专题18 全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

专题18 全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三 角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法 的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中 提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因 为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几 何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每 一个题型，做到活学活用！ .................................................................................................................................................2 模型1 倍长中线模型....................................................................................................................................... 2 模型2 截长补短模型..................................................................................................................................... 10 ...............................................................................................................................................20 模型1 倍长中线模型 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。 所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关 知识来解决问题的方法。（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 倍长中线在全等三角形的辅助线做法中，难度不是特别大，相对好理解和掌握。 练习时要记住下面三点：①见中点，先倍长；②证明8 字全等；③找关系。 1）倍长中线模型（中线型） 条件：D 为△B 的中线。 结论： 证明：延长D 至点E，使DE=D，连结E。 ∵D 为△B 的中线，∴BD=D，∵∠BD=∠DE，∴△BD △ ≌ED（SS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△B 中，D 为B 边的中点，E 为B 边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FD。 证明：延长ED，使DF=DE，连接F。 ∵D 为B 边的中点，∴BD=D，∵∠BDE=∠DF，∴△EDB≌△FD（SS） 3）倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：B∥D，E 为的中点，F 为B 边上一点（不同于端点）。结论：△FE≌△GE。 证明：延长FE，交D 的延长线于点G。 ∵E 为的中点，∴E=E，∵B∥D，∴∠=∠EG，∠FE=∠G，∴△FE≌△GE（S） 若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在D 上，为了避免证明三点共线，点G 就直接 通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“S”或“S”证明全等。这里“中点+平行线型” 可以看做是“中点型”的改良版。 例1．（2024·广东·校考二模）综合与实践：小明遇到这样一个问题，如图1， 中， ， ， 点 为 的中点，求 的取值范围． 小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍， 以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长 到 ，使 ，连接 ，构造 ，经过推理和计算使问题得到解决 请回答：(1)小明证明 用到的判定定理是：________；（填入你选择的选项字母） ． B． ． D． (2) 的取值范围是________． 小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造． 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，在正方形 中， 为 边的中点， 、 分别为 ， 边上的点，若 ， ， ，求 的长． 例2．（23-24 辽宁锦州七年级期末）【问题提出】期末复习课上，数学丁老师出示了下面一个问题：如图 1，在 中， 是 延长线的点， 是 边上一点，且满足 ，那么 是 的中点，请你说明理由． 【思路探究】小王同学从条件出发分析解题思路：以 为腰构造等腰 和平行八字型全等三角形， 如图2，以点 为圆心，以 长为半径画弧，交 的延长线于点 ，先应用等腰三角形的轴对称性，再 应用三角形全等“ ”（或“ ”）的判定方法即可得 ，小张同学从结论出发分析解题思 路：以 为腰构造等腰 ，将说明 的问题转化为说明 的问题，如图3，以点 为 圆心，以 长为半径画弧，交 于点 ，于是可得 ，再应用三角形全等“ ”(或“ ”)的判定方法即可得 ． （1）请你选择小张同学或小王同学的思路或按自己的思路写出完整的解题过程； 【学以致用】（2）请你在理解了小张同学或小王同学解题思路的基础上，解答下面一道图形较为复杂的 同类问题：如图4，在四边形 中， ，过点 作线段 ，且 ， 连接 ，交 的延长于点 ，猜想 与 的数量关系并说明理由． 例3．（2024·江苏·九年级校考期中）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，△B 中，若B＝8，＝6，求B 边上的中线D 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的 解决方法：延长D 至点E，使DE＝D，连接BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到△D △ ≌EDB，依据是 ．．SS；B SSS； S；D L (2)由“三角形的三边关系”可求得D 的取值范围是 ． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件 和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (3)【初步运用】如图②，D 是△B 的中线，BE 交于E，交D 于F，且＝BF．求证E＝FE． (4)【灵活运用】如图③，在△B 中，∠＝90°，D 为B 中点，DE⊥DF，DE 交B 于点E，DF 交于点F，连接 EF．试猜想线段BE、F、EF 三者之间的数量关系，并证明你的结论． 例4．（23-24 九年级上·吉林长春·阶段练习）【问题探究】在学习三角形中线时，我们遇到过这样的问题： 如图，在 中，点D 为 边上的中点， ， ，求线段 长的取值范围．我们采用的方 法是延长线段 到点E，使得 ，连结 ，可证 ，可得 ，根据三角形 三边关系可求 的范围，我们将这样的方法称为“三角形倍长中线”，则 的范围是：________． 【拓展应用】（1）如图，在 中， ， ， ， ，求 的长． （2）如图，在 中，D 为 边的中点，分别以 为直角边向外作直角三角形，且满足 ，连结 ，若 ，则 ________．（直接写出） 模型2 截长补短模型 截长补短模型分为截长模型和补短模型：适用于求证线段的和差倍分关系，截长补短的关键在于通过 辅助线构造出全等三角形、等腰三角形。该类题目条件中常出现等腰三角形（两边相等）、角平分线（两 角相等）等关键词句，可采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程（往往需证2 次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：D 为△B 的角平分线，∠B=2∠。 结论：B＋BD＝。 证明：法1（截长法）:在线段上截取线段B′＝B，连接DB。 ∵D 为△B 的角平分线，∴∠BD=∠B′D，∵D=D，∴△BD △ ≌B′D（SS） ∠ ∴ B=∠B′D，BD=B′D，∵∠B=2∠，∴∠B′D=2∠，∴∠B′D=2∠，∴∠B′D=∠， ∴B′＝B′D，∴BD=B′，∵B′＋B′＝，∴B＋BD＝。 法2（补短法）:延长B 至点′使得′＝，连接B′。 ∵D 为△B 的角平分线，∴∠′D=∠D，∵D=D，∴△′D △ ≌D（SS） ∠ ∴ ′=∠，∵∠B=2∠，∴∠B=2∠′，∴∠BD′=∠′，∴B′＝BD， ∵B＋B′＝′，∴B＋BD＝。 例1．（2024·辽宁大连·模拟预测）【方法探究】如图1，在 中， 平分 ， ， 探究 ， ， 之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如图2，在 上截取 ，使得 ，连接 ，可以得到全等三角形，进而解决此问题． 方法2：如图3，延长 到点 ，使得 ，连接 ，可以得到等腰三角形，进而解决此问题． （1）根据探究，直接写出 ， ， 之间的数量关系； 【迁移应用】（2）如图4，在 中，D 是 上一点，， ， 于 ，探究 ， ， 之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】（3）如图5， 为等边三角形，点 为 延长线上一动点，连接 ．以 为边在 上方作等边 ，点 是 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ．若 ，求 证： ． 例2．（23-24 八年级上·河南漯河·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形 中，对角线 平分 ， ．求证： ． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在 上截取 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长 到点 ，使得 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1 和方法2 中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接 ，当 时，探究线段 ， ， 之间 的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形 中， ， ，过点 作 ，垂足为 点 ，请写出线段 、 、 之间的数量关系． 例3．（23-24 九年级上·江苏南通·期中）如图，四边形 是 内正方形，P 是圆上一点（点P 与点， B，，D 不重合），连接 ．(1)若点P 是弧 上一点，①∠BP 度数为 ___________； ②求证： ；小明的思路为：这是线段和差倍半问题，可采用截长补短法，请按小明思路 完成下列证明过程（也可按自己的想法给出证明）．证明：在 的延长线上截取点E．使 ，连接 ． (2)探究当点P 分别在 ， ， 上，求 的数量关系，直接写出答，不需要证明． 例4．（23-24 八年级下·辽宁盘锦·期中）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添 加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一 短边相等，从而解决问题．（1）如图1， 是等边三角形，点 是边 下方一点， ， 探索线段 、 、 之间的数量关系．思路：延长 到点 ，使 ，连接 ，根据 ，可证 ，易证得 ≌ ，得出 是等边三角形，所以 ，从而探寻线段 、 、 之间的数量关系．根据上述解题思路，请写出 、 、 之间的数量关系是______； 【拓展延伸】（2）如图2，在 中， ， ，若点 是边 下方一点， ，探索线段 、 、 之间的数量关系，并说明理由； 【知识应用】（3）如图3，两块斜边长都为 的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角 顶点之间的距离 m． 1．（2023 秋·江西九江·八年级校考期末）如图，在△B 中，点D 是B 的中点，若B＝5，＝13，D＝6，则 B 的长为 ． 2．（2023·江苏淮安·三模）【探究发现】（1）如图1，在 中，D 为 边的中点，连接 并延长 至点，使 ，连接 ．由 ，得 ，则 与 的数量关系为_____ _，位置关系为______． 【尝试应用】（2）如图2，在 中， 平分 ，D 为 边的中点，过点D 作 ，交的 延长线于点Q，交 边于点K．试判断 与 的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】（3）如图3，在 中， ， ， ，D 为 边的中点，连接 ，E 为 边上一动点，连接 交 于点F．①若 ．求 的长度； ②在射线 上取一点G，且 ，连接 ，直接写出 的最小值． 3．（23-24 九年级上·广东梅州·阶段练习）阅读下面材料：某同学遇到这样一个问题：如图1，在 中， 是 边上的中线，点 在 边上， 与 相交于点 ，求 的值． 他发现，过点 作 ，交 的延长线于点 ，通过构造 ，经过推理和计算能够使问题得到 解决（如图 2）．请回答：(1) 的值为___．(2)参考这个同学思考问题的方法，解决问题：如图 3，在 中， ，点 在 的延长线上， 与 边上的中线 的延长线交于点 ，求 的值____；(3)在（2）的前提下，若 ，则 ________． 4．（2024·山东·校考一模）阅读材料：如图1，在 中，D，E 分别是边B，的中点，小亮在证明“三 角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE 到点F，使 ，连接F，证 明 ，再证四边形DBF 是平行四边形即得证． 类比迁移：（1）如图2，D 是 的中线，E 是上的一点，BE 交D 于点F，且 ，求证： ． 小亮发现可以类比材料中的思路进行证明． 证明：如图2，延长D 至点M，使 ，连接M，……请根据小亮的思路完成证明过程． 方法运用：（2）如图3，在等边 中，D 是射线B 上一动点（点D 在点的右侧），连接D．把线段D 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE，F 是线段BE 的中点，连接DF、F．请你判断线段DF 与D 的数量关 系，并给出证明． 5．（2024·四川达州·模拟预测）[问题背景]在 中， ，求 边上的中线 的取值 范围，小组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：延长 到E，使得 ，再连接 ，把 集中在 中．(1)利用上述方法求出 的取值范围是_________； (2)[探究]如图2，在 中， 为 边上的中线，点D 在 的延长线上，且 ， 与 相 交于点，若四边形 的面积为20，求 的面积； (3)[拓展]如图3，在四边形 中， ，E 为 的中点，G、F 分别为 边上 的点，若 ， ， ，求 的长． 6．（2024·山西吕梁·一模）阅读与思考：下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． “倍长中线法”中线是三角形中的重要线段之一，利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”加 辅助线． 如图1．在 中， 平分 ，且 恰好是边 的中点．求证： ． 证明：如图2，延长 至点 ，使 ．∵ 是边 的中点 ∴ ． ∵ ， ，∴ （依据）．∴ ． ∵ 平分 ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ． 任务：(1)材料中的“依据”是________．（填选项） ． B． ． D． (2)在 中， ， ，则 边上的中线 长度的取值范围是________．(3)如图3， 在四边形 中， ， 平分 ，且 是 的中点， ， ，求 的长． 7．（23-24 八年级上·山西大同·期末）阅读以下材料，完成以下两个问题． [阅读材料]已知：如图， （ ）中，D、E 在B 上，且 ，过D 作 交E 于点 F， ．求证： 平分 ． 结合此题， ，点E 是 的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转 移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长 ，如图（1）所示；②考虑倍长 ，如图（2）所示以图 （1）为例，证明过程如下：证明：延长 至G，使 ，连接 ． 在 和 中， ，∴ ．∴ ． ∵ ，∴ ．∴ ．∴ ． ∵ ，∴ ．∴ ．∴ 平分 ． 问题1：参考上述方法，请完成图（2）的证明．问题2：根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在 中， 是 边上的中线，分别以 为直角边向外作等腰直角三角形， ， ， ， ，求 的长． 8．（2024·河南南阳·一模）李老师善于通过合适的主题整合学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展 的眼光看问题，形成科学的思维习惯，下面是李老师在“利用角的对称性构造全等模型”主题下设计的问 题，请你解答．（1）【观察发现】①如图1， 是 的角平分线， ，在 上截取 ，连接 ，则 与 的数量关系是__________； ②如图2， 的角平分线 、 相交于点P．当 时，线段 与 的数量关系是________ __； （2）【探究迁移】如图3，在四边形 中， ， 的平分线与 的平分线恰好 交于 边上的点P，试判断 与 的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】在（2）的条件下，若 ，当 有一个内角是 时，直接写出 边 的长． 9．（2023·湖南怀化·模拟预测）【证明体验】（1）如图1， 为 的角平分线， ，点 E 在 上， ．求证： 平分 ． 【思考探究】（2）如图2，在（1）的条件下，F 为 上一点，连接 交 于点G．若 ， ， ，求 的长． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形 中，对角线 平分 ，点E 在 上， ．若 ，求 的长． 10．（23-24 九年级上·浙江绍兴·期中）定义：如图1，在． 中，把 绕点按逆时针方向旋转 并延长一倍得到 ，把 绕点按顺时针方向旋转 ，并延长一倍得到 ，连结 ． 当 时，称 为 的“倍旋三角形”， 的边 上的中线 叫做 的 “倍旋中线”．(1)如图①，当 ， 时，“倍旋中线” 的长为______； (2)如图②，当 为等边三角形时，“倍旋三角形” 与 的数量关系为______． (3)在图③中，当 为任意三角形时，猜想“倍旋中线” 与 的数量关系，并给予证明． ① ② ③ 11．（22-23 九年级上·河南驻马店·阶段练习）如下表 倍长中线（Metdftmestelegtfle） 倍长中线的意思是：延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等， 然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等，此法常用于构造全等三角形， 利用中线的性质、辅助线、对顶角一般用“ ”证明对应边之间的关系．请用倍长中线法解答下面问题： 在 中， ， 是 边上的中线，点 为射线 上一动点． (1)问题发现：如图1，点 在 上， ， 与 相交于点 ，延长 至点 ，使得 ，连