专题05 二元一次方程组的四种特殊解问题（教师版）

专题05 二元一次方程组的四种特殊解问题 类型一、整体思想的应用 例．若方程组 的解为 ，则方程组 的解为( ) ． B． ． D． 【答】B 【详解】解：∵方程组 的解为 ， ∴方程组 的解 ，∴ ； 故选：B． 【变式训练1】关于x、y 的二元一次方程组 的解满足 ，则 m 的值是_______． 【答】2 【详解】解： ， ①+②得 ， 把 代入5x+y= 得 ，解得m=2， 故答为：2． 【变式训练2】已知关于x，y 的方程组 的解满足 ，求k 的值． 【答】 【详解】解： ，得 ， ∴ ，∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得 ． 【变式训练3】关于 的二元一次方程组的解 满足 ，则k 的 值是( ) ．2 B． ． D．3 【答】B 【详解】解： ， ①－②得： ， ∵ ， ∴ ， 解得： ， 故选：B． 【变式训练4】若关于x，y 的二元一次方程组 的解互为相反数，则k 的值是 ( ) ．4 B．3 ．2 D．1 【答】 【详解】解：由题意得： ，联立 ， 由① ②得： ，解得 ， 将 代入①得： ，解得 ， 将 代入方程 得： ，解得 ， 故选：． 类型二、整数解问题 例．关于x，y 的二元一次方程组 的解为正整数，则满足条件的所有整数的和为( ) ．1 B．﹣1 ．2 D．﹣3 【答】 【详解】解：解方程组 ，得 ， ∵方程组的解为正整数，∴＝0 时， ；＝2 时， ， ∴满足条件的所有整数的和为0+2＝2．故选：． 【变式训练1】已知关于x、y 的二元一次方程组 的解满足 ，且关于s 的不等式组 恰好有4 个整数解，那么所有符合条件的整数的个数为( ) ．4 个 B．3 个 ．2 个 D．1 个 【答】 【详解】解：解方程组 得： ， ∵关于x、y 的二元一次方程组 的解满足 ， ∴ ≥ ，解得：≥- ， ∵关于s 的不等式组 恰好有4 个整数解，即4 个整数解为1，0，-1，-2， ∴ ，解得-2≤＜1， ∴ ≤＜1，∴符合条件的整数的值有：-1，0，共2 个， 故选：． 【变式训练2】若整数m 使得关于x 的不等式组 有且只有三个整数解， 且关于x，y 的二元一次方程组 的解为整数(x，y 均为整数)，则符合条件的所有 m 的和为( ) ．27 B．22 ．13 D．9 【答】 【详解】解： 解不等式①，得： ，解不等式②，得： ，∴不等式的解集为 ， ∵不等式组有且只有三个整数解，∴ ，解得： ， ∵m 为整数，∴ 取5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15， ，解得： ，∴当 取 时，x，y 均为整数， ∴符合条件的所有m 的和为 ． 故选： 【变式训练3】m 为正整数，已知二元一次方程组 有整数解则m2＝( ) ．4 B．1 或4 或16 或25 ．64 D．4 或16 或64 【答】D 【详解】解： ，①-②得：(m-3)x=10，解得：x= ， 把x= 代入②得：y= ， 由方程组为整数解，得到m-3=±1，m-3=±5，解得：m=4，2，-2，8， 由m 为正整数，得到m=4，2，8，则 =4 或16 或64， 故选：D． 【变式训练4】方程组 有正整数解，则正整数的值为________． 【答】2 【详解】解： ② 得： ①-③得： 当 时，方程无解， 当 时，方程的解为： 为正整数， 或 或 或 解得： 或 或 或 为正整数， 当 为正整数，由②得： 也为正整数，所以 故答为：2 类型三、参数问题 例．若方程组 的解满足2x 3 ﹣y＞1，则k 的的取值范围为 ___． 【答】 【详解】 ① ②得， 2x 3 ﹣y＞1， ，解得 故答为： 【变式训练1】若关于x，y 的二元一次方程组 无解，则 ______． 【答】− 【详解】解： ， ①×2 得：2mx＋6y＝18③， ②×3 得：3x−6y＝3④， ③＋④得：(2m＋3)x＝21，∴x＝ ， ∵方程组无解，∴2m＋3＝0，∴m＝− ． 故答为：− ． 【变式训练2】已知方程组 有无数多个解，则、b 的值等于________． 【答】＝﹣3，b＝﹣14 【详解】解：∵方程组 有无数多个解， ∴ ，∴＝−3，b＝−14．故答为：＝﹣3，b＝﹣14． 【变式训练3】若关于x 和y 的二元一次方程组 的解是二元一次方程 的一个解；求 的值． 【答】 【详解】解：由题意得： ，②-①得： 把 代入②得： 把 代入 得： 【变式训练4】已知关于x，y 的二元一次方程组{ x+ y=6 x−(m+2) y=0的解满足y＝x，求m 的 值． 【答】-1 【详解】解：∵关于x、y 的二元一次方程组 的解满足 ，∴ ， 把②代入①中得： ，解得 ，把 代入到②中得： ， 把 ， 代入到 中得 ，解得 ． 类型四、错解复原问题 例．在解方程组 时，甲由于粗心看错了方程组中的，求出方程组的解为 ，乙看错了方程组中的b，求得方程组的解为 ，甲把看成了什么？乙把b 看 成了什么？求出原方程组的正确解． 【答】甲把看4，乙把b 看成了 ，原方程组的正确解是 【详解】解：由题意把 代入①得+6=10，得看错的=4，把 代入②得1+6b=7， 解得正确的b=1； 把 代入①得-+12=10，得正确的=2，把 代入②得-1+12b=7，解得看错的b= ， 则原方程组为 ，解得 ； 所以甲把看4，乙把b 看成了 ，原方程组的正确解是 ． 【变式训练1】甲、乙二人共同解方程组 ，由于甲看错了方程①中的m 值， 得到方程组的解为 ；乙看错了方程②中的的值，得到方程组的解为 ，试求 代数式 的值． 【答】925 【详解】解：将 代入②得：﹣6+2＝﹣3，解得：＝15，将 代入①得： 5 ﹣m+4＝﹣6，解得：m＝2， 当m＝2，＝15 时，m2+2+m＝4+225+3＝925． 【变式训练2】解关于x、y 的二元一次方程组 时，小虎同学把看错而得到 ，而正确的解是 ，试求+b+的值． 【答】19 【详解】解：∵方程组的正确解为 ， ∴把 代入方程x 7 ﹣y=8，可得3+14=8，解得= 2 ﹣； 把小虎求得的解和正确解分别代入方程x+by=2，可得， ，解得 ， + ∴b+=10+11 2=19 ﹣ ． 【变式训练3】甲、乙两人同解方程组 时，甲看错了方程①中的 ，解得 ，乙看错了②中的 ，解得 ，试求 的值． 【答】0 【详解】解：将 代入 得： ，解得 将 代入方程组中的 得： ，即 ． 【变式训练4】如图，小红和小明两人共同解方程组 根据以上他们的对话内容，请你求出 ， 的正确值，并计算 的值． 【答】 ， ，0 【详解】解：因为小明看错了方程①中的 ，所以 满足方程②， 即 ，解得 ， 因为小红看错了方程②中的 ，所以 满足方程①， 即 ，解得 ， 所以 ． 课后练习 1．已知关于x，y 的二元一次方程组 的解x，y 互为相反数，则的值为____ __． 【答】-3 【详解】 解：两个方程相加得：3x+3y=3+9， ∵x、y 互为相反数， ∴x+y=0， 3 ∴x+3y=0， 3+9=0 ∴ ， 解得：=-3， 故答为：-3． 2．若方程组 有正整数解，则整数的值为____． 【答】-3 或-1 或±2 【详解】 解： ， 由②得 ， 把 入①得 ， 解得 ， ∵方程组 有正整数解， ∴y 要为正整数，即 要为正整数， ∴ 或 或 或 = ∴－3 或－1 或±2． 故答为：-3 或-1 或±2． 3．小鑫、小童两人同时解方程组 时，小鑫看错了方程②中的，解得 ， 小童看错了①中的b，解得 ，求原方程组的正确解． 【答】 【详解】解：根据题意，可得 ，解得 ， 将，b 代入原方程组，得 ， 由②可得 ③， 将③代入①，可得 ， 解得 ， 把 代入③，解得 ． 故原方程组的正确解是 ． 4．阅读材料：善于思考的小军在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的 解法： 解：将方程②变形：4x＋10y＋y＝5 即2(2x＋5y)＋y＝5③ 把方程①带入③得：2×3＋y＝5，∴y＝﹣1 把y＝﹣1 代入①得x＝4，∴方程组的解为 ． 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程组 (2)已知x，y 满足方程组 ． ()求x2＋4y2的值； ()求 ＋ 的值． 【答】(1) ；(2)()17；()± 【详解】解：(1)把方程②变形为： ， ， ， 把 代入 得 ， 即方程组的解为 ； (2)()原方程变形为 ， ①+② 得， ， ， ()由 代入②得 ， ( ∴x＋2y)2＝x2＋4y2＋4xy＝17＋8＝25， ∴x＋2y＝5 或x＋2y＝﹣5， 则 ＝ ＝± ． 5．已知关于x、y 的方程组 中，x 为非负数、y 为负数． (1)试求m 的取值范围； (2)当m 取何整数时，不等式3mx+2x>3m+2 的解集为x<1． 【答】(1) ；(2)x<1 【解析】(1)解：(1) ， ①+②得：2x＝18 4 ﹣m，x＝9 2 ﹣m， ① ② ﹣ 得：﹣2y＝4+2m，y＝﹣2﹣m， ∵x 为非负数、y 为负数， ∴ ，解得：﹣2<m≤ ； (2)3mx+2x>3m+2， (3m+2)x>3m+2， ∵不等式3mx+2x>3m+2 的解为x<1， 3 ∴m+2<0， ∴m<﹣ ， 由(1)得：﹣2<m≤ ， 2< ∴﹣ m<﹣ ， ∵m 整数， ∴m＝﹣1； 即当m＝﹣1 时，不等式3mx+2x>3m+2 的解为x<1． 6．m 取哪些整数时，方程组 的解是正整数？求出正整数解 【答】当m=-3 时， ；当m=-2 时， ；当m=0 时, ． 【详解】解： ， 由②得，x=2y③， ③代入①得，4y+my=4， y= ∴ ， ∵方程组的解是正整数， 4+ ∴ m=1 或4+m=2 或4+m=4， 解得m=-3 或m=-2 或m=0， 当m=-3 时, ； 当m=-2 时, ； 当m=0 时, ． 7．当m，为何值时，方程组 (1)有唯一解； (2)有无数多个解： (3)无解 【答】(1) ；(2) ；(3) 【详解】 解：解方程组 由①变形得到 代入②得到 ， ∴ ， (1)当(m-6)≠0，即m≠6，方程有唯一解 将此y 的值代入 中， 得：x＝ ，因而原方程组有唯一一组解； (2)当 ＝0 且 ＝0 时，即 时，方程有无穷多个解，因此原方程组有 无穷多组解； (3)当 ＝0 且 ≠0 时，即 时，方程无解，因此原方程组无解．