专题18 全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型解读与提分精练（全国通用）（解析版）

专题18 全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三 角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法 的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中 提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因 为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几 何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每 一个题型，做到活学活用！ .................................................................................................................................................2 模型1 倍长中线模型....................................................................................................................................... 2 模型2 截长补短模型..................................................................................................................................... 10 ...............................................................................................................................................20 模型1 倍长中线模型 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。 所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关 知识来解决问题的方法。（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 倍长中线在全等三角形的辅助线做法中，难度不是特别大，相对好理解和掌握。 练习时要记住下面三点：①见中点，先倍长；②证明8 字全等；③找关系。 1）倍长中线模型（中线型） 条件：D 为△B 的中线。 结论： 证明：延长D 至点E，使DE=D，连结E。 ∵D 为△B 的中线，∴BD=D，∵∠BD=∠DE，∴△BD △ ≌ED（SS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△B 中，D 为B 边的中点，E 为B 边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FD。 证明：延长ED，使DF=DE，连接F。 ∵D 为B 边的中点，∴BD=D，∵∠BDE=∠DF，∴△EDB≌△FD（SS） 3）倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：B∥D，E 为的中点，F 为B 边上一点（不同于端点）。结论：△FE≌△GE。 证明：延长FE，交D 的延长线于点G。 ∵E 为的中点，∴E=E，∵B∥D，∴∠=∠EG，∠FE=∠G，∴△FE≌△GE（S） 若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在D 上，为了避免证明三点共线，点G 就直接 通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“S”或“S”证明全等。这里“中点+平行线型” 可以看做是“中点型”的改良版。 例1．（2024·广东·校考二模）综合与实践：小明遇到这样一个问题，如图1， 中， ， ， 点 为 的中点，求 的取值范围． 小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍， 以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长 到 ，使 ，连接 ，构造 ，经过推理和计算使问题得到解决 请回答：(1)小明证明 用到的判定定理是：________；（填入你选择的选项字母） ． B． ． D． (2) 的取值范围是________． 小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造． 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，在正方形 中， 为 边的中点， 、 分别为 ， 边上的点，若 ， ， ，求 的长． 【答】(1)(2) ； ． 【分析】（1）延长 到 ，使 ，连接 ，根据对顶角相等，即可利用“ ”证明 ，得到答；（2）根据全等三角形的性质，得到 的长，再利用三角形的三边关系即可得 到答； 延长 交 的延长线于点，先利用“ ”证明 ，得到 ， ，进而得到 的长，再证明 垂直平分 ，根据垂直平分线的性质即可得到答． 【详解】（1）解：如图，延长 到 ，使 ，连接 ， 点 为 的中点， ， 在 和 中， ， ，故答为：； （2）解： ， ， ， ， ， ， ， ，故答为： ； 解决问题：如图，延长 交 的延长线于点， 四边形 是正方形， ， 为 边的中点， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正方形的性质，垂直平分线的性质， 利用“倍长中线法”作辅助线构造全等三角形是解题关键． 例2．（23-24 辽宁锦州七年级期末）【问题提出】期末复习课上，数学丁老师出示了下面一个问题：如图 1，在 中， 是 延长线的点， 是 边上一点，且满足 ，那么 是 的中点，请你说明理由． 【思路探究】小王同学从条件出发分析解题思路：以 为腰构造等腰 和平行八字型全等三角形， 如图2，以点 为圆心，以 长为半径画弧，交 的延长线于点 ，先应用等腰三角形的轴对称性，再 应用三角形全等“ ”（或“ ”）的判定方法即可得 ，小张同学从结论出发分析解题思 路：以 为腰构造等腰 ，将说明 的问题转化为说明 的问题，如图3，以点 为 圆心，以 长为半径画弧，交 于点 ，于是可得 ，再应用三角形全等“ ”(或“ ”)的判定方法即可得 ． （1）请你选择小张同学或小王同学的思路或按自己的思路写出完整的解题过程； 【学以致用】（2）请你在理解了小张同学或小王同学解题思路的基础上，解答下面一道图形较为复杂的 同类问题：如图4，在四边形 中， ，过点 作线段 ，且 ， 连接 ，交 的延长于点 ，猜想 与 的数量关系并说明理由． 【答】（1）见解析；（2） ，理由见解析． 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识， （1）小王同学的思路：如图1，以点 为圆心，以 长为半径画弧，交 的延长线于点 ，则 ，根据题意证明出 ，得到 ； 小张同学的思路：如图2，以点 为圆心，以 长为半径画弧，交 于点 ，连接 ，则 ， 根据题意证明出 ，得到 ，进而求解即可； （2）方法1：如图3，以点 为圆心， 长为半径作弧，交 的延长线于点 ，连接 ，证明出 ，得到 ；方法2：以点 为圆心，以 长为半径画弧，交 于点 ，连 接 ，证明出 ，得到 ． 【详解】解∶（1）小王同学的思路： 如图1，以点 为圆心，以 长为半径画弧，交 的延长线于点 ，则 ．所以 ． 因为 ，所以 ． 因为 ，所以 ．所以 ，即 是 的中点 小张同学的思路：如图2，以点 为圆心，以 长为半径画弧，交 于点 ，连接 ，则 ． 所以 ，因为 ，所以 ． 因为 ，所以 ． 所以 ．所以 ，即 是 的中点； （2）猜想 方法1：如图3，以点 为圆心， 长为半径作弧，交 的延长线于点 ，连接 ， 则 ．所以 ．因为 ， 所以 ， ． 所以 ．所以 ． 又因为 ，所以 ．所以 ． 方法2：如图4，以点 为圆心，以 长为半径画弧，交 于点 ，连接 ， 则 ．所以 ． 因为 ，所以 ． 因为 ，所以 ． 所以 ．所以 ． 因为 ，所以 ．所以 ．所以 ． 例3．（2024·江苏·九年级校考期中）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，△B 中，若B＝8，＝6，求B 边上的中线D 的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长D 至点E，使DE＝D，连接BE．请根据小明的 方法思考： (1)由已知和作图能得到△D △ ≌EDB，依据是 ．．SS；B SSS； S；D L (2)由“三角形的三边关系”可求得D 的取值范围是 ． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件 和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (3)【初步运用】如图②，D 是△B 的中线，BE 交于E，交D 于F，且＝BF．求证E＝FE． (4)【灵活运用】如图③，在△B 中，∠＝90°，D 为B 中点，DE⊥DF，DE 交B 于点E，DF 交于点F，连接 EF．试猜想线段BE、F、EF 三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【答】(1)(2)1＜D＜7(3)见解析(4)BE2+F2＝EF2，证明见解析 【分析】[问题情境](1)根据全等三角形的判定定理解答；(2)根据三角形的三边关系计算；[初步运用]延长 D 到M，使D=DM，连接BM，证明△D △ ≌MDB，根据全等三角形的性质解答；[灵活运用]延长ED 到点 G，使DG=ED，连接GF，G，证明△DBE △ ≌DG，得到BE=G，根据勾股定理解答． 【解答】(1)解：在△D 和△EDB 中， ，∴△D △ ≌EDB(SS)，故选：； (2)解：由(1)得：△D △ ≌EDB，∴=BE=6， 在△BE 中，B−BE<E<B+BE，即8−6<2D<8+6，∴1<D<7，答为：1<D<7； (3)解：延长D 到M，使D=DM，连接BM，如图②所示： ∵D 是△B 中线，∴D=BD，在△D 和△MDB 中， ， △ ∴D △ ≌MDB(SS)，∴BM=，∠D=∠M， ∵=BF，∴BM=BF，∴∠M=∠BFM， ∠ ∵ FE=∠BFM，∴∠BFM=∠D=∠M，∴E=FE； (4)解：线段BE、F、EF 之间的等量关系为：BE2+F2=EF2； 理由如下：延长ED 到点G，使DG=ED，连接GF，G，如图③所示： ∵ED⊥DF，DG=ED，∴EF=GF，∵D 是B 的中点，∴BD=D， 在△BDE 和△DG 中， ，∴△DBE △ ≌DG(SS)，∴BE=G，∠B=∠GD， ∠ ∵ =90°，∴∠B+∠B=90°，∴∠GD+∠B=90°，即∠GF=90°， ∴Rt△FG 中，由勾股定理得：F2+G2=GF2，∴BE2+F2=EF2． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形三边关系以及勾股定理的应 用等知识；熟练掌握三角形的三边关系和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键． 例4．（23-24 九年级上·吉林长春·阶段练习）【问题探究】在学习三角形中线时，我们遇到过这样的问题： 如图，在 中，点D 为 边上的中点， ， ，求线段 长的取值范围．我们采用的方 法是延长线段 到点E，使得 ，连结 ，可证 ，可得 ，根据三角形 三边关系可求 的范围，我们将这样的方法称为“三角形倍长中线”，则 的范围是：________． 【拓展应用】（1）如图，在 中， ， ， ， ，求 的长． （2）如图，在 中，D 为 边的中点，分别以 为直角边向外作直角三角形，且满足 ，连结 ，若 ，则 ________．（直接写出） 【答】问题探究： ；拓展应用：（1） ；（2）4 【分析】问题探究：根据三角形三边关系求出 的范围，进而得到 的范围； 拓展应用：（1）延长 到点E，使 ，连接 ，先证 ，得到 ， ，在 中，根据勾股定理求 即可得到 的值；（2）延长 到点G，使 ，连接 ，根据 ，得到 ，证明 ，得到 ，进而得到 的值． 【详解】解：问题探究：在 中，∵ ，∴ ， ∴ ，故答为： ； 拓展应用：（1）如图，延长 到点E，使 ，连接 ， 在 和 中， ，∴ ， ∴ ， ，在 中， ， ∴ ，∴ ； （2）如图，延长 到点G，使 ，连接 ， 由（1）知 ，∴ ， ∵ ，∴ ， 又∵ ，∴ ， ∵ ， ， ∴ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，故答为：4． 【点睛】本题考查了三角形综合题，判定 并利用相似三角形的性质求线段 的长度是解 决本题的关键． 模型2 截长补短模型 截长补短模型分为截长模型和补短模型：适用于求证线段的和差倍分关系，截长补短的关键在于通过 辅助线构造出全等三角形、等腰三角形。该类题目条件中常出现等腰三角形（两边相等）、角平分线（两 角相等）等关键词句，可采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程（往往需证2 次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：D 为△B 的角平分线，∠B=2∠。 结论：B＋BD＝。 证明：法1（截长法）:在线段上截取线段B′＝B，连接DB。 ∵D 为△B 的角平分线，∴∠BD=∠B′D，∵D=D，∴△BD △ ≌B′D（SS） ∠ ∴ B=∠B′D，BD=B′D，∵∠B=2∠，∴∠B′D=2∠，∴∠B′D=2∠，∴∠B′D=∠， ∴B′＝B′D，∴BD=B′，∵B′＋B′＝，∴B＋BD＝。 法2（补短法）:延长B 至点′使得′＝，连接B′。 ∵D 为△B 的角平分线，∴∠′D=∠D，∵D=D，∴△′D △ ≌D（SS） ∠ ∴ ′=∠，∵∠B=2∠，∴∠B=2∠′，∴∠BD′=∠′，∴B′＝BD， ∵B＋B′＝′，∴B＋BD＝。 例1．（2024·辽宁大连·模拟预测）【方法探究】如图1，在 中， 平分 ， ， 探究 ， ， 之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如图2，在 上截取 ，使得 ，连接 ，可以得到全等三角形，进而解决此问题． 方法2：如图3，延长 到点 ，使得 ，连接 ，可以得到等腰三角形，进而解决此问题． （1）根据探究，直接写出 ， ， 之间的数量关系； 【迁移应用】（2）如图4，在 中，D 是 上一点，， ， 于 ，探究 ， ， 之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】（3）如图5， 为等边三角形，点 为 延长线上一动点，连接 ．以 为边在 上方作等边 ，点 是 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ．若 ，求 证： ． 【答】（1） ；（2） ，证明见解析；（3）证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质； （1）方法一：证明 得到 ， ，根据三角形的外角性质和等腰 三角形的判定证得 ，则 ，进而可得结论； 方法二：先根据等腰三角形的性质和外角性质证得 ，再证明 得到 ， 进而可得结论；（2）在 上取 ，连接 ，根据等边对等角得出 ，根据三角形的外 角的中得出 ，进而得出 ，即可得证；（3）先证明 ，过 作 ，交 于点 ，证明 ，根据等角对等边得出 ，即可得出结论． 【详解】（1）证明：方法一：∵ 平分 ，∴ ， 在 和 中， ， ， ， ∴ ∴ ， ， ∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ； 方法二：延长 到点E，使得 ，连接 ， ∴ ，则 ， ∵ ，∴ ，∵ 平分 ，∴ ， 在 和 中， ， ， ， ∴ ，∴ ，∵ ，∴ ； （2）在 上取 ，连接 ，∵ 于 ，∴ ，∴ ， ∵ ， ，∴ ， ∴ ，∴ ； （3）如图所示，∵ ， 为等边三角形，∴ ， ， ∴ ∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ， 过 作 ，交 于点 ，∴ ， ∵ 是 的中点，∴ ，又 ，∴ ， ∴ ， ， ，而 ， ，∴ ， 又∵ ，∴ ，∴ ， 即 ． 例2．（23-24 八年级上·河南漯河·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形 中，对角线 平分 ， ．求证： ． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在 上截取 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长 到点 ，使得 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1 和方法2 中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接 ，当 时，探究线段 ， ， 之间 的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形 中， ， ，过点 作 ，垂足为 点 ，请写出线段 、 、 之间的数量关系． 【答】（1）见解析；（2） ，见解析；（3） ，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）方法1：在 上截取 ，连接 ，证明 ，得出 ， ，进而得出 ，则 ，等量代换即可得证；方法 ：延长 到 ，使 ，连接 ，证明 ，得出 ， ，进而得出 ，则 ，等量代换即可得证（2） ， ， 之间的数量关系为 ． 方法1：在 上截取 ，连接 ，由 知 ，得出 ， 为等边 三角形，证明 ，得出 ，进而即可得证；方法 ：延长 到 ，使 ， 连接 ，由 知 ，则 ， 是等边三角形，证明 ，得出 ， 进而即可得证； （3）线段 、 、 之间的数量关系为 ，连接 ，过点 作 于点 ，证明 ， 和 ，得出 ，进而即可得证． 【详解】解：（1）方法1：在 上截取 ，连接 ， 平分 ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 方法2：延长 到 ，使 ，连接 ， 平分 ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2） ， ， 之间的数量关系为 ． 方法1：理由如下：如图 ，在 上截取 ，连接 ， 由（1）知 ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ． 方法 ：理由：延长 到 ，使 ，连接 ， 由（1）知 ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ，即 ， 在 和 中， ， ， ， ， ； （3）线段 、 、 之间的数量关系为 ．连接 ，过点 作 于点 ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ． 例3．（23-24 九年级上·江苏南通·期中）如图，四边形 是 内正方形，P 是