专题04 代数式化简求值的三种考法（解析版）

专题04 代数式化简求值的三种考法 类型一、整体代入求值 例1 若 是关于 的一元一次方程 的解，则 【答】 【分析】根据一元一次方程的解的定义，将 代入 ，得出 ，代入 代数式，即可求解． 【详解】解：∵ 是关于 的一元一次方程 的解， ∴ ，即 ∴ ， 故答为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程解的定义，代数式求值，整体代入解题的关键． 例2 已知代数式 的值为4，则代数式 的值为（ ） ．4 B． ．12 D． 【答】 【分析】由代数式 的值为4，可知 的值，再观察题中的两个代数式 和 ，可以发现 ，代入即可求解． 【详解】解：∵代数式 的值为4， ∴ ，即 ， ∴ ， 故选：． 【点睛】此题主要考查了代数式求值，代数式中的字母没有明确告知，而是隐含在题设中， 首先应从题设入手，寻找要求的代数式与题设之间的关系，然后利用“整体代入法”求代 数式的值． 例3 已知 ，当 时， ，那么 时， （ ） ．－3 B．－7 ．－17 D．7 【答】 【分析】把 ， 代入计算得 ，然后把 代入原式化简，利用 整体代入法即可得到答 【详解】解：∵ 中，当 时， ， ∴ ， ∴ ， 把 代入 ，得 ， ； 故选择： 【点睛】本题考查了求代数式的值，解题的关键是利用整体代入法进行解题 【变式训练1】已知： ， ，且 ，求 的值． 【答】4 或14 【分析】根据绝对值的性质，求出 可能取得值，根据 确定 的值，再代数求 值． 【详解】解： ， ， ， ， ， 或 ， ， 当 ， 时， ； 当 ， 时， ． 故 的值为4 或14． 【点睛】本题考查了绝对值与代数式求值，解决本题的关键在于根据绝对值的性质求出 的值，然后分情况讨论． 【变式训练2】已知 ， ，则 ． 【答】 【分析】先根据多项式乘以多项式运算法则，将括号展开，再将 ， 代入进行 计算即可． 【详解】解： ， ∵ ， ， ∴原式 ． 故答为： ． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，解题的关键是掌握多项式乘以多项式，把前 面一个多项式的每一项分别乘以后面一个多项式的每一项． 【变式训练3】已知+b=2b，那么 ＝（ ） ．6 B．7 ．9 D．10 【答】B 【详解】解：∵ ， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝， 故选：B． 类型二、特殊值法代入求值 例1 已知关于 的多项式 ，其中 ， ，， 为互不相等的整数． (1)若 ，求 的值； (2)在（1）的条件下，当 时，这个多项式的值为 ，求的值； (3)在（1）、（2）条件下，若 时，这个多项式 的值是 ，求 的值． 【答】(1) (2) (3) 【分析】（1）由 是互不相等的整数， 可得这四个数由 ，， ， 组成，再进行计算即可得到答； （2）把 代入 ，即可求出的值； （3）把 代入 ，再根据 ，即可求出 的 值． 【详解】（1）解： ，且 是互不相等的整数， 为 ，， ， ， ； （2）解：当 时， ， ； （3）解：当 时， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了求代数式的值，解题的关键是得出 这四个数以及 之间的关系． 【变式训练1】已知 ，则 的值为 ． 【答】1 【分析】分别令 、 代入，求得对应代数式的值，求解即可． 【详解】解：令 ，则 ， 令 ，则 ， ∴ ， ∴ ． 故答为：1． 【点睛】此题考查了求代数式的值，解题的关键是给 赋值，得到对应代数式的值． 【变式训练2】若 ，则 __ ____． 【答】 【详解】解：令x=0，代入等式中得到： ，∴ ， 令x=1，代入等式中得到： ， 令x=-1，代入等式中得到： ， 将①式减去②式，得到： ， ∴ ， ∴ ， 故答为： ． 【变式训练3】特殊值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而 通过简单的运算，得出最终答的一种方法．例如：已知： ， 则 （1）取 时，直接可以得到 ； （2）取 时，可以得到 ； （3）取 时，可以得到 ； （4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到 ，结合（1） 的结论， 从而得出 ． 请类比上例，解决下面的问题：已知 ．求： (1) 的值； (2) 的值； (3) 的值． 【答】(1)4；(2)8；(3)0 【解析】(1)解：当 时， ∵ ， ∴ ； (2)解：当 时， ∵ ， ∴ ； (3)解：当 时， ∵ ， ∴ ①； 当 时， ∵ ， ∴ ②； 用①+②得： ， ∴ ． 类型三、降幂思想求值 例．若 ，则 _____； 【答】2029 【详解】解：∵ , ∴ , ∴ =x(2x2-4x-3x+12)+2020=x[2(x2-2x)-3x+12]+2020 = x[2×（-3）-3x+12]+2020=x(-3x+6)+2020=-3(x2-2x)+2020=-3×（-3）+2020=9+2020=2029 故答为：2029． 【变式训练1】如果 ，那么 ． 【答】2 【分析】根据已知得到 ，再将所求式子变形为 ，整体代入计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ 故答为：2． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键． 【变式训练2】如果 的值为5，则 的值为______． 【答】1 【详解】∵ ，∴ ∴ ，故答为：1． 【变式训练3】已知 ，求 的值． 【答】2022 【分析】把所求式子变形成含已知的代数式，结合整体代入的思想解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了代数式求值和整式的乘法，正确变形，灵活应用整体思想是解题的关 键． 【变式训练4】已知 ，则 的值是______． 【答】2022 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，∴ ，故答为：2022． 课后训练 1 已知 ，与b 互为倒数，与d 互为相反数，求 的 值． 【答】-2 【详解】解： ， ， ， 因为 与 互为倒数，所以 因为与 互为相反数，所以 原式 =-2． 2．已知 ， ．则 的值是（ ） ． B．7 ．13 D．23 【答】B 【分析】将所求式子变形为 ，再整体代入计算． 【详解】解：∵ ， ， ∴ 故选B． 【点睛】本题考查了整式的加减，代数式求值，解题的关键是掌握整体思想的灵活运用． 3．已知 ，那么 的值是（ ） ．2021 B．2022 ．2023 D．2024 【答】D 【分析】先将 降次为 ，然后代入代数式，再根据已知条件即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ，则 ， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题考查了已知代数式的值求代数式的值，解决本题的关键是要将未知代数式进 行降幂． 4．若实数满足 ，则 ． 【答】2015 【分析】根据 得出 ，然后整体代入求解； 【详解】 ， ， ∴ ， 故答为：2015． 【点睛】本题考查了求代数式的值，根据已有的等式整体代入求值是解题的关键． 5．如果 与 互为相反数， 与 互为倒数， 是最大的负整数，那么 ． 【答】0 【分析】根据互为相反数的两个数的和为零，得到 ， 与 互为倒数得到 ， 是最大的负整数得 ，代入求值． 【详解】解：由题意可知，互为相反数的两个数的和为零，得到 ， 与 互为倒数得到 ， 是最大的负整数得 ， 故原式 ． ． 故答为：． 【点睛】本题考查相反数的性质，倒数的性质以及最大的负整数，熟练掌握知识点是解题 的关键． 6．当 时，代数式 ，当 时， ． 【答】 【分析】先把 代入 ，可得 的值,再把 代入 得 ,变形后再次把 的值代入计算即可． 【详解】把 代入 得， ∴ ， 再把 代入 得 ． 【点睛】此题考查代数式求值，解题关键在于把 的值代入和整体思想的应用． 7．如果记 ，并且 表示当 时 的值，即 ， 表 示当 时 的值，即 ． （1） ； = ； （2） _____．（结果用含 的 代数式表示， 为正整数）． 【答】（1） ； ；（2） 【分析】（1）根据题意代入求值即可；（2）分别计算 的值，找到规律再求解 【详解】（1） ； ； （2） ． 【点睛】本题考查了代数式求值，分式的计算，理解题意，找到 是解题的关 键． 8．若 ，则 的值为 ． 【答】 【分析】把 当整体代入求值，通过两次代入即可得出最后结果． 【详解】解： ， ， ， 原式 ， 故答为：． 【点睛】本题考查分解因式的应用，同时也要熟练运用整体代入的方法，快速分析出所需 代入的整体是解题的关键． 9 已知 ， ，且 ，则 ______． 【答】1 或－3 【详解】∵ ， ， +2=±4 ∴ ，b−1=±2， =2 ∴ 或=−6，b=3 或b=−1； ∵ ， =2 ∴ ，b=−1 或=−6，b=3， 当=2，b=−1 时，则 ； 当=−6，b=3 时，则 ； 故答为：1 或－3．