专题8.1 二元一次方程组及其解法【九大题型】（解析版）

专题81 二元一次方程组及其解法【九大题型】 【人版】 【题型1 二元一次方程（组）的概念】................................................................................................................. 1 【题型2 已知二元一次方程（组）的解求参数】..................................................................................................3 【题型3 二元一次方程（组）的解的情况】.........................................................................................................6 【题型4 二元一次方程组的一般解法】................................................................................................................. 8 【题型5 整体换元求解二元一次方程组的解】...................................................................................................13 【题型6 构建二元一次方程组】...........................................................................................................................16 【题型7 二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】....................................................................................18 【题型8 根据两个二元一次方程组解的情况求值】............................................................................................20 【题型9 二元一次方程组的错解复原问题】.......................................................................................................22 【知识点1 二元一次方程（组）的概念】 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1 的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 【题型1 二元一次方程（组）的概念】 【例1】（2022·山东·胶州市第七中学八年级阶段练习）下列万程中，是二元一次方程组的 是（ ） ①¿ ②¿ ③¿ ④¿ ．①②③ B．②③ ．③④ D．①② 【答】 【分析】根据二元一次方程组的定义：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次 数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组，据此即可判定． 【详解】解：①¿是三元一次方程组，故不符合题意； ②¿各方程不是整式方程，故不是二元一次方程组，故不符合题意； ③¿是二元一次方程组，故符合题意； ④¿是二元一次方程组，故符合题意； 故是二元一次方程组是③④， 故选：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，理解和掌握二元一次方程组的定义是解决本 题的关键． 1 【变式1-1】（2022·黑龙江·哈尔滨市松雷中学校七年级阶段练习）关于x、y 的方程（m﹣ 2）x+y|m 1| ﹣＝2 是二元一次方程，则m 的值为 _____． 【答】0 【分析】根据二元一次方程的定义：有2 个未知数，未知数的最高次数为1 的整式方程， 得出m的等量关系，解出答即可． 【详解】解：由题意得， m−2≠0，|m−1|=1， ∴m≠2，m=2 或0， ∴m=0， 故答为：0． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握并理解二元一次方程的定义是解本题 的关键． 【变式1-2】（2022·四川·仁寿县文宫镇古佛九年制学校七年级期中）下列方程： ①2 x−y 3 =1；②x 2 + 3 y =3；③x 2−y 2=4；④5 (x+ y )=7 (x−y )；⑤2 x 2=3；⑥ x+ 1 y =1，其中是二元一次方程的有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】B 【分析】根据二元一次方程的定义作答．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都 是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 【详解】解：①2 x−y 3 =1属于二元一次方程，故符合题意； ②x 2 + 3 y =3中分母含有未知数，不属于二元一次方程，故不符合题意； ③x 2−y 2=4中的未知数的次数为2，不属于二元一次方程，故不符合题意； ④5 (x+ y )=7 (x−y )属于二元一次方程，故符合题意； ⑤2 x 2=3中的未知数的次数为2，不属于二元一次方程，故不符合题意； ⑥x+ 1 y =1中分母含有未知数，不属于二元一次方程，故不符合题意； 故其中二元一次方程有2 个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含 有2 个未知数，未知数的项的次数是1 的整式方程． 【变式1-3】（2022 春•开福区月考）已知方程组¿是二元一次方程组，求m的值． 1 【答】（1）17 9 +3 ❑ √2；（2）m=5 【分析】根据二元一次方程组的定义得|m−2|−2=1且m−3≠0，m+1≠0即可求解； 【详解】解：∵方程组¿是二元一次方程组， ∴|m−2|−2=1且m−3≠0，m+1≠0， ∴m=5． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的定义，掌握相关定义是解题的关键． 【知识点2 二元一次方程（组）的解】 3、二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 4、二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 5、二元一次方程组的解法 （1）代入（消元）法（2）加减（消元）法 【题型2 已知二元一次方程（组）的解求参数】 【例2】（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第二十八中学七年级期中）关于x 和y 的二元一次方程， 2x+3y＝20 的正整数解有（ ）组． ．1 B．2 ．3 D．4 【答】 【分析】将y 看作已知数，求出x，即可确定出方程的正整数解． 【详解】解：2 x+3 y=20 x=1 2 (20−3 y) 当y=2时，x=7；当y=4时，x=4；当y=6时，x=1 则方程的正整数解有3 对． 故选： 【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将y 看作已知数，表示出x． 【变式2-1】（2022·新疆塔城·七年级期末）已知¿是二元一次方程2 x+ y=14的解，则k 的 值是（ ） ．2 B．-2 ．3 D．-3 【答】 【分析】把¿代入二元一次方程2 x+ y=14求解即可得到答； 【详解】把¿代入二元一次方程2 x+ y=14得到： 2×2k+3k=14， 即：7 k=14，k=2， 故选：． 1 【点睛】本题主要考查了二元一次方程解的定义，掌握二元一次方程的解使该方程等号两 边成立是解题的关键． 【变式2-2】（2022·全国·七年级单元测试）已知方程a 2x+by=-1 的两组解是¿和¿，求（+b） （4 2 ﹣ 2b2+b2）的值． 【答】-23 【分析】根据题意把两组解代入组成一个新的二元一次方程组，然后求出、b 的值，代入 含有、b 的代数式求解即可 【详解】解：将{x=−2 y=−1 和{x=4 y=3 代入a 2x+by=-1， 得{ a 2 ×(−2)+b×(−1)=−1 a 2 ×4+b×3=−1 ， 解得{ a=4 b=−3 ． ∴（+b）（4 2 ﹣ 2b2+b2）=（4 3 ﹣）×[44 2×4 ﹣ 2×（﹣3）2+（﹣3）2]= 23 ﹣ ． 【点睛】二元一次方程组的解法是本题的考点，熟练掌握其知识根据已知条件转换成二元 一次方程组是解题的关键 【变式2-3】（2022·浙江杭州·七年级期中）在关于x，y的二元一次方程组¿的下列说法中， 错误的是（） ．当a=2时，方程的两根互为相反数 B．当且仅当a=−5时解得x为y的2倍 ．x，y满足关系式x−5 y=6 D．不存在自然数a使得x，y均为正整数 【答】D 【分析】．当＝2 时，方程组变形得到结果，即可判断； B．将x=2y 代入方程，解出即可判断； ．用含是代数式表示x 和y，再将x、y 代入x−5y 进行计算即可判断； D．用含是代数式表示x 和y，当＝16 时，x＝11，y＝1，即可判断． 【详解】解：、当＝2 时，方程组为 {x＋2 y ＝−1 ① 3 x−y ＝4 ②， ①＋②×2 得：7x＝7， 解得：x＝1， 把x＝1 代入①得：y＝−1， 则x＋y＝1−1＝0， 即方程的两根互为相反数， 1 ∴选项不符合题意； B． 当x=2y 时，原方程组可变为：{4 y=a−3 5 y=2a 解得：a=-5， ∴当且仅当a=-5，时解得x为y的2倍； B ∴选项不符合题意． ．{x−2 y =a−3 ① 3 x−y =2a②， ①＋②×2 得：7x＝5−3， 解得：x＝5a−3 7 ，y＝a−9 7 ， x−5y ∵ ＝5a−3 7 −5× a−9 7 = 42 7 =6，正确， ∴选项不符合题意； D、由可知：x＝5a−3 7 ，y＝a−9 7 ， 要使x 为自然数，可得5−3＝7，14，21，…；同理−9＝7，14，21，…， 当＝16 时，x＝11，y＝1， 所以存在自然数，使得x，y 均为正整数， D ∴ 选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、二元一次方程的解、解二元一次方程组，解决 本题的关键是掌握二元一次方程的相关知识． 【题型3 二元一次方程（组）的解的情况】 【例3】（2022·四川省珙县巡场中学校七年级期中）关于x，y的方程组¿的解是整数，则 整数a的个数为（） ．4个 B．3个 ．2个 D．1个 【答】 【分析】先解方程组求出x 、y的值，根据y和a都是整数求出1+2a=−1或1+2a=5或 1+2a=1或1+2a=−5，求出a的值，再代入x求出x，再逐个判断即可; 【详解】¿ ①×2−②得：(−2a−1) y=5 解得：y= 5 −2a−1 把y= 5 −2a−1代入②得：4 x− 5 2a+1=7 1 解得：x=7a+6 2+4 a ∵ 方程组的解为整数 ∴ x , y均为整数 ∴ 1+2a=−1或1+2a=5或1+2a=1或1+2a=−5 解得：a=−1,2,0,−3， 当a=−1时，x=1 2，不是整数，舍去； 当a=2时，x=2，是整数，符合； 当a=0时，x=3，是整数，符合； 当a=−3时，x=3 2，不是整数，舍去； 故选： 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的含参问题，准确的解出方程组并且列出整数解的 情况是求解本题的关键 【变式3-1】（2022·浙江杭州·七年级期中）若二元一次方程组¿无解，则m为（ ） ．9 B．6 ．−6 D．−9 【答】B 【分析】根据二元一次方程组无解的问题可直接进行求解． 【详解】解：由¿可得： ①-②×3 得：(m−6) x=6， ∵二元一次方程组无解， ∴m−6=0，解得：m=6； 故选B． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的 关键． 【变式3-2】（2022·全国·八年级单元测试）下列说法中正确的是（ ） ．方程3x-4y=1 可能无解 B．方程3x-4y=1 有无数组解，即xy 可以取任何数值 ．方程3x-4y=1 只有两组解，两组解是¿ D．x=3，y=2 是方程3x-4y=1 的一组解 【答】D 【分析】根据二元一次方程是不定方程，有无数组解；能使方程成立的x，y 的数值即是方 程的解．反之，则不是方程的解． 1 【详解】解：、方程3x-4y=1 有无数组解，错误； B、方程3x-4y=1 有无数组解，即x，y 的取值代入方程，使方程左右相等的解是方程的解， 错误； 、方程3x-4y=1 有无数组解，即x，y 的取值代入方程，使方程左右相等的解是方程的解， 错误； D、x=3，y=2 代入方程3x-4y=1，左边=1=右边，即x=3，y=2 是方程3x-4y=1 的一组解，正确． 故选：D． 【点睛】根据方程的解的定义，一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程；若不满足， 则不是方程的解．关键是会把x，y 的值代入原方程验证二元一次方程的解． 【变式3-3】（2022·河南商丘·七年级阶段练习）二元一次方程2 x+ y=13的非负整数解有 （ ） ．5 个 B．6 个 ．7 个 D．无数个 【答】 【分析】将x=0，1，2，…，分别代入2x+y=13，求出二元一次方程2x+y=13 的非负整数解 有多少组即可． 【详解】当x=0 时，y=13； 当x=1 时，y=11； 当x=2 时，y=9； 当x=3 时，y=7； 当x=4 时，y=5； 当x=5 时，y=3； 当x=6 时，y=1； 当x=7 时，y=-1＜0； ∴二元一次方程2 x+ y=13的非负整数解有¿，¿，¿，¿，¿，¿，¿，共7 组． 故选：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，要熟练掌握，注意解中x 与y 必须为非负 整数． 【题型4 二元一次方程组的一般解法】 【例4】（2022·云南·普洱市宁洱县勐先镇初级中学七年级期中）解方程组: (1)¿ (2)¿ 【答】(1)¿ (2)¿ 【分析】（1）利用代入消元法，将方程①代入②，得6 x+2 x=8，解得x的值，进而求得 1 y的值即可 （2）利用加减消元法，将方程②×2，得2 x−4 y=−2③，然后与方程①相减即可求得y 的值进而将y 的值代入方程②求得x 的值即可． （1） 解：¿ 将①代入②，得6 x+2 x=8， 解得x=1， 将x=1代入①，得y=2， ∴原方程组的解为¿； （2） 解：¿ ②×2，得2 x−4 y=−2 ③ ①－③，得7 y=14， 解得y=2， 将y=2代入②，得x−4=−1， 解得x=3， ∴原方程组的解为¿． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，根据方程的特点选取适当消元方法是解题的 关键． 【变式4-1】（2022·甘肃·金昌市金川区宁远中学七年级期中）用适当的方法解下列方程组： (1)¿ (2)¿ (3)用代入法解¿ (4)用加减法解¿ 【答】(1)¿ (2)¿ (3)¿ (4)¿ 【分析】（1）根据加减消元法求解即可； （2）根据加减消元法求解即可； （3）根据代入消元法的步骤求解即可； （4）根据加减消元法的步骤求解即可； （1） 解：¿， 1 由②-①，得：x=18， 将x=18代入①，得：18+ y=20， 解得：y=2， 故原方程组的解为：¿； （2） 解：¿ 由3×①-②，得：5 y=−5， 解得：y=−1， 将y=−1代入①，得：x−(−1)=3， 解得：x=2， 故原方程组的解为：¿； （3） 解：¿ 由②得：x=3 y−10③， 将③代入①，得：3(3 y−10)+4 y=9， 解得：y=3， 将y=3代入③，得：x=3×3−10=−1， 故原方程组的解为：¿； （4） 解：¿ 由3×①-2×②，得：5 x=−20， 解得：x=−4， 将x=−4代入①，得：7×(−4)−2 y=−40， 解得：y=6， 故原方程组的解为：¿； 【点睛】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法解方程组的步骤是解 题关键． 【变式4-2】（2022·湖南·郴州市五雅高级中学有限公司七年级阶段练习）解方程组 (1)¿； (2)¿； (3)¿； (4)¿． 【答】(1)¿ 1 (2)¿ (3)¿ (4)¿ 【分析】（1）利用代入法解方程组； （2）利用加减法解方程组； （3）利用代入法解方程组； （4）先将方程组化简，再利用加减法解方程组． （1） 解：¿， 将①代入②，得6x+2x=8， 解得x=1， 将x=1 代入①，得y=2， ∴方程组的解为¿； （2） ¿， ①+②得，2x=8， 解得x=4， 将x=4 代入①，得4+3y=7， 解得y=1， ∴方程组的解为¿； （3） ¿， 由①得，x=3y-2③， 将③代入②得，2（3y-2）+y=3， 解得y=1， 将y=1 代入③，得x=3-2=1， ∴方程组的解为¿； （4） 将原方程组化简为¿， ①+②×5，得17m=85， 解得m=5， 将m=5 代入②，得15+=13， 解得=-2， 1 ∴方程组的解为¿． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组的解法：代入法和加 减法，并能根据每个方程组的特点选择恰当的解法是解题的关键． 【变式4-3】（2022·河南商丘·七年级期末）解下列方程组： (1)¿ (2)¿ 【答】(1)¿ (2)¿ 【分析】（1）先整理方程组，再用加减消元法进行求解； （2）先整理方程，再用加减消元法进行求解． （1） 解：整理得：¿ ①+②得：4y=16， y=4 把y=4 代入①得：3x-4=5 x=3 ∴原方程组的解为：¿． （2） 解：整理得：¿ ①-②得：5y=5 y=1 把y=1 代入①得：x+7=2 x=-5 ∴原方程组的解为：¿． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程，正确地将方程组进行整理以及熟练掌握消元的 思想是解题的关键． 【题型5 整体换元求解二元一次方程组的解】 【例5】（2022·全国·八年级课时练习）已知关于x、y 的二元一次方程组¿的解为¿，那么 关于m、的二元一次方程组¿的解为 _____． 【答】¿ 【分析】首先利用整体代值的数学思想可以得到m+与m﹣的值，然后解关于m、的方程组 即可求解． 【详解】解：∵关于x、y 的二元一次方程组¿的解为¿， 1 ∴关于m、的二元一次方程组¿中¿， ∴解这个关于m、的方程组得：¿． 故答为¿． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握整体代值的数学思想， 对于学生的能力要求比较高． 【变式5-1】（2022