专题13 全等模型-倍长中线与截长补短模型（原卷版）

专题13 全等模型-倍长中线与截长补短模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三 角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1 倍长中线模型 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添 加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角 形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 【常见模型及证法】 1、基本型：如图1，在三角形B 中，D 为B 边上的中线 证明思路：延长D 至点E，使得D=DE 若连结BE，则 ；若连结E，则 ； 2、中点型:如图2， 为 的中点 证明思路：若延长 至点 ，使得 ，连结 ，则 ; 若延长 至点 ，使得 ，连结 ，则 3、中点+平行线型：如图3, ，点 为线段 的中点 证明思路：延长 交 于点 (或交 延长线于点 )，则 例1．（2023·江苏徐州·模拟预测）（1）阅读理解： 如图①，在 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围． 可以用如下方法：将 绕着点 逆时针旋转 得到 ，在 中，利用三角形三边的关系 即可判断中线 的取值范围是______； （2）问题解决：如图②，在 中， 是 边上的中点， 于点 ， 交 于点 ， 交 于点 ，连接 ，求证： ； （3）问题拓展：如图③，在四边形 中， ， ， ，以 为顶点作 一个 的角，角的两边分别交 、 于 、 两点，连接 ，探索线段 ， ， 之间的数量 关系，并说明理由． 例2．（2023·贵州毕节·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： (1)如图1，△B 中，若B=5，=3，求B 边上的中线D 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的 解决方法：延长D 到点E，使DE=D，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程． (2)如图2，D 是△B 的中线，BE 交干E，交D 于F，且E=EF．请判昕与BF 的数量关系，并说明理由． 例3．（2022·山东·安丘市一模）阅读材料：如图1，在 中，D，E 分别是边B，的中点，小亮在证明 “三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE 到点F，使 ，连接 F，证明 ，再证四边形DBF 是平行四边形即得证． 类比迁移：（1）如图2，D 是 的中线，E 是上的一点，BE 交D 于点F，且 ，求证： ． 小亮发现可以类比材料中的思路进行证明． 证明：如图2，延长D 至点M，使 ，连接M，……请根据小亮的思路完成证明过程． 方法运用：（2）如图3，在等边 中，D 是射线B 上一动点（点D 在点的右侧），连接D．把线段D 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE，F 是线段BE 的中点，连接DF、F．请你判断线段DF 与D 的数量关 系，并给出证明． 例4．（2022·河南商丘·一模）阅读材料 如图1，在△B 中，D，E 分别是边B，的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三 边的一半”时，通过延长DE 到点F，使EF＝DE，连接F，证明△DE≌△FE，再证四边形DBF 是平行四边 形即得证． (1)类比迁移：如图2，D 是△B 的中线，BE 交于点E，交D 于点F，且E＝EF，求证：＝BF． 小明发现可以类比材料中的思路进行证明． 证明：如图2，延长D 至点M，使MD＝FD，连接M，……请根据小明的思路完成证明过程． (2)方法运用：如图3，在等边△B 中，D 是射线B 上一动点（点D 在点的右侧），连接D．把线段D 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE．F 是线段BE 的中点，连接DF，F．请你判断线段DF 与D 的数量关系，并 给出证明； 模型2 截长补短模型 【模型解读】 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句， 可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2 次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。 【常见模型及证法】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+D=D 方法：①在D 上取一点F，使得F=BE，证DF=D；②在D 上取一点F，使DF=D，证F=BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE+D=D 方法：①延长D 至点M 处，使M=BE，证DM=D；②延长D 至点M 处，使DM=D，证M=BE 例1．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，已知D∥B，∠PB 的平分线与∠B 的平分线相交于E，E 的连线 交P 于D．求证：D+B=B． 例2．（2023·广东肇庆·校考一模）课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在 中， 平分 交 于点D，且 ，求证： ，小明的 方法是：如图2，在 上截取 ，使 ，连接 ，构造全等三角形来证明． (1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段 构造全等三 角形进行证明．辅助线的画法是：延长 至F，使 =______，连接 请补全小天提出的辅助线的画法， 并在图1 中画出相应的辅助线； (2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D 在 的内部， 分别平分 ，且 ．求证： ．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； (3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在 中， ，点D 在边 上， ，那么 平分 小东判断这个 命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4 对这个命题进行证明． 例3．（2023·广西·九年级专题练习）在四边形BDE 中，是BD 边的中点． (1)如图（1），若平分∠BE，∠E=90°，则线段E、B、DE 的长度满足的数量关系为 ；（直接写出 答）；(2)如图（2），平分∠BE，E 平分∠ED，若∠E=120°，则线段B、BD、DE、E 的长度满足怎样的数量 关系？写出结论并证明． 例4．（2023·广东·九年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形 中，对角线 平分 ， ．求证： ． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在 上截取 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长 到点 ，使得 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1 和方法2 中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接 ，当 时，探究线段 ， ， 之间 的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形 中， ， ，过 点D 作 ，垂足为点E，请直接写出线段 、 、 之间的数量关系． 课后专项训练： 1．（2023 秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，在△B 中，B＝4，＝2，点D 为B 的中点，则D 的长 可能是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 2．（2022·浙江湖州·二模）如图，在四边形 中， ， ， ， ， ， 点 是 的中点，则 的长为（ ）． ．2 B． ． D．3 3．（2022·广东湛江·校考二模）已知：如图， 中，E 在 上，D 在 上，过E 作 于F， ， ， ，则 的长为 ___________． 4．（2023 秋·江西九江·八年级校考期末）如图，在△B 中，点D 是B 的中点，若B＝5，＝13，D＝6，则 B 的长为 ． 5．（2023 秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）（1）阅读理解：如图1，在 中，若 ， ． 求 边上的中线 的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长 至 ，使 ，连接 ．利用 全等将边 转化到 ，在 中利用三角形三边关系即可求出中线 的取值范围，在这个过程中小 聪同学证三角形全等用到的判定方法是___________，中线 的取值范围是___________； （2）问题解决：如图2，在 中，点 是 的中点， ． 交 于点 ， 交 于 点 ．求证： ； （3）问题拓展：如图3，在 中，点 是 的中点，分别以 为直角边向 外作 和 ，其中 ， ， ，连接 ，请你探索 与 的数量与位置关系． 6．（2023·黑龙江大庆·统考三模）如图，四边形 中， °， 为边 上一点，连 接 ， ， 为 的中点，延长 交 的延长线于点 ， 交 于点 ，连接 交 于 点 ． (1)求证 ；(2)若 ， ，求证：四边形 为矩形． 7．（2023·广东云浮·八年级统考期中）（1）阅读理解：如图①，在 中，若 ，求 边 上的中线 的取值范围．可以用如下方法：将 绕着点D 逆时针旋转 得到 ，在 中，利用三角形三边的关系即可判断中线 的取值范围是_______； （2）问题解决：如图②，在 中，D 是 边上的中点， 于点D， 交 于点E，DF 交 于点F，连接 ，求证： ； （3）问题拓展：如图③，在四边形 中， ， ， ，以为顶点作一 个 的角，角的两边分别交 于E、F 两点，连接EF，探索线段 之间的数量关系， 并说明理由． 8．（2023·江苏·九年级假期作业）（1）如图1，D 是△B 的中线，延长D 至点E，使ED=D，连接E． ①证明△BD≌△ED；②若B＝5，＝3，设D＝x，可得x 的取值范围是_______； （2）如图2，在△B 中，D 是B 边上的中点，DE⊥DF，DE 交B 于点E，DF 交于点F，连接EF，求证： BE＋F＞EF． 9．（2022 秋·北京昌平·九年级校联考期中）如图，为四边形BD 内一点，E 为B 的中点，＝D，B＝， ∠B+∠D＝ ．（1）若∠BE＝∠B，B＝ ，求B 的长； （2）用等式表示线段E 和D 之间的关系，并证明． 10．（2022 秋·安徽·九年级校联考阶段练习）安安利用两张正三角形纸片，进行了如下探究： 【探究证明】（1）如图1， 和 均为等边三角形，连接 交 延长线于点 ，求证： ； 【拓展延伸】（2）如图2，在正三角形纸片 的 边上取一点 ，作 交 外角平 分线于点 ，探究 ， 和 的数量关系，并证明； 【思维提升】（3）如图3， 和 均为正三角形，当 ， ， 三点共线时，连接 ，若 ，直接写出下列两式分别是否为定值，并任选其中一个进行证明：① ；② ． 11．（2023 秋·河南驻马店·八年级统考期末）(1)阅读理解： 问题：如图1，在四边形 中，对角线 平分 ， ．求证： ． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在 上截取 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长 到点 ，使得 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1 和方法2 中任选一种，添加辅助线并完成证明． (2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接 ，当 时，探究线段 ， ， 之间的数 量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图3，在四边形 中， ， ，过点 作 ，垂足为点 ，请写出线段 、 、 之间的数量关系并说明理由． 12．（2023·浙江衢州·校考一模）如图1，在 中， ， 平分 ，连接 ， ， ． (1)求 的度数；(2)如图2，连接 ， 交 于E，连接 ，求证： ； (3)如图3，在（2）的条件下，点G 为 的中点，连接 交 于点F，若 ，求线段 的长． 13．（2023 春·广东·九年级专题练习）课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在 中， 平分 交 于点D，且 ，求证： ，小明的 方法是：如图2，在 上截取 ，使 ，连接 ，构造全等三角形来证明． (1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段 构造全等三 角形进行证明．辅助线的画法是：延长 至F，使 =______，连接 请补全小天提出的辅助线的画法， 并在图1 中画出相应的辅助线； (2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D 在 的内部， 分别平分 ，且 ．求证： ．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； (3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在 中， ，点D 在边 上， ，那么 平分 小东判断这个 命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4 对这个命题进行证明． 14．（2023 春·广东深圳·九年级校考期中）如图，△B 为等边三角形，直线l 过点，在l 上位于点右侧的点D 满足∠BD＝60°。（1）如图1，在l 上位于点左侧取一点E，使∠E＝60°，求证：△E≌△DB； （2）如图2，点F、G 在直线l 上，连F，在l 上方作∠F＝120°，且F＝F，∠GF＝120°，求证：G+BD＝ F；（3）在（2）的条件下，当、B 位于直线l 两侧，其余条件不变时（如图3），线段G、F、BD 的数量 关系为 ． 15．（2022·河南·模拟预测）（1）如图①，在四边形BD 中，B=D，∠BD=120°，∠B=∠D=90°，E、F 分别 是B、D 上的点，且∠EF=60°，探究图中线段BE、EF、FD 之间的数量关系．某同学做了如下探究，延长 FD 到点G，使DG=BE，连接G，先证明△BE≌△DG，再证明△EF≌△GF，可得出结论，他的结论应该是 ______．（2）如图②，若在四边形BD 中，B=D，∠B+∠D=180°．E、F 分别是B、D 上的点，且∠EF= ∠BD，上述结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，写出正确的结论，并说明理由．（3） 如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西30°的处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60 海里/时的速度前进， 舰艇乙沿北偏东50°的方向以80 海里/时的速度前进15 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E、F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 16．（2022·河南·九年级期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图 1，在△B 中，若 B＝5， ＝3，求 B 边上的中线 D 的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 D 到 E， 使得 DE＝D，再连接 BE（或将△D 绕点 D 逆时针旋转 180°得到△EBD），把 B、、2D 集中在△BE 中， 利 用三角形的三边关系可得 2＜E＜8，则 1＜D＜4． 【感悟】解题时，条件中若出现中点、中线字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中 心对称图形，把 分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【解决问题】受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图 2，在△B 中，D 是 B 边上的中点， DE DF ⊥ ，DE 交 B 于点 E，DF 交 于点 F，连接 EF．（1）求证：BE＋F＞EF， （2）若∠＝90°，探索线段 BE、F、EF 之间的等量关系，并加以证明．、 17．（2022·山东东营·中考真题）已知点是线段B 的中点，点P 是直线l 上的任意一点，分别过点和点B 作 直线l 的垂线，垂足分别为点和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”． （1）[猜想验证]如图1，当点P 与点重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”和D 的数量关系是__ ______．（2）[探究证明]如图2，当点P 是线段B 上的任意一点时，“足中距”和D 的数量关系是否依然 成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）[拓展延伸]如图3，当点P 是线段B 延长线上的任意一点时，“足中距”和D 的数量关系是否依然成 立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 18．（2022·北京·中考真题）在 中， ，D 为 内一点，连接 ， ，延长 到 点 ，使得 (1)如图1，延长 到点 ，使得 ，连接 ， ，若 ，求证： ； (2)连接 ，交 的延长线于点 ，连接 ，依题意补全图2，若 ，用等式表示线段 与 的数量关系，并证明． 19．（2022·内蒙古·中考真题）下面图片是八年级科书中的一道题：如图，四边形 是正方形，点 是边 的中点， ，且 交正方形外角的平分线 于点 ．求证 ．（提示：取 的中点 ，连接 ．）。(1)请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ； (2)如图1，若点 是 边上任意一点（不与 、 重合），其他条件不变．求证： ； (3)在（2）的条件下，连接 ，过点 作 ，垂足为 ．设 ，当 为何值时，四边形 是平行四边形，并给予证明． 20．（2022·江苏·九年级期中）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，△B 中，若B＝8，＝6，求B 边上的中线D 的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长D 至点E，使DE＝D，连接BE．请根据小明的 方法思考： (1)由已知和作图能得到△D≌△EDB，依据是 ． ．SS；B SSS； S；D L (2)由“三角形的三边关系”可求得D 的取值范围是 ． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件 和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (3)【初步运用】如图②，D 是△B 的中线，BE 交于E，交D 于F，且＝BF．求证E＝FE． (4)【灵活运用】如图③，在△B 中，∠＝90°，D 为B 中点，DE⊥DF，DE 交B 于点E，DF 交于点F，连接 EF．试猜想线段BE、F、EF 三者之间的数量关系，并证明你的结论．