模型13 全等三角形——倍长中线模型-解析版

全等三角形 模型（十三）——倍长中线模型 ◎结论：如图，D 为△B 的中线，则D＜ 1 2 （B+） 证明：延长D 到E,使DE=D,连接BE 在△D 和△EDB 中 D=ED, D= ∠ ∠EDB,D=BD D BD ∴△≌ E = ∴EB 在△BE 中,由三角形三边关系可得E<B+BE, BE= E=2D 2D< B+ D＜ 1 2 （B+） 间接倍长 有中点，可倍长，倍长之后8 字现 1．（2022·江苏·仪征市实验中学东区校八年级阶段练习）在 中， ，中线 ，则 边的取值范 围是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】延长 至 ，使 ，然后利用“边角边”证明 和 全等，根据全等三角形对应边相 等可得 ，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出 的取值范 围，即为 的取值范围． 【详解】解：如图，延长 至 ，使 ， ∵ 是 的中线， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 即 ∴ ． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第 三边．“遇中线，加倍延”构造全等三角形是解题的关键． 2．（2021·广西·灵山县烟墩中学八年级期中）如图，已知D 是△B 中B 边上的中线，B＝5，＝3，则D 的取值范围 是（ ） ．2＜D＜8 B．1＜D＜4 ．2＜D＜5 D．4≤D≤8 【答】B 【分析】如图所示，延长D 到E，使 ，连接E，先证 ，得 ，再由三角形任意两边 之和大于第三边，两边之差小于第三边求出E 的取值范围． 【详解】 如图所示，延长D 到E，使 ，连接E， D 是△B 中B 边上的中线， ， 在 与 中， ， ， ， 在 中，由三角形三边关系得： ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质，做辅助线构造全等三角形是解题的关键． 1．（2021·辽宁·盘锦市第一完全中学八年级期中）在 中，B＝6，＝10，那么中线D 边的取值范围是 ___． 【答】 【分析】延长 到点 ，使 ，连接 ，得出 ，推出 ，再根据三角形三边关 系定理即可得出答． 【详解】解：如图，延长 到点 ，使 ，连接 ， 是 中线， ， 在 和 中， ， ， ， ∵在 中， ， ∴ ， ， ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力． 2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在 中， 是 边上的中线， ， ，则 的取值范 围是________． 【答】 【分析】延长D 至点E，使DE=D，证明 ,由全等性质求出相关的线段长度，在 中，由 ，代入数值即可得到答． 【详解】解：延长D 至点E，使DE=D，如下图： ∵D 是B 的中点 ∴BD=D 在 和 中： ∴ ∴ ∵D=5 ∴E=10 在 中，由 得： 即： 故答为： 【点睛】本题考查三角形的全等判定和性质，三角形的三边关系，牢记相关知识点并灵活应用是解题关键． 3．（2022·浙江·杭州市保俶塔实验学校八年级期中）如图，平行四边形BD，点F 是B 上的一点，连接F，∠FD＝ 60°，E 平分∠FD，交D 于点E，且点E 是D 的中点，连接EF，已知D＝5，F＝3，则EF＝__． 【答】4 【分析】延长E，B 交于点G，判定△DE GE ≌△ ，即可得出G＝D＝5，E＝GE，再根据三线合一即可得到FE G ⊥， 进而得出Rt△EF 中，EF＝ F＝4． 【详解】解：如图，延长E，B 交于点G， ∵点E 是D 的中点， DE ∴ ＝E， ∵平行四边形BD 中，D B ∥， D ∴∠＝∠EG， 又∵∠ED＝∠GE， DE GE ∴△ ≌△ ， G ∴＝D＝5，E＝GE， 又∵E 平分∠FD，D B ∥， FE ∴∠ ＝∠DE＝∠G＝ ∠DF＝30°， F ∴＝GF＝3+5＝8， 又∵E 是G 的中点， FE G ∴ ⊥， 在Rt△EF 中，∠FE＝30°， EF ∴ ＝ F＝4， 故答为：4． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合运用，解决 问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推算． 1．（2021·甘肃兰州·模拟预测）如图，在△B 中，B＝4，＝2，点D 为B 的中点，则D 的长可能是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【答】B 【分析】延长D 到E，使DE＝D，连接BE．证△D≌△EDB（SS），可得BE＝＝2，再利用三角形的三边关系求出 E 的范围即可解决问题． 【详解】解：延长D 到E，使DE＝D，连接BE， 在△D 和△EDB 中， ， ∴△D≌△EDB（SS）， ∴BE＝＝2， 在△BE 中，B﹣BE＜E＜B+BE， 即2＜2D＜6， 解得1＜D＜3， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的全等判定和性质，三角形三边关系定理，熟练证明三角形的全等是解题的关键． 2．（1）如图1，D 是△B 的中线，延长D 至点E，使ED=D，连接E． ①证明△BD≌△ED； ②若B＝5，＝3，设D＝x，可得x 的取值范围是_______； （2）如图2，在△B 中，D 是B 边上的中点，DE⊥DF，DE 交B 于点E，DF 交于点F，连接EF，求证：BE＋F＞ EF． 【答】（1）①见解析；②1＜x＜4；（2）见解析 【分析】（1）由D 是△B 的中线推出D＝BD，再用SS 证明即可； （2）由△BD≌△ED 推出B＝E=5，由ED=D 推出E=2x，由△E 三边关系 将已求代入解不等 式即可； （3）延长FD 到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．用SS 证明△DF≌△BDG，△EDF≌△EDG，从而得到F＝BG， EF＝EG，最后利用在△BEG 的三边关系BE+BG＞EG 得证． 【详解】（1）①∵D 是△B 的中线， ∴D＝BD， 在△BD 与△ED 中， ， ∴△BD≌△ED（SS） 1 ②＜x＜4， 理由如下： ∵△BD≌△ED，B＝5， ∴B＝E=5， ∵ED=D，D＝x， ∴E=2x． 由△E 三边关系得： ， 又∵＝3， ∴ ， 解得：1＜x＜4． 故答是：1＜x＜4． （2）延长FD 到G，使得DG＝DF，连接BG、EG． ∵D 是B 边上的中点， ∴D＝DB． 在△DF 与△BDG 中， ， ∴△DF≌△BDG（SS）． ∴F＝BG， ∵DE⊥DF， ∴ ． 在△EDF 与△EDG 中， ， ∴△EDF≌△EDG． ∴EF＝EG． 在△BEG 中，BE+BG＞EG， 即BE+F＞EF． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系和全等三角形的性质与判定，根据题意画辅助线是解题的关键．