二倍角 的方法也并不唯一，常用如下： 思路1：构造半角三角函数． tan α 2 = a b+ a2+b2 tanα= a b a2+b2 a2+b2 b a α 2 α 构造二倍角三角函数： 构造二倍角三角函数： 勾股定理可求二倍角三角函数值 2α α α 思路2：等腰三角形外角：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和． α α 2α 二、典例精析 例一：如图，在平面直角坐标系中，直线 与x 轴交于点，与y 轴交于点B，抛 物线 经过、B 两点且与x 轴的负半轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点D 为直线B 上方抛物线上的一个动点，当∠BD=2∠B 时，求点D x C B A O O A B C D x y 【分析】 （1）抛物线： ； （2）思路：转化为等角 本题中的∠B 和∠BD 是内错角，若是构造∠BD=∠B，作平行线即可． 两倍角亦可以作平行构造出， 过B 作x 轴的平行线， 作B 关于平行线对称的直线，与抛物线交点即为D 点． D α α α O A B C x y 考虑到 ，故 ， 可得直线BD 解析式为：

重难点突破08 全等三角形8 种模型 （一线三等角、手拉手模型、倍长中线、截长补短、婆罗摩笈多、半角模型、 平行线中点模型与雨伞模型） 目 录 题型01 一线三等角模型（含一线三垂直模型） 题型02 手拉手模型 题型03 倍长中线模型 题型04 平行线中点模型与雨伞模型 题型05 截长补短模型 题型06 婆罗摩笈多模型 题型07 半角模型 题型01 一线三等角模型（含一线三垂直模型） 从OA摆到OB位置，此时过点B 作BD⊥OA于点D，当小 球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的、B、、在同一平面上），过点作CE⊥OA于点E，测得 BD=8cm，OA=17cm．求AE的长． 【答】9cm 【分析】首先根据题意证明出△COE≌△OBD (AAS)，然后利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】∵OB⊥OC， ∴∠BOD+∠COE=90°， 又∵CE⊥OA 中，B＝4，B＝5，点E 为B 边上一个动点，连接E，将线段E 绕点E 顺 时针旋转90°，点落在点P 处，当点P 在矩形BD 外部时，连接P，PD．若△DP 为直角三角形时，请你探 究并直接写出BE 的长． 【答】(1)见解析 (2)y=−4 7 x+ 15 7 (3)4 或3+❑ √7 2 【分析】（1）由同角的余角相等可得∠BE=∠D，且∠D=∠BE=90°，可得结论； （2）过点作⊥M