75 二倍角、半角问题

二倍角、半角问题 一、方法突破 既有构造相等角的，也有在这个问题上再进行加工的，比如，在坐标系中构造已知角的半 角或二倍角，角可以单独出现，也可以存在于某个几何图形中，因此，构造半角、二倍角 的方法也并不唯一，常用如下： 思路1：构造半角三角函数． tan α 2 = a b+ a2+b2 tanα= a b a2+b2 a2+b2 b a α 2 α 构造二倍角三角函数： 勾股定理可求二倍角三角函数值 2α α α 思路2：等腰三角形外角：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和． α α 2α 二、典例精析 例一：如图，在平面直角坐标系中，直线 与x 轴交于点，与y 轴交于点B，抛 物线 经过、B 两点且与x 轴的负半轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点D 为直线B 上方抛物线上的一个动点，当∠BD=2∠B 时，求点D 的坐标． 备用图 y x C B A O O A B C D x y 【分析】 （1）抛物线： ； （2）思路：转化为等角 本题中的∠B 和∠BD 是内错角，若是构造∠BD=∠B，作平行线即可． 两倍角亦可以作平行构造出， 过B 作x 轴的平行线， 作B 关于平行线对称的直线，与抛物线交点即为D 点． D α α α O A B C x y 考虑到 ，故 ， 可得直线BD 解析式为： ， 与抛物线联立方程： ，解得： ， ， 故D 点坐标为（2，3）． 例二：如图1，四边形B 是矩形，点的坐标为（3，0），点的坐标为（0，6），点P 从点 出发，沿以每秒1 个单位长度的速度向点出发，同时点Q 从点出发，沿B 以每秒2 个单位 长度的速度向点B 运动，当点P 与点重合时运动停止．设运动时间为t 秒． 问题：当t=1 时，抛物线 经过P、Q 两点，与y 轴交于点M，抛物线的顶点 为K，如图2 所示，问该抛物线上是否存在点D，使 ？若存在，求出所 有满足条件的D 的坐标；若不存在，说明理由． K M A B C P O x y Q 【分析】 思路：三角函数构造相等角 t=1 时，P 点坐标为（1，0），Q 点坐标为（3，2）， 代入抛物线解析式，可求得抛物线： ， 故顶点K 的坐标为 ． 考虑要构造 ，过点K 作K⊥MQ 交MQ 于点，则 ． H K M A B C P O x y Q 根据图形可求得 ， 故若 ，则 ， 故 ， 分别解得直线DQ 解析式为 或 ， 与抛物线联立方程： ，解得： ， ， 则对应D 点坐标为 ； ，解得： ， ， 则对应D 点坐标为 ． 综上所述，D 点坐标为 或 ． 三、中考真题对决 1 如图，抛物线 交x 轴于、B 两点，其中点坐标为（1，0），与y 轴交于点 （0，-3）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图，连接，点P 在抛物线上，且满足∠PB=2∠．求点P 的坐标； O A B C x y 【分析】 （1）抛物线： ； （2）思路：利用特殊角的三角函数值 考虑到点坐标（1，0），点坐标（0，-3）， 故 ， 若∠PB=2∠，则 ， 转化角的正切值为直线的k，即 ． 当 时，直线P 解析式为： ， 联立方程： ，解得： ， ， 故P 点坐标为 ． P2 P1 y x C B A O 当 时，直线P 解析式为： ， 联立方程： ，解得： ， ， 故P 点坐标为 ． 综上所述，P 点坐标为 或 ． 2．（2021•南充）如图，已知抛物线 与 轴交于点 和 ，与 轴交于点 ，对称轴为直线 ． （1）求抛物线的解析式； （3）如图2，在（2）的条件下， 是 的中点，过点 的直线与抛物线交于点 ，且 ．在 轴上是否存在点 ，得 为等腰三角形？若存在，求点 的 坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）由题意得： ，解得 ， 故抛物线的表达式为 ①； （3） 是 的中点，则点 ， 由点 、 的坐标，同理可得，直线 的表达式为 ， 过点 作 轴于点 ， 则 ，故 ， 而 ． ， 则直线 和直线 关于直线 对称， 故设直线 的表达式为 ， 将点 的坐标代入上式并解得 ， 故直线 的表达式为 ②， 联立①②并解得 （不合题意的值已舍去）， 故点 的坐标为 ， 设点 的坐标为 ， 由点 、 的坐标得： ， 同理可得，当 时，即 ，解得 ； 当 时，即 ，方程无解； 当 时，即 ，解得 ； 故点 的坐标为 或 或 ． 3．（2021•泰安）二次函数 的图象经过点 ， ，与 轴 交于点 ，点 为第二象限内抛物线上一点，连接 、 ，交于点 ，过点 作 轴于点 ． （1）求二次函数的表达式； （2）连接 ，当 时，求直线 的表达式； 解：（1） 二次函数 的图象经过点 ， ， ， 解得： ， 该二次函数的表达式为 ； （2）如图，设 与 轴交于点 ， 轴， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， 在 中，由勾股定理得： ， ， 解得： ， ， 设 所在直线表达式为 ， ， 解得： ， 直线 的表达式为 ； 4．（2021•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过坐标原点，与 轴 正半轴交于点 ，点 是抛物线上一动点． （1）如图1，当 ， ，且 时， ①求点 的坐标； （2）如图2，该抛物线的对称轴交 轴于点 ，点 在对称轴上，当 ， ， 且直线 交 轴的负半轴于点 时，过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ， 为 轴上一点，点 的坐标为 ，连接 ．若 ，求证：射线 平分 ． 解（1）① 点 在抛物线 上， （Ⅰ）， （Ⅱ）， 联立（Ⅰ）（Ⅱ）解得， （舍去）或 ， ； （2） 抛物线 ， ， 令 ，则 ， 或 ， ， 轴， 点 的横坐标为4， 由图知， ， ， ， ， ， 过点 作 轴于 ， 是梯形 的中位线， 的横坐标为3， 点 在抛物线上， 点 的纵坐标为 ， ， 点 ， 直线 的解析式为 ， 令 ，则 ， ， ， ， ， 令 ，则 ， 记直线 与 轴的交点为 ， ， ， ， ， ， 根据勾股定理得， ， 过点 作 于 ， ， ， ， ， 平分 ， 即射线 平分 ． 5．（2021•绥化）如图，已知抛物线 与 轴交于点 ，点 （点 在点 的左边），与 轴交于点 ，点 为抛物线的顶点，连接 ．直线 经过点 ，且与 轴交于点 ． （1）求抛物线的解析式； （3）点 为线段 上的一点，点 为线段 上的一点，连接 ，并延长 与线段 交于点 （点 在第一象限），当 且 时，求出点 的坐标． 解：（1）将 ， 代入抛物线 得： ， 解得： ， 抛物线的解析式为： ； （3）如图1，在 上取一点 ，作 的垂直平分线交 轴于点 ，连接 ，则 ，在 上 点的右侧作 ， ， ， 移动 点，当 时，点 为所求． 过点 作 垂直于 轴于点 ，过点 作 垂直于 轴于点 ， ， ， ， ， 设 ， 则 ， ， ， ， ， ， ， 在 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解析式为： ， 把 代入上式并解得： ， 再把 代入 得： ， ， ．