整体代入法 【规律总结】 整体代入法，在求代数式值中应用 求代数式的值最常用的方法，即把字母所表示的数 值直接代入，计算求值。 有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难 求出字母的值或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入， 求值时方便又快捷，这种整体代入的技法经常用到。 【典例分析】 例1、在矩形BD 内，将两张边长分别为和b(a>b)的正方形纸片按图1，图2 【解析】本题主要考查的是代数式求值，完全平方公式，运用了整体代入法的有关知识． (1)将给出的代数式进行变形为(n−2023+2021−n) 2−2(n−2023)(2021−n)，然后整 体代入求值即可； (2)先根据m 2=n+2，n 2=m+2(m≠n)，求出m+n=−1，然后将给出的代数式进行变形， 最后整体代入求解即可． 【好题演练】 一、选择题 1. 已知a+b=1 −3 1 2 【答】B 【解析】解：∵2a+2b−3=2(a+b)−3， ∴将a+b=1 2代入得：2× 1 2−3=−2 故选：B． 注意到2a+2b−3只需变形得2(a+b)−3，再将a+b=1 2，整体代入即可 此题考查代数式求值的整体代入，只需通过因式解进行变形，再整体代入即可． 2. 若α、β为方程2 x 2−5 x−1=0的两个实数根，则2α 2+3αβ+5 β的值为(

一．解答题（共60 小题） 1．（2022·河南周口·七年级期末）（1）用代入消元法解方程组{ 3 s−t=5 5 s+2t=15 （2）用加减消元法法解方程组{3 x+4 y=16 5 x−6 y=33 【答】（1）{ s=25 11 t=20 11 （2）{ x=6 y=−1 2 【分析】（1）利用指定的代入消元法解方程组即可； （2）利用指定的加减消元法法解方程组即可． 由①得：t=3 s−5③， 把③代入②，得：5 s+2(3 s−5)=15， 解得s=25 11， 将s=25 11代入③，得：t=3× 25 11−5=20 11， ∴{ s=25 11 t=20 11 ． （2）{3 x+4 y=16① 5 x−6 y=33② ①×3+②×2，得： 9 x+10 x=48+66，解得：x=6， 把x=6 代入①得18+4 y=16， 【点睛】本题考查二元一次方程组，按指定的方法求解，掌握加减消元法与代入消元法是 关键． 1 2．（2022·甘肃·金昌市金川区宁远中学七年级期中）用适当的方法解下列方程组： (1)¿ (2)¿ (3)用代入法解¿ (4)用加减法解¿ 【答】(1)¿ (2)¿ (3)¿ (4)¿ 【分析】（1）根据加减消元法求解即可； （2）根据加减消元法求解即可； （3）根据代入消元法的步骤求解即可； （4）根据加减消元法的步骤求解即可；

【分析】将 代入 ，整理得到 ，然后把 代入 后 整体代入可得解 【详解】解：将 代入 得： ， ∴ ， 当 时， ． 故答为：47． 【点睛】本题考查了代数式的化简求值，灵活运用整体思想是解题关键． 例2 已知 ，则 的值 【答】 【分析】根据题意可得 ，整体代入即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答为： ． 【点睛】本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键． 变形 ，然后把 直接代入代数式 进行计算即可得解． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故答为：． 【点睛】本题考查了求代数式的值，熟练利用整体思想解答是解题的关键． 【变式训练1】若实数 满足 ，则 ． 【答】 【分析】根据已知条件可得 ，整体代入代数式即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ， ∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键． 【变式训练2】若 ． 【答】25 【分析】首先由 得到 ， ， ，然后 整体代入 求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ， ， ∴ ． 故答为：25． 【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握等式变形和整体代入思想的运用是解题的关键． 例2．若 ，则代数式 的值为 ． 【答】2024 【分析】将 整理得 ，整体代入化简求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ 故答为：2024．

专题04 代数式化简求值的三种考法 类型一、整体代入求值 例1 若 是关于 的一元一次方程 的解，则 【答】 【分析】根据一元一次方程的解的定义，将 代入 ，得出 ，代入 代数式，即可求解． 【详解】解：∵ 是关于 的一元一次方程 的解， ∴ ，即 ∴ ， 故答为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程解的定义，代数式求值，整体代入解题的关键． 例2 已知代数式 的值为4，则代数式 【分析】由代数式 的值为4，可知 的值，再观察题中的两个代数式 和 ，可以发现 ，代入即可求解． 【详解】解：∵代数式 的值为4， ∴ ，即 ， ∴ ， 故选：． 【点睛】此题主要考查了代数式求值，代数式中的字母没有明确告知，而是隐含在题设中， 首先应从题设入手，寻找要求的代数式与题设之间的关系，然后利用“整体代入法”求代 数式的值． 例3 已知 ，当 时， ，那么 时， （ ） ） ．－3 B．－7 ．－17 D．7 【答】 【分析】把 ， 代入计算得 ，然后把 代入原式化简，利用 整体代入法即可得到答 【详解】解：∵ 中，当 时， ， ∴ ， ∴ ， 把 代入 ，得 ， ； 故选择： 【点睛】本题考查了求代数式的值，解题的关键是利用整体代入法进行解题 【变式训练1】已知： ， ，且 ，求 的值． 【答】4 或14 【分析】根据绝对值的性质，求出

的解为 ， ∴方程组 的解 ，∴ ； 故选：B． 【变式训练1】关于x、y 的二元一次方程组 的解满足 ，则 m 的值是_______． 【答】2 【详解】解： ， ①+②得 ， 把 代入5x+y= 得 ，解得m=2， 故答为：2． 【变式训练2】已知关于x，y 的方程组 的解满足 ，求k 的值． 【答】 【详解】解： ，得 ， ∴ ，∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得 ． 的二元一次方程组 的解互为相反数，则k 的值是 ( ) ．4 B．3 ．2 D．1 【答】 【详解】解：由题意得： ，联立 ， 由① ②得： ，解得 ， 将 代入①得： ，解得 ， 将 代入方程 得： ，解得 ， 故选：． 类型二、整数解问题 例．关于x，y 的二元一次方程组 的解为正整数，则满足条件的所有整数的和为( ) ．1 B．﹣1 ．2 D．﹣3 【答】 为正整数，已知二元一次方程组 有整数解则m2＝( ) ．4 B．1 或4 或16 或25 ．64 D．4 或16 或64 【答】D 【详解】解： ，①-②得：(m-3)x=10，解得：x= ， 把x= 代入②得：y= ， 由方程组为整数解，得到m-3=±1，m-3=±5，解得：m=4，2，-2，8， 由m 为正整数，得到m=4，2，8，则 =4 或16 或64， 故选：D． 【变式训练4】方程组

专题26 利用整体思想求值【六大题型】 【人版】 【题型1 利用整体思想直接代入求值】................................................................................................................. 1 【题型2 利用整体思想配系数求值】................... ..........................................8 【题型1 利用整体思想直接代入求值】 【例1】（2022 秋•柳江区期中）已知﹣b＝2，则2（﹣b）﹣5 的值是（ ） ．1 B．﹣1 ．﹣5 D．﹣3 【分析】将﹣b＝2 整体代入代数式2（﹣b）﹣5 进行计算即可． 【解答】解：∵﹣b＝2， 2 ∴（﹣b）﹣5 ＝2×2 5 ﹣ ＝4 5 ． 【分析】整体代入思想把x 2 ﹣y＝﹣3 整体代入求值即可． 【解答】解：∵x 2 ﹣y＝﹣3， ∴原式＝4×（﹣3）2 3× ﹣ （﹣3）+20 ＝36+9+20 ＝65． 故答为：65． 【变式1-2】（2022 春•八步区期末）若2+ 1 ﹣＝0．则22+2 的值为 2 ． 【分析】将代数式适当变形，利用整体代入的方法解答即可得出结论． 【解答】解：∵2+

3、二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 4、二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 5、二元一次方程组的解法 （1）代入（消元）法（2）加减（消元）法 【题型2 已知二元一次方程（组）的解求参数】 【例2】（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第二十八中学七年级期中）关于x 和y 的二元一次方程， 2x+3y＝20 的正整数解有（ 【变式2-1】（2022·新疆塔城·七年级期末）已知¿是二元一次方程2 x+ y=14的解，则k 的 值是（ ） ．2 B．-2 ．3 D．-3 【答】 【分析】把¿代入二元一次方程2 x+ y=14求解即可得到答； 【详解】把¿代入二元一次方程2 x+ y=14得到： 2×2k+3k=14， 即：7 k=14，k=2， 故选：． 1 【点睛】本题主要考查了二元一次方程解的定义，掌握二元一次方程的解使该方程等号两 2x+by=-1 的两组解是¿和¿，求（+b） （4 2 ﹣ 2b2+b2）的值． 【答】-23 【分析】根据题意把两组解代入组成一个新的二元一次方程组，然后求出、b 的值，代入 含有、b 的代数式求解即可 【详解】解：将{x=−2 y=−1 和{x=4 y=3 代入a 2x+by=-1， 得{ a 2 ×(−2)+b×(−1)=−1 a 2 ×4+b×3=−1 ， 解得{ a=4

关键是掌握二元一次方程组的解法，以 及二元一次方程组解与系数的关系． 【变式训练1】当整数 ______时，关于x，y 的方程组 有正整数解． 【答】 【详解】解： 由②得： ③， 把③代入①得： 解得： 为正整数， 为整数， 或 或 或 或 此时 也为整数， 故答为： 【变式训练2】 为正整数，已知二元一次方程组有 有整数解，则 ． 【答】 或 【分析】利用加减消元法易得 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组，得到x 和y 关于的解，根据方程组的解是正 整数，得到5-与+4 都要能被3 整除，即可得到答． 【详解】 ， ①-②得：3y=5-，解得：y= ， 把y= 代入①得： x+ =3，解得：x= ， ∵方程组的解为正整数， 5- ∴ 与+4 都要能被3 整除， =2 ∴ 或-1， 故答为2 或-1． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 方程组 的解为 ． 解方程组 得 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，根据两个方程组的特点，得到解间关系是解 决本题的关键．另解决本题亦可先把解代入第一个方程组求出 、 的值，再把 、 的值 代入第二个方程组，求解关于 、 的方程组后得结论． 【变式训练1】已知关于x，y 的二元一次方程组的解 满足 ，则m 的值是（ ） ．2 B．－2 ．1 D．－1

【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据函数图象进行观察，写出一次函数图象在反比例函数图象上方时所有点的横坐标的集合即可． 【详解】（1）解：将点 代入 ， ， ， 将 代入 ， ， ， 将 和 代入 ， ，解得： ， ； （2）解：根据图象可得，当 时， 的取值范围为： ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． 的图象与反比例函数 的图象交于 、B 两点可得 的 值，进而可求反比例函数的表达式； （2）观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）将点 代入 得： 解得： 将 代入 得： ∴ （2）由 得： ，解得 所以 的坐标分别为 由图形可得：当 或 时， 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决本题的关键是掌握反比例函数与一次函数的 (3) 或 【分析】（1）将点 代入反比例函数 ，求得 ，将点 代入 ，得出 ，进而待定 系数法求解析式即可求解； （2）根据反比例函数的性质，反比例函数在第二四象限，在每个象限内， 随 的增大而增大，进而分类 讨论即可求解； （3）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：将点 代入反比例函数 ， ∴ ， ∴ 将点 代入 ∴ ， 将 ， 代入 ，得 解得： ， ∴ （2）∵

一．解答题（共50 小题） 1．（2022·山东·周村二中八年级阶段练习）先化简，再求值：(1−1 x+2)÷ x 2−1 x+2 ，然后从 −2≤x ≤2中找出一个合适的整数作为x的值代入求值． 【答】1 x−1；x=2时，值是1 【分析】利用分式的运算法则对所求的式子中括号里的式子通分，式子中的除以化为乘法， 对x 2−1 x+2 进行化简，并根据分式有意义的条件判断x的取值范围，从而入合适的值进行运算 式子将x=2代入进行求值． 【详解】解：x 2−1 x+1 ÷ x 2−2 x+1 x 2−x −2 ¿ (x+1) (x−1) x+1 × x (x−1) (x−1) 2 −2 ¿ x−2， 当x=2 时，原式¿2−2=0． 【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，然后进行约分， 得到最简分式或整式，接着把字母的值代入计算得到对应的分式的值；有括号的先算括号， 2-4 a+4 -1 2-a \)÷2 a 2-2a ，其中a满足a 2+3a-3=0． 【答】a 2+3a 2 ，3 2 【分析】先根据分式的运算法则，进行化简，然后利用整体思想代入求值． 【详解】原式=[ \(a+2\)\(a-2\) \(a-2\) 2 +1 a-2 ] ⋅a \(a-2\) 2 =\( a+2 a-2 +1 a-2 \ ) ⋅a \(a-2\)