79 倍半角模型

倍半角模型知识精讲 一、二倍角模型处理方法 1 作二倍角的平分线，构成等腰三角形 例：如图，在△B 中，∠B＝2∠，作∠B 的平分线交于点D，则∠DB＝∠，DB＝D，即△DB 是 等腰三角形 2 延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形 例：如图，在△B 中，∠B＝2∠，延长B 到点D，使得BD＝B，连接D，则△BD、△D 都是等 腰三角形 例题：如图，在△B 中，∠＝2∠，＝2B，求证：∠B＝90º 【解答】见解析 【证法一】如图1，作∠的平分线E 交B 于点E，过点E 作ED⊥于点D 则∠E＝∠，E＝E， ∵E＝E，ED⊥，∴D＝ ， 又∵＝2B，∴D＝B，∴△DE≌△BE，∴∠B＝∠DE＝90º； 【证法二】如图2，延长到点D，使得D＝B，连接BD，取的中点E，连接BE 由题意可得E＝D＝B，∠DBE＝90º， ∵D＝B，∠D＝∠BD，∴∠B＝2∠D， ∵∠B＝2∠，∠＝∠D，∴B＝BD， 又∵E＝D，∴△BE≌△DB，∴∠BE＝∠DB，∴∠B＝∠EBD＝90º 【证法三】如图3，作∠的平分线D，延长B 到点E，使得E＝，∴＝B＋BE ∵＝2B，∴B＝BE，在△D 与△ED 中，＝E，∠D＝∠ED，D＝D， ∴△D≌△ED，∴∠＝∠E ， 又∵∠DB＝∠D＝∠，∴∠E＝∠DB，∴D＝DE，∴∠B＝90º 二、倍半角综合 1 由“倍”造“半” 已知倍角求半角，将倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长即可 如图，若 ，则 （ ） 2 由“半”造“倍” 已知半角求倍角，将半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段即可 如图，在Rt△B（∠＜45º）的直角边上取点D，当BD＝D 时，则∠BD＝2∠，设 ，则 ，在Rt△BD 中，由勾股定理可得 ， 解得 ，故有 三、一些特殊的角度 1 由特殊角30º 求t15º 的值 如图，先构造一个含有30º 角的直角三角形，设B＝1， ，B＝2，再延长至 D ，使得D ＝B ＝2 ，连接BD ，构造等腰△BD ，则∠D ＝ ∠B ＝15º ， 2 由特殊角45º 求t225º 的值 由图可得 ， 3 “345”三角形 （1）如图1，Rt△B 三边比为3:4:5，Rt△BD 三边比为 ，若 ， 则 ； （2）如图2，Rt△B 三边比为3:4:5，Rt△BD 三边比为 ，若 ， 则 ； （3）如图3，Rt△B 三边比为3:4:5，Rt△BD 三边比为 ，若 ，则 倍半角模型巩固练习（提优） 1 如图，在正方形BD 中，点E、F 分别在B、B 上，且∠FDE＝45º，连接DE、DF、 EF，试探究EF、F、E 之间的数量关系 【解答】EF＝F＋E，证明见解析 【解析】如图，将△DE 绕着点D 顺时针旋转90º 得到△DG ∵∠ED＋∠DF＋∠FDE＝90º，∠FDE＝45º，∴∠ED＋∠DF＝45º， 又∵旋转，∴DE＝DG，∠GD＝∠ED，∴∠GD＋∠DF＝∠GDF＝∠FDE＝45º， 在△DGF 与△DEF 中，DF＝DF，∠GDF＝∠EDF，DG＝DE，∴△DGF≌△DEF，∴EF＝GF＝ G＋F， ∵旋转，∴G＝E，∴EF＝F＋E 2 如图，在△B 中，B＝，∠B＝90º，点D 在B 的延长线上，连接D，E⊥D，∠E＝∠BD （1）求证：D＝E； （2）点F 为D 的中点，F 的延长线交BE 于点G，求∠GE 的度数 【解答】（1）见解析；（2）∠GE＝90º 【解析】（1）证明：∵E⊥D，∴∠DE＝∠90º，∴∠DB＋∠BE＝90º， ∵∠B＝90º，∴∠E＋∠BE＝90º，∴∠DB＝∠E， ∵∠E＝∠BD，B＝，∴△DB≌△E，∴D＝E； （2）如图，延长G 至点，使得F＝F ∵点F 为D 的中点，∴DF＝F， ∵∠DF＝∠F，∴△DF≌△F，∴D＝，∠＝∠F，∴D∥，∴∠D＋∠D＝180º， ∵∠BE＋∠D＝∠BE＋∠DE＋∠E＝90º＋90º＝180º，∴∠D＝∠BE， ∵B＝，∴D＝B， ∵D＝E，∴△D≌△EB，∴∠D＝∠EB， ∵∠D＋∠GE＝90º，∴∠EB＋∠GE＝90º，∴∠GE＝180º－（∠EB＋∠GE）＝180º－90º＝90º 3 如图，在平行四边形BD 中，E⊥B 于点E，E＝D，点F 为E 的中点，点G 为D 上的一 点，连接DF、EG、G，∠1＝∠2 （1）若F＝2，E＝3，求BE 的长； （2）求证：∠EG＝ ∠GE 【解答】（1） ；（2）见解析 【解析】（1）∵E＝D，点F 是E 的中点，F＝2，∴D＝E＝2F＝4， ∵四边形BD 是平行四边形，∴B＝D＝4， ∵E⊥B，∴∠EB＝90º， 在Rt△BE 中，由勾股定理可得 ； （2）如图，过点G 作GM⊥E 于点M ∵E⊥B，GM⊥E，∴GM∥B∥D，在△DF 与△EG 中， ∵ ，∴△DF≌△EG，∴G＝F，E＝D， ∵E＝2F，∴D＝2G，即点G 是D 的中点， ∵D∥GM∥B，∴M 为E 的中点，∴M＝EM， ∵GM⊥E，∴G＝EG，∴∠GM＝∠EGM，∴∠GE＝2∠MGE， ∵GM∥B，∴∠EGM＝∠EG，∴∠EG＝ ∠GE 4 如图，在正方形BD 中，E 为D 边上的中点，过点作F⊥BE 交D 边于点F，M 是D 边 上一点，且BM＝DM＋D （1）求证：点F 是D 边上的中点； （2）求证：∠MB＝2∠BE 【解答】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）∵四边形BD 是正方形，∴D＝D＝B＝B，∠＝∠D＝∠BD＝90º，B∥D， ∵F⊥BE，∴∠E＝90º，∴∠EF＋∠EB＝90º，∠EF＋∠BF＝90º，∴∠EB＝∠BF， ∵B∥D，∴∠BF＝∠FD，∴∠EB＝∠FD， ∠ ∵ BD＝∠D，B＝D，∴△BE △ ≌DF，∴E＝DF， ∵点E 是边D 的中点，∴点F 是D 边上的中点； （2）延长D 至点G，使得MG＝MB，连接FG、FB，如图所示： ∵BM＝DM＋D，∴DG＝D＝B， ∠ ∵ GDF＝∠＝90º，DF＝F，∴△FDG △ ≌FB，∴∠DFG＝∠FB，∴点B、F、G 共线， ∵点E 为D 边上的中点，点F 是D 边上的中点，D＝D，∴E＝F， ∵B＝B，∠＝∠BD＝90º，E＝F，∴△BE △ ≌BF，∴∠BE＝∠BF， ∵G∥B，∴∠GB＝∠BF＝∠BE，∴∠MB＝∠MB＝2∠GB＝2∠GB＝2∠BE，∴∠MB＝2∠BE 5 如图，在矩形BD 中，F 是D 上一点，E 平分∠BF 交B 于点E，且DE⊥F，垂足为点 M，BE＝3， ，求MF 的长 【解答】MF＝ 【解析】【方法一】∵E 平分∠BF 交B 于点E，且DE⊥F，∠B＝90º，∴B＝M，BE＝EM＝ 3， 又∵ ，∴ ， 设 ，在△DM 与△DFM 中， 又∵△DMF∽△DE， ，即 ， ，解得 ； 【方法二】如图，在B 上取点并使得∠E＝∠E，连接E， 由题意可得＝E，且∠BE＝2∠BE， ∵BE＝3， ，∴ ，设 ，则 ， 在Rt△EB 中，由勾股定理得 ，解得 ， ， ， 由 和 得DM＝1， 由 和DM＝1 得MF＝ 6 如图，在△B 中，∠B＝90º，D 是B 边上的一点，M 是D 的中点，若∠MD＝∠BMD 求证： ∠D＝2∠D 【解答】见解析 【解析】证明：过点作G∥D 交BM 延长线于点交B 的延长线于点G，连接，如图所示： 由题意可得∠BMD＝∠B，∠MD＝∠M，∠＝∠D，即 ， ∵M＝DM，∴G＝，即点是G 的中点， ∵⊥B，∴ ，∴∠＝∠＝∠D， ∴∠M＝∠＋∠D＝∠D＋∠D＝2∠D， ∵∠M＝∠MD，∠MD＝∠BMD，∠BMD＝∠B，∠BMD＝∠M，∴M＝M， ∵MD＝M，∠MD＝∠M，M＝M，∴△MD≌△M，∴∠DM＝∠M＝2∠D 7 如图1：在四边形BD 中，B＝D，∠BD＝120°，∠B＝D＝90°，E、F 分别是B，D 上 的点，且∠EF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD 之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG ＝BE ，连接G ，先证明 △BE △ ≌DG，再证明△EF △ ≌GF，即可得出BE，EF，FD 之间的数量关系，他的结论应是 ． 象上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模 型称为半角模型． 拓展 如图2，若在四边形BD 中，B＝D，∠B+∠D＝180°，E、F 分别是B，D 上的点，且∠EF ¿ 1 2 ∠BD，则BE，EF，FD 之间的数量关系是 ． 请证明你的结论． 实际应用 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西30°的处，舰艇乙在指挥中 心南偏东70°的B 处，且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方 向以60 海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80 海里小时的速度前进， 12 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F 处，且两舰艇之间的夹角为 70°，试求此时两舰艇之间的距离是 海里（直接写出答）． 【解答】见解析 【解析】如图1，EF＝BE+DF， 理由如下：在△BE 和△DG 中， { AB=AD ∠B=∠ADG BE=DG ， △ ∴BE △ ≌DG（SS）， ∴E＝G，∠BE＝∠DG， ∠ ∵ EF¿ 1 2 ∠BD， ∠ ∴ GF＝∠DG+∠DF＝∠BE+∠DF＝∠BD ∠ ﹣ EF＝∠EF， ∠ ∴ EF＝∠GF， 在△EF 和△GF 中， { AE=AG ∠EAF=∠GAF AF=AF ， △ ∴EF △ ≌GF（SS）， ∴EF＝FG， ∵FG＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF； 故答为 EF＝BE+DF； 如图2，EF＝BE+DF， 理由：延长FD 到点G．使DG＝BE．连结G， 在△BE 和△DG 中， { BE=DG ∠B=∠ADG AB=AD ， △ ∴BE △ ≌DG（SS）， ∴E＝G，∠BE＝∠DG， ∠ ∵ EF¿ 1 2 ∠BD， ∠ ∴ GF＝∠DG+∠DF＝∠BE+∠DF＝∠BD ∠ ﹣ EF＝∠EF， ∠ ∴ EF＝∠GF， 在△EF 和△GF 中， { AE=AG ∠EAF=∠GAF AF=AF ， △ ∴EF △ ≌GF（SS）， ∴EF＝FG， ∵FG＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF； 如图3，连接EF，延长E、BF 相交于点， ∠ ∵ B＝30°+90°+（90° 70° ﹣ ）＝140°，∠EF＝70°， ∠ ∴ EF¿ 1 2 ∠B， ∵＝B，∠+∠B＝（90° 30° ﹣ ）+（70°+50°）＝180°， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论EF＝E+BF 成立， 即EF＝12×（60+80）＝168（海里）． 故答为：168．