重难点突破08 全等三角形8种模型（一线三等角、手拉手模型、倍长中线、截长补短、婆罗摩笈多、半角模型、平行线中点模型与雨伞模型）（解析版）

重难点突破08 全等三角形8 种模型 （一线三等角、手拉手模型、倍长中线、截长补短、婆罗摩笈多、半角模型、 平行线中点模型与雨伞模型） 目 录 题型01 一线三等角模型（含一线三垂直模型） 题型02 手拉手模型 题型03 倍长中线模型 题型04 平行线中点模型与雨伞模型 题型05 截长补短模型 题型06 婆罗摩笈多模型 题型07 半角模型 题型01 一线三等角模型（含一线三垂直模型） 【一线三垂直模型介绍】只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过45°顶点作直线的 垂线，构造三垂直，所得两个直角三角形全等根据全等三角形倒边，得到线段之间的数量关系 已知（一线三垂直） 图示 结论（性质） 如图B B ⊥，B=B， E DE ⊥ ，D DE ⊥ ∆BD≌∆BE，DE=D+E 如图B B ⊥，B=B， E DE ⊥ ，D DE ⊥ ∆BD≌∆BE，DE=D-E 已知∠ = DB= ED=90° ∠ ∠ ， B=D ∆DB≌∆DE 延长DE 交于点F，已 知∠DBE = B= EF=90° ∠ ∠ ，=DE ∆B≌∆DBE 【一线三等角模型介绍】三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角 一线三等角类型： （同侧）已知∠= PD= B= ∠ ∠ ∠α，P=PD （异侧）已知∠E= BD= DP= ∠ ∠ ∠α，P=PD 1．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的 探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时 的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B 作BD⊥OA于点D，当小 球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的、B、、在同一平面上），过点作CE⊥OA于点E，测得 BD=8cm，OA=17cm．求AE的长． 【答】9cm 【分析】首先根据题意证明出△COE≌△OBD (AAS)，然后利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】∵OB⊥OC， ∴∠BOD+∠COE=90°， 又∵CE⊥OA ,BD⊥OA， ∴∠CEO=∠ODB=90°， ∴∠BOD+∠B=90°， ∴∠COE=∠B， 在△COE和△OBD中， ¿， ∴△COE≌△OBD (AAS)， ∴OE=BD=8cm， ∴AE=OA−OE=17−8=9cm． 【点睛】此题考查全等三角形的性质和判定，解题思路是找准条件判定全等，解题的关键是证明 △COE≌△OBD (AAS)． 2．（2023·全国·九年级专题练习）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点在直线DE上，且 ∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称 为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，Rt △ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点，过作AD⊥ED于点D，过B 作 BE⊥ED于点E．求证：△BEC ≌△CDA． (2)如图3，在△ABC中，D 是BC上一点，∠CAD=90°，AC=AD， ∠DBA=∠DAB，AB=2❑ √3，求点到AB边的距离． (3)如图4，在▱ABCD中，E 为边BC上的一点，F 为边AB上的一点．若 ∠≝¿∠B，AB=10，BE=6，求 EF DE 的值． 【答】(1)见解析 (2)❑ √3 (3) EF DE =3 5 【分析】（1）由直角三角形的性质得出∠ACD=∠EBC，可证明△BEC ≌△CDA； （2）过点D 作DF ⊥AB于点F，过点作CE⊥AB于，交BA的延长线于点E，证明△CAE≌△ADF， 由全等三角形的性质可得出CE=AF=❑ √3，则可得出答； （3）过点D 作DM=DC交BC的延长线于点M，证明△BFE∽△MED，由相似三角形的性质可得出答． 【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，∠BCE+∠ACB+∠ACD=180°， ∴∠BCE+∠ACD=180°， ∵AD⊥ED，BE⊥ED， ∴∠BEC=∠CDA=90°，∠EBC+∠BCE=90°， ∴∠ACD=∠EBC， 在△BEC和△CDA中， ¿， ∴△BEC ≌△CDA； （2）解：过点D 作DF ⊥AB于点F，过点作CE⊥AB于，交BA的延长线于点E， ∵∠DBA=∠DAB， ∴AD=BD， ∴AF=BF=1 2 AB=❑ √3， ∵∠CAD=90°， ∴∠DAF+∠CAE=90°， ∵∠DAF+∠ADF=90°， ∴∠CAE=∠ADF， 在△CAE和△ADF中， ¿， ∴△CAE≌△ADF， ∴CE=AF=❑ √3， 即点到AB的距离为❑ √3； （3）过点D 作DM=DC交BC的延长线于点M， ∴∠DCM=∠M， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DM=CD=AB=10，AB∥CD ∴∠B=∠DCM=∠M， ∵∠FEC=∠≝+∠DEC=∠B+∠BFE ,∠B=∠≝¿， ∴∠DEC=∠BFE， ∴△BFE∽△MED， ∴EF DE = BE DM = 6 10=3 5． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定 与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（2022·北京·校考一模）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P 顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如，图1中点D为点C关于点 P的“垂直图形”． (1)点关于原点O的“垂直图形”为点B． ①若点的坐标为(0,3)，则点B的坐标为___________； ②若点B的坐标为(3,1)，则点A的坐标为___________； (2)E(−3,3)，F(−2,3)，G(a,0)，线段EF关于点G的“垂直图形”记为E' F '，点E的对应点为E'，点 F的对应点为F '． ①求点E'的坐标（用含a的式子表示）； ②若⊙O的半径为2，E' F '上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的EE'的长度的最大值． 【答】(1)①(3,0)，②(−1,3) (2)①(3+a,3+a)，②❑ √22 【分析】(1)① ②根据“垂直图形”的定义可得答； (2)①过点E 作EP⊥x轴于点P，过点E'作E' H ⊥x轴于点H，利用AAS证明△PEG △HGE'得 E' H=PG=a+3，GH=EP=3，从而得出答；②由点E'的坐标可知，满足条件的点E'在第一象限的 ⊙O上，求出点E'的坐标，从而解决问题． 【详解】（1）解：①∵点的坐标为(0,3)， ∴点B的坐标为(3,0)， 故答为：(3,0)； ②当B (3,1)时，如图，A (−1,3)， 故答为：(−1,3)； （2）解：①过点E 作EP⊥x轴于点P，过点E'作E' H ⊥x轴于点H， ∵∠EGE'=90°，EG=E' G， ∴∠EGP+∠E' GH=90°，∠EGP+∠E=90°， ∴∠E=∠E' GH， ∵∠EPG=∠GHE'， ∴ △PEG △HGE' （AAS）， ∴E' H=PG=a+3，GH=EP=3， ∴OH=3+a， ∴E' （3+a,3+a）； ②如图，观察图象知，满足条件的点E'在第一象限的⊙O上， ∵E' (3+a,3+a)，OE'=2， ∴(a+3) 2+(a+3) 2=2 2，a+3=❑ √2(负值舍去)， ∴a=❑ √2−3， ∴E' (❑ √2,❑ √2)， ∴EE'= ❑ √(❑ √2+3) 2+(❑ √2−3) 2=❑ √22． ∴EE'的长度的最大值为❑ √22． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，“垂直图形”的定义，坐标与图 形，求出点E'的坐标是解题的关键． 4．（2021·浙江嘉兴·校考一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外 两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△B 中，∠B＝90°，＝B，分别过、B 向经 过点直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：△D≌△EB． (1)探究问题：如果≠B，其他条件不变，如图②，可得到结论；△D∽△EB．请你说明理由． (2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝1 2x 与直线D 交于点M（2，1），且两直线夹角为 α，且tα＝3 2，请你求出直线D 的解析式． (3)拓展应用：如图④，在矩形BD 中，B＝4，B＝5，点E 为B 边上一个动点，连接E，将线段E 绕点E 顺 时针旋转90°，点落在点P 处，当点P 在矩形BD 外部时，连接P，PD．若△DP 为直角三角形时，请你探 究并直接写出BE 的长． 【答】(1)见解析 (2)y=−4 7 x+ 15 7 (3)4 或3+❑ √7 2 【分析】（1）由同角的余角相等可得∠BE=∠D，且∠D=∠BE=90°，可得结论； （2）过点作⊥M 交直线D 于点，分别过M、作ME⊥x 轴F⊥x 轴，由（1）的结论可得： △F∽△EM，可得 NF OE = OF ME = NO MO ，可求点坐标，利用待定系数法可求解析式； （3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和相似三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：理由如下， ∵∠B＝90°， ∴∠D+∠BE＝90°， 又∵∠D＝90°， ∴∠D+∠D＝90°， ∴∠BE＝∠D，且∠D＝∠BE＝90°， ∴△D∽△EB； （2）解：如图，过点作⊥M 交直线D 于点，分别过M、作ME⊥x 轴，F⊥x 轴， 由（1）可得：△F∽△EM， ∴NF OE = OF ME = NO MO ， ∵点M（2，1）， ∴E＝2，ME＝1 ， tα ∵ ＝ON OM ＝3 2， ∴NF 2 =OF 1 =3 2， ∴F＝3，F＝3 2 ， ∴点（−3 2 ，3）， ∵设直线D 表达式：y＝kx+b， ∴¿ ∴¿ ∴直线D 的解析式为：y＝-4 7 x+15 7 ； （3）解：当∠DP＝90°时，如图，过点P 作P⊥B，交B 延长线于点， ∵∠D+∠DP＝180°， ∴点，点D，点P 三点共线， ∵∠BP＝∠B＝∠＝90°， ∴四边形BP 是矩形， ∴B＝P＝4， ∵将线段E 绕点E 顺时针旋转90°， ∴E＝EP，∠EP＝90°， ∴∠EB+∠PE＝90°，且∠BE+∠EB＝90°， ∴∠BE＝∠PE，且∠B＝∠＝90°，E＝EP， ∴△BE≌△EP（S）， ∴BE＝P＝4， 当∠PD＝90°时，如图，过点P 作P⊥B，交B 延长线于点，延长P 交D 的延长线于，则四边形D 是矩形， ∴D＝＝4，D＝， 设BE＝x，则E＝5-x， ∵将线段E 绕点E 顺时针旋转90°， ∴E＝EP，∠EP＝90°， ∴∠EB+∠PE＝90°，且∠BE+∠EB＝90°， ∴∠BE＝∠PE，且∠B＝∠EP＝90°，E＝EP， ∴△BE≌△EP（S）， ∴P＝BE＝x，B＝E＝4， ∴P＝4-x，＝4-（5-x）＝x-1＝D， ∵∠DP＝90°， ∴∠DP+∠P＝90°，且∠P+∠P＝90°， ∴∠P＝∠DP，且∠＝∠P＝90°， ∴△P∽△PD， ∴DN PH = NP CH ， ∴x−1 x =4−x x−1 ∴x＝3± ❑ √7 2 ∵点P 在矩形BD 外部， ∴x＝3+❑ √7 2 ， ∴BE＝3+❑ √7 2 ， 综上所述：当BE 的长为4 或3+❑ √7 2 时，△DP 为直角三角形． 【点睛】本题是考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形 的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． 5．（2022 下·安徽淮北·九年级校联考阶段练习）数学模型学习与应用．【学习】如图1，∠BAD=90°， AB=AD，BC ⊥AC于点，DE⊥AC于点E．由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D；又 ∠ACB=∠AED=90°，可以通过推理得到△ABC≌△DAE．我们把这个数学模型称为“一线三等角” 模型； (1)【应用】如图2，点B，P，D 都在直线l 上，并且∠ABP=∠APC=∠PDC=α．若BP=x， AB=2，BD=5，用含x 的式子表示D 的长； (2)【拓展】在△ABC中，点D，E 分别是边B，上的点，连接D，DE，∠B=∠ADE=∠C，AB=5， BC=6．若△CDE为直角三角形，求D 的长； (3)如图3，在平面直角坐标系xy 中，点的坐标为(2,4 )，点B 为平面内任一点．△AOB是以为斜边的等腰 直角三角形，试直接写出点B 的坐标． 【答】(1)CD=−1 2 x 2+ 5 2 x (2)3 (3)(3,1)或(−1,3) 【详解】（1）解：∵∠ABP=∠APC=∠PDC=α， ∴∠A+∠APB=∠APB+∠CPD， ∴∠A=∠CPD， 又∵∠ABP=∠PDC， ∴△ABP∽△PDC， ∴AB PD = BP CD ， 即x CD = 2 5−x ， ∴CD=−1 2 x 2+ 5 2 x． （2）解：如图4，当∠CED=90°时， ∵∠ADE=∠C，∠CAD=∠DAE， ∴△ACD∽△ADE， ∴∠ADC=∠AED=90°， ∵∠B=∠C，∠ADC=90° ∴点D 为B 的中点， ∴CD=1 2 BC=1 2 ×6=3． 如图5，当∠EDC=90°时， ∵∠B=∠C， ∴∠BAD=∠EDC=90°， 过点作AF ⊥BC，交B 于点F， ∴BF=1 2 BC=3，cos B= BF AB = AB BD =3 5， BD=25 3 >6，不合题意，舍去， ∴CD=3． （3）解：分两种情况： ①如图6 所示，过作⊥y 轴于D，过B 作BE⊥x 轴于E，D 与EB 相交于，则∠＝90°，∴四边形ED 是矩形 ∵点的坐标为（2，4）， ∴D＝2，D＝E＝4， ∵∠B＝90°， ∴∠BE+∠B＝90°， ∵∠B+∠B＝90°， ∴∠B＝∠BE， 在△B 与△BE 中， ¿ ∴△B≌△BE（S）， ∴＝BE，B＝E， 设E＝x，则B＝E＝D＝x， ∴＝BE＝x－2， ∴E＝BE+B＝x－2+x＝D＝4， ∴x＝3，x－2＝1， ∴点B 的坐标是（3，1）； ②如图7，同理可得，点B 的坐标（－1，3）， 综上所述，点B 的坐标为（3，1）或（－1，3）． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形 的性质等知识；正确的作出辅助线，证明三角形全等是解题的关键． 6．（2021 上·山东青岛·九年级统考期中）【模型引入】 我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K 型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候 很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题． 【模型探究】 如图，正方形BD 中，E 是对角线BD 上一点，连接E，过点E 作EF⊥E，交直线B 于点F． （1）如图1，若点F 在线段B 上，写出E 与EF 的数量关系并加以证明； （2）如图2，若点F 在线段B 的延长线上，请直接写出线段B，BE 和BF 的数量关系． 【模型应用】 （3）如图3，正方形BD 中，B＝4，E 为D 上一动点，连接E 交BD 于F，过F 作F⊥E 于F，过作G⊥BD 于G．则下列结论：①F＝F；②∠E＝45°；③BD＝2FG；④△E 的周长为8．正确的结论有 个． （4）如图4，点E 是正方形BD 对角线BD 上一点，连接E，过点E 作EF⊥E，交线段B 于点F，交线段于 点M，连接F 交线段BD 于点．给出下列四个结论，①E＝EF；②❑ √2DE＝F；③S△EM＝S△MF；④BE＝ DE+❑ √2BF；正确的结论有 个． 【模型变式】 （5）如图5，在平面直角坐标系中，四边形BD 是正方形，且D（0，2），点E 是线段B 延长线上一点， M 是线段B 上一动点（不包括点、B），作M⊥DM，垂足为M，交∠BE 的平分线与点，求证：MD＝M （6）如图6，在上一问的条件下，连接D 交B 于点F，连接FM，则∠FM 和∠MB 之间有怎样的数量关系？ 请给出证明． 【拓展延伸】 （7）已知∠M＝90°，点是射线上的一个定点，点B 是射线M 上的一个动点，且满足B＞．点在线段的延 长线上，且＝B．如图7，在线段B 上截取BE，使BE＝，连接E．若∠B+∠E＝β，当点B 在射线M 上运动 时，β 的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由． （8）如图8，正方形BD 中，D＝6，点E 是对角线上一点，连接DE，过点E 作EF⊥ED，交B 于点F，连 接DF，交于点G，将△EFG 沿EF 翻折，得到△EFM，连接DM，交EF 于点，若点F 是B 边的中点，则 △EDM 的面积是 ． 【答】（1）AE=EF，证明见解析；（2）BE= ❑ √2 2 (BC−BF )；（3）4；（4）3；（5）见解析；（6） ∠NMF=∠NMB，证明见解析；（7）β的大小不变，β=45°，理由见解析；（8）15 2 【分析】（1）过点E作YZ ⊥AD，交AD于Y ，交BC于Z,证明△ZBE是等腰直角三角形，进而证明 △AEY ≌ △EFZ，即可证明AE=EF； （2）过E分别向AB ,BC作垂线，垂足分别为T ,U，证明四边形TBUE是正方形，证明△TEA ≌ △UEF， 过A作AV ⊥BD于V ,过F作FW ⊥BD的延长线于点W ，设正方形的边长为a，在Rt △ABD中，求得 BD，进而求得AV =1 2 BD= ❑ √2 2 a，证明△AEV ≌ △EFW ，进而可得BW = ❑ √2 2 BF，由 BE+BW =BE+EV =BV =AV = ❑ √2 2 a，可得BE= ❑ √2 2 (BC−BF ) （3）①由（1）直接判断①；根据△AFH是等腰直角三角形，即可判断②；过A作AR⊥BD于R,证明 △ARF ≌△FGH可得AR=FG，进而判断；③过点A作AQ⊥HE于点Q，延长CB至Q，使BP=DE， 证明△APH ≌△AEH，进而可得△E 的周长为2BC，即可判断④； （4）①由（1）直接判断①；过E作PQ // DC,交AD ,BC分别为点P ,Q，证明△DPE , △EQB是等腰直 角三角形，证明Rt △EFQ ≌ Rt △AEP，进而可得DE=❑ √2 DP= ❑ √2 2 CF，即可判断②；过F作 KF // PQ交BD于点K,KN ⊥PQ于N，可得KB=❑ √2BF，由②可知PD=QF，进而证明 △DPE≌△KNE，BE=BK +EK=DE+❑ √2BF可判断④，由于M点的位置不确定，无法判断S△AEM和 S△MCF的关系，即可判断③； （5）在OD上取OH=OM，连接HM，证明△HDM ≌ △BMN即可； （6）延