专题13 全等模型-倍长中线与截长补短模型（解析版）

专题13 全等模型-倍长中线与截长补短模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三 角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1 倍长中线模型 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添 加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角 形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 【常见模型及证法】 1、基本型：如图1，在三角形B 中，D 为B 边上的中线 证明思路：延长D 至点E，使得D=DE 若连结BE，则 ；若连结E，则 ； 2、中点型:如图2， 为 的中点 证明思路：若延长 至点 ，使得 ，连结 ，则 ; 若延长 至点 ，使得 ，连结 ，则 3、中点+平行线型：如图3, ，点 为线段 的中点 证明思路：延长 交 于点 (或交 延长线于点 )，则 例1．（2023·江苏徐州·模拟预测）（1）阅读理解： 如图①，在 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围． 可以用如下方法：将 绕着点 逆时针旋转 得到 ，在 中，利用三角形三边的关系 即可判断中线 的取值范围是______； （2）问题解决：如图②，在 中， 是 边上的中点， 于点 ， 交 于点 ， 交 于点 ，连接 ，求证： ； （3）问题拓展：如图③，在四边形 中， ， ， ，以 为顶点作 一个 的角，角的两边分别交 、 于 、 两点，连接 ，探索线段 ， ， 之间的数量 关系，并说明理由． 【答】（1） ；（2）见详解；（3） ，理由见详解 【分析】（1）根据旋转的性质可证明 ， ，在 中根据三角形三 边关系即可得出答；（2）延长FD 至M，使DF=DM，连接BM，EM，可得出 ，根据垂直平分线 的性质可得出 ，利用三角形三边关系即可得出结论； （3）延长B 至，使B=DF，连接，可得 ，证明 ，得出 ， 利用角的和差关系可推出 ，再证明 ，得出 ，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ 在 中根据三角形三边关系可得出： ，即 ∴ 故答为： ； （2）延长FD 至M，使DF=DM，连接BM，EM， 同（1）可得出 ，∵ ∴ 在 中， ∴ ； （3） ，理由如下：延长B 至，使B=DF，连接， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （SS）∴ ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查的知识点有旋转的性质、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形三 边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助线，构造出与图①中结构相关的图形．此题结构精巧， 考查范围广，综合性强． 例2．（2023·贵州毕节·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： (1)如图1，△B 中，若B=5，=3，求B 边上的中线D 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的 解决方法：延长D 到点E，使DE=D，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程． (2)如图2，D 是△B 的中线，BE 交干E，交D 于F，且E=EF．请判昕与BF 的数量关系，并说明理由． 【答】(1)见解析(2)=BF，理由见解析 【解析】（1）解：如图，延长D 到点E，使DE=D，连接BE， 在△D 和△EDB 中∵ ，∴△D≌△EDB（SS）．∴BE==3． ∵B-BE<E<B+BE 2< ∵ E<8．∵E=2D 1< ∴ D<4． （2）=BF，理由如下：延长D 至点G，使GD=D，连接BG， 在△D 和△GDB 中， ，∴△D≌△GDB（SS）．∴BG=，∠G=∠D．． ∵E=EF∴∠FE=∠FE． ∴∠D=∠FE=∠BFG∴∠G=∠BFG∴BG=BF = ∴BF． 【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，作辅助线：延长D 到点E，使DE=D，构 造全等三角形是解题的关键． 例3．（2022·山东·安丘市一模）阅读材料：如图1，在 中，D，E 分别是边B，的中点，小亮在证明 “三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE 到点F，使 ，连接 F，证明 ，再证四边形DBF 是平行四边形即得证． 类比迁移：（1）如图2，D 是 的中线，E 是上的一点，BE 交D 于点F，且 ，求证： ． 小亮发现可以类比材料中的思路进行证明． 证明：如图2，延长D 至点M，使 ，连接M，…… 请根据小亮的思路完成证明过程． 方法运用：（2）如图3，在等边 中，D 是射线B 上一动点（点D 在点的右侧），连接D．把线段D 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE，F 是线段BE 的中点，连接DF、F．请你判断线段DF 与D 的数量关 系，并给出证明． 【答】（1）证明见解析；（2） ，证明见解析 【分析】(1) 延长D 至M，使 ，连接M，证明 ，结合等角对等边证明即可． (2) 延长DF 至点M，使 ，连接BM、M，证明 ，△BM 是等边三角形，代 换后得证． 【详解】（1）证明：延长D 至M，使 ，连接M． 在 和 中， ，∴ ，∴ ， ， ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ． （2）线段DF 与D 的数量关系为： ． 证明如下：延长DF 至点M，使 ，连接BM、M，如图2 所示： ∵点F 为BE 的中点，∴ 在 和 中，∵ ，∴ ∴ ， ，∴ ∵线段D 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE ∴ ， ，∴ ∵ 是等边三角形∵ ， ，∴ ∵ ，∴ 在 和 中，∵ ，∴ ∴ ， ，∴ ∴ 是等边三角形，∴ ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和 性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 例4．（2022·河南商丘·一模）阅读材料 如图1，在△B 中，D，E 分别是边B，的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三 边的一半”时，通过延长DE 到点F，使EF＝DE，连接F，证明△DE≌△FE，再证四边形DBF 是平行四边 形即得证． (1)类比迁移：如图2，D 是△B 的中线，BE 交于点E，交D 于点F，且E＝EF，求证：＝BF． 小明发现可以类比材料中的思路进行证明． 证明：如图2，延长D 至点M，使MD＝FD，连接M，……请根据小明的思路完成证明过程． (2)方法运用：如图3，在等边△B 中，D 是射线B 上一动点（点D 在点的右侧），连接D．把线段D 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE．F 是线段BE 的中点，连接DF，F．请你判断线段DF 与D 的数量关系，并 给出证明； 【答】(1)见解析(2)线段DF 与D 的数量关系为：D＝2DF，证明见解析； 【分析】（1）类比材料，运用倍长中线辅助线作法，证得结论． （2）运用倍长中线辅助线作法，结合三角形全等证明及等边三角形性质，得出结论． （1）证明：如图，延长D 至M，使MD＝FD，连接M， 在△BDF 和△DM 中，∵ ， ∴△BDF≌△DM（SS），∴M＝BF，∠M＝∠BFM，∵E＝EF，∴∠EF＝∠EF， ∵∠EF＝∠BFM，∴∠M＝∠M，∴＝M，∴＝BF； （2）解：线段DF 与D 的数量关系为：D＝2DF， 证明如下：延长DF 至点M，使DF＝FM，连接BM、M，如图所示： ∵点F 为BE 的中点，∴BF＝EF， 在△BFM 和△EFD 中，∵ ，∴△BFM≌△EFD（SS）， ∴BM＝DE，∠MBF＝∠DEF，∴BM∥DE， ∵线段D 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE，∴D＝DE＝BM，∠BDE＝120°， ∴∠MBD＝180° 120° ﹣ ＝60°，∵△B 是等边三角形， ∴B＝，∠B＝∠B＝60°，∴∠BM＝∠B+∠MBD＝60°+60°＝120°， ∵∠D＝180°﹣∠B＝180° 60° ﹣ ＝120°，∴∠BM＝∠D， 在△BM 和△D 中，∵ ，∴△BM≌△D（SS）， ∴M＝D，∠BM＝∠D，∴∠MD＝∠M+∠D＝∠M+∠BM＝∠B＝60°， ∴△MD 是等边三角形，∴D＝DM＝2DF； 【点睛】本题考查了倍长中线的辅助线作法，全等三角形的证明，在倍长中线构造全等三角形的基础上， 综合运用相关知识是解题的关键． 模型2 截长补短模型 【模型解读】 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句， 可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2 次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。 【常见模型及证法】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+D=D 方法：①在D 上取一点F，使得F=BE，证DF=D；②在D 上取一点F，使DF=D，证F=BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE+D=D 方法：①延长D 至点M 处，使M=BE，证DM=D；②延长D 至点M 处，使DM=D，证M=BE 例1．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，已知D∥B，∠PB 的平分线与∠B 的平分线相交于E，E 的连线 交P 于D．求证：D+B=B． 【答】证明见解析 【分析】如图，在 上截取 证明 再证明 可得 从而可得 结论 【详解】证明：如图，在 上截取 平分 平分 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用截长补短的方法证明两条线段的和等于另一 条线段”是解题的关键 例2．（2023·广东肇庆·校考一模）课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在 中， 平分 交 于点D，且 ，求证： ，小明的 方法是：如图2，在 上截取 ，使 ，连接 ，构造全等三角形来证明． (1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段 构造全等三 角形进行证明．辅助线的画法是：延长 至F，使 =______，连接 请补全小天提出的辅助线的画法， 并在图1 中画出相应的辅助线； (2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D 在 的内部， 分别平分 ，且 ．求证： ．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； (3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在 中， ，点D 在边 上， ，那么 平分 小东判断这个 命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4 对这个命题进行证明． 【答】(1) ，证明见解析(2)见解析(3)见解析 【分析】（1）延长 至F，使 ，连接 ，根据三角形的外角性质得到 ，则可利用 证明 ，根据全等三角形的性质可证明结论；（2）在 上截取 ，使 ，连接 ，则可利用 证明 ，根据全等三角形的性质即可证明结论；（3）延长 至G，使 ，连接 ，则可利用 证明 ，根据全等三角形的性质、角平分线的定义即可证 明结论． 【详解】（1）证明：（1）如图1，延长 至F，使 ，连接 ，则 ，∴ ，∵ 平分 ∴ ， ∵ ，∴ ， 在 和 中， ，∴ ， ∴ ，∴ ．故答为： ． （2）证明：如图3，在 上截取 ，使 ，连接 ∵ 分别平分 ， ∴ ， ∵ ，∴ ， 在 和 中， ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ． （3）证明：如图4：延长 至G，使 ，连接 ，则 ， ∴ ，∵ ，∴ ， ∵ ， ∴ ，∴ ，∴ ，∴ ， 在 和 中， ，∴ ∴ ，即 平分 ． 【点睛】本题主要考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用全等三角形的 判定定理和性质定理是解答本题的关键． 例3．（2023·广西·九年级专题练习）在四边形BDE 中，是BD 边的中点． (1)如图（1），若平分∠BE，∠E=90°，则线段E、B、DE 的长度满足的数量关系为 ；（直接写出 答）；(2)如图（2），平分∠BE，E 平分∠ED，若∠E=120°，则线段B、BD、DE、E 的长度满足怎样的数量 关系？写出结论并证明． 【答】(1)E=B+DE；(2)猜想：E=B+DE+ BD，证明见解析． 【分析】（1）在E 上取一点F，使F=B，由三角形全等的判定可证得△B≌△F，根据全等三角形的性质可 得B=F，∠B=∠F，根据三角形全等的判定证得△EF≌△ED，得到EF=ED，再由线段的和差可以得出结论； （2）在E 上取点F，使F=B，连接F，在E 上取点G，使EG=ED，连接G，根据全等三角形的判定证得 △B≌△F 和△ED≌△EG，由全等三角形的性质证得F=G，进而证得△FG 是等边三角形，就有FG=G= BD，从而可证得结论． 【详解】（1）E=B+DE；理由：在E 上取一点F，使F=B． ∵平分∠BE，∴∠B=∠F． 在△B 和△F 中， ，∴△B≌△F（SS），∴B=F，∠B=∠F． ∵是BD 边的中点，∴B=D，∴F=D． ∵∠E=90°，∴∠B+∠DE=90°，∠F+∠EF=90°，∴∠EF=∠ED． 在△EF 和△ED 中， ，∴△EF≌△ED（SS），∴EF=ED． ∵E=F+EF，∴E=B+DE．故答为：E=B+DE； （2）猜想：E=B+DE+ BD． 证明：在E 上取点F，使F=B，连结F，在E 上取点G，使EG=ED，连结G． ∵是BD 边的中点，∴B=D= BD．∵平分∠BE，∴∠B=∠F． 在△B 和△F 中， ，∴△B≌△F（SS）， ∴F=B，∴∠B=∠F，同理可证：D=G，∴∠DE=∠GE． ∵B=D，∴G=F．∵∠E=120°，∴∠B+∠DE=180° 120°=60° ﹣ ， ∴∠F+∠GE=60°，∴∠FG=60°，∴△FG 是等边三角形，∴FG=F= BD． ∵E=F+EG+FG，∴E=B+DE+ BD． 【点睛】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用， 能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键． 例4．（2023·广东·九年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形 中，对角线 平分 ， ．求证： ． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在 上截取 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长 到点 ，使得 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1 和方法2 中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接 ，当 时，探究线段 ， ， 之间 的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形 中， ， ，过 点D 作 ，垂足为点E，请直接写出线段 、 、 之间的数量关系． 【答】（1）证明见解析；（2） ；理由见解析；（3） ． 【分析】（1）方法1：在 上截取 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延 长 到点 ，使得 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题； （2）延长 到点 ，使 ，连接 ，证明 ，可得 ，即 （3）连接 ，过点 作 于 ，证明 ， ，进而根据 即可得出结论． 【详解】解：（1）方法1：在 上截 ，连接 ，如图． 平分 ， ．在 和 中， ， ， ， ． ， ． ． ， ． 方法2：延长 到点 ，使得 ，连接 ，如图． 平分 ， ． 在 和 中， ， ． ， ． ， ． ， ， ． （2） 、 、 之间的数量关系为： ．（或者： ， ）． 延长 到点 ，使 ，连接 ，如图2 所示． 由（1）可知 ， ． 为等边三角形． ， ． ， ． ． ， 为等边三角形． ， ． ， ，即 ． 在 和 中， ， ． ， ， ． （3） ， ， 之间的数量关系为： ．（或者： ， ） 解：连接 ，过点 作 于 ，如图3 所示． ， ． ． 在 和 中， ， ， ， ． 在 和 中， ， ． ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键． 课后专项训练： 1．（2023 秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，在△B 中，B＝4，＝2，点D 为B 的中点，则D 的长 可能是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【答】B 【分析】延长D 到E，使DE＝D，连接BE．证△D≌△EDB（SS），可得BE＝＝2，再利用三角形的三边 关系求出E 的范围即可解决问题． 【详解】解：延长D 到E，使DE＝D，连接BE， 在△D 和△EDB 中， ，∴△D≌△EDB（SS），∴BE＝＝2， 在△BE 中，B﹣BE＜E＜B+BE，即2＜2D＜6，解得1＜D＜3，故选：B． 【点睛】本题考查三角形的全等判定和性质，三角形三边关系定理，熟练证明三角形的全等是解题的关键． 2．（2022·浙江湖州·二模）如图，在四边形 中， ， ， ， ， ， 点 是 的中点，则 的长为（ ）． ．2 B． ． D．3 【答】 【分析】延长BE 交D 延长线于P，可证△EB △ ≌EP，求出DP，根据勾股定理求出BP 的长，从而求出BM 的长． 【详解】解：延长BE 交D 延长线于P，∵B∥D，∴∠EB＝∠EP，在△EB 和△EP 中， △ ∴EB △ ≌EP（S）∴BE＝PE，P＝B＝5 又∵D＝3，∴PD=2，∵ ∴ ∴BE＝ BP＝ ．故选：． 【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股 定理求出BP． 3．（2022·广东湛江·校考二模）已知：如图， 中，E 在 上，D 在 上，过E 作 于F， ， ， ，则 的长为 ___________． 【答】 / 【分析】在 上取一点T，使得 ，连接 ，在 上取一点K，使得 ，连接 ．想办 法证明 ，推出 ，推出 即可解决问题． 【详解】解：在 上取一点T，使得 ，连接 ，在 上取一点K，使得 ，连接 ． ∵ ， ， ， ∴ ，∴ ， ， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，故答为： ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常 用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 4．（2023 秋·江西九江·八年级校考期末）如图，在△B 中，点D 是B 的中点，若B＝5，＝13，D＝6，则 B 的长为 ． 【答】 【分析】延长D 到E，使DE=D，连接BE．先运用SS 证明△D≌△EDB，得出BE=13．再由勾股定理的逆定 理证明出∠BE=90°，然后在△BD 中运用勾股定理求出BD 的长，从而得出B=2BD． 【详解】解：延长D 到E，使DE=D，连接BE． 在△D 与△EDB 中， ， ∴△D