专题10 二元一次方程组特殊解的三种考法（解析版）

专题10 二元一次方程组特殊解的三种考法 类型一、整数解的问题 例1 已知二元一次方程组 有正整数解，则正整数m 的值为（ ） ．4 或5 B．5 或6 ．4 或8 D．6 或8 【答】 【分析】先解关于x 的方程组，再讨论解为正整数时m 的值． 【详解】解： ， 解方程组得： ， ∵方程组有正整数解， ∴当正整数 时不符合题意， 当正整数 时， ，符合题意； 当正整数 时， ，符合题意； ∴只有 或8 时，符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握二元一次方程组的解法，以 及二元一次方程组解与系数的关系． 【变式训练1】当整数 ______时，关于x，y 的方程组 有正整数解． 【答】 【详解】解： 由②得： ③， 把③代入①得： 解得： 为正整数， 为整数， 或 或 或 或 此时 也为整数， 故答为： 【变式训练2】 为正整数，已知二元一次方程组有 有整数解，则 ． 【答】 或 【分析】利用加减消元法易得 、 的解，由 、 均为整数可解得 的值． 【详解】解：解方程组 ，可得 ， 方程组 有整数解， 或 ， 解得 或 ， 或 故答为： 或 ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟悉相关解法是解题的关键． 【变式训练3】若 是整数，关于 、 的二元一次方程组 的解是整数，则满 足条件的所有 的值的和为______． 【答】-12 【详解】解：解方程组 ，解得 ， ∵二元一次方程组 的解是整数， ∴m+3 是10 的因数，也是15 的因数， ∴m+3= 5 或m+3= 1， ∴m=2，-2，-4 或-8， ∴满足条件的所有 的值的和为2-2-4-8=-12， 故答为：-12． 【变式训练4】若关于x，y 的方程组 的解是正整数，则整数的值是 ． 【答】2 或-1 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组，得到x 和y 关于的解，根据方程组的解是正 整数，得到5-与+4 都要能被3 整除，即可得到答． 【详解】 ， ①-②得：3y=5-，解得：y= ， 把y= 代入①得： x+ =3，解得：x= ， ∵方程组的解为正整数， 5- ∴ 与+4 都要能被3 整除， =2 ∴ 或-1， 故答为2 或-1． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 类型二、整体法求解 例1 若x，y 满足二元一次方程组 ，则 的值为______． 【答】3 【详解】解： ，由①-②得： ， 即 ，∴ ． 故答为：3 例2 已知关于x，y 的方程组 的解为 ，则关于m，的方程组 的解为（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】由于两个方程的形式相同、常数和对应项的系数都相同，所以两个方程组的解相 同．根据解相同，可得含 、 的二元一次方程组，求解即可． 【详解】解： 方程组 的解为 ， 方程组 的解为 ． 解方程组 得 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，根据两个方程组的特点，得到解间关系是解 决本题的关键．另解决本题亦可先把解代入第一个方程组求出 、 的值，再把 、 的值 代入第二个方程组，求解关于 、 的方程组后得结论． 【变式训练1】已知关于x，y 的二元一次方程组的解 满足 ，则m 的值是（ ） ．2 B．－2 ．1 D．－1 【答】D 【解析】 用①-②，得： ，即 又∵ ，∴ ，解得： 故选：D． 【变式训练2】解方程组： ． 【答】 ． 【分析】设 ， ，把原方程组转化为二元一次方程组，求解后，再解分式方程 即可． 【详解】解：设 ， ， 则原方程组化为： ， ① ②得： ， 解得： ， 把 代入①得： ， 解得： ， 即 ，解得： ， 经检验 是原方程组的解， 所以原方程组的解是 ． 【点睛】本题考查了换元法解方程组，解题关键是抓住方程组的特征，巧妙换元，熟练的 解二元一次方程组和分式方程，注意：分式方程要检验． 【变式训练3】已知关于x，y 的二元一次方程组 的解为 ，则关于x，y 的方程组 的解是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【详解】解：∵关于x，y 的二元一次方程组 的解为 ， ， ∴ ，∴ ， 故选D． 类型三、看错解问题 例．甲、乙两人求二元一次方程 的整数解，甲正确地求出一组解为 ，乙 把看成 ，求得一组解为 ，则，b 的值为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】将方程的解代入对应方程，组成新的方程组解方程即可． 【详解】解：由题意可得， ，解得 ，故选． 【点睛】本题考查方程的解及解方程组，解题的关键是知道方程的解满足方程，错方程的 解代入错方程． 【变式训练1】在解关于 ， 的方程组 时，小亮解出的结果为 老师看 了小亮的解题过程后，对小亮说：“你方程组中的 抄错了，该方程组的正确结果 比 大5．”则 ， 的值分别为（ ） ．4， B．4，2 ． ，2 D． ， 【答】 【分析】先由小亮的解求出的值，并得到关于x，y 的一个二元一次方程，再根据老师的话 得到关于x，y 的另一个二元一次方程，由上面两个方程联立可以得到原二元一次方程组的 正确解，把此解代入含有b 的二元一次方程可以得到b 的值，问题即得解． 【详解】解：由题意可得：-2+10=2， =4 ∴ ， 4 ∴x+5y=2①， 又由老师的话可得x=y+5②， ②代入①可得：4y+20+5y=2， 解得：y=-2，代入②得x=3， 把x=3，y=-2 代入bx-7y=8 可得：3b+14=8， 解得：b=-2， ∴ ， 的值分别为4、-2， 故选 ． 【点睛】本题考查二元一次方程（组）的应用，熟练掌握二元一次方程的有关概念及二元 一次方程组的解法是解题关键． 【变式训练2】甲、乙两人共同解方程组 由于甲看错了方程①中的 ，得到 方程组的解为 ，乙看错了方程②中的 ，得到方程组的解为 ，试计算 的值． 【答】0 【分析】将 代入方程组的第二个方程，将 代入方程组的第一个方程，联立求 出与b 的值，即可求出所求式子的值． 【详解】解：把 代入 ，得 ， ∴ ， 把 代入 ，得 ，， ∴ ， ∵ ． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，代数式求值，方程组的解即为能使方程组中两 方程成立的未知数的值．求出、b 值是解题的关键． 课后训练 1．方程组 的解为 ，则方程组 的解为（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】对方程组变形，然后根据二元一次方程组解的定义，利用整体思想求解． 【详解】解：方程组 整理为： ， ∵方程组 的解为 ， ∴ ， ， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解及解二元一次方程组，解题的关键是学会利用整体 的思想解决问题． 2．在解关于x，y 的方程组 时，小明由于将方程①的“ ”，看成了“ ”， 因而得到的解为 ，则原方程组的解为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据题意，把 代入方程 ，求出 的值，再把 的值代入 ，进行计算，即可得出结果． 【详解】解：∵小明由于将方程①的“ ”，看成了“ ”，因而得到的解为 ， ∴方程 的解为 ， ∴把 代入方程 ， 可得： ， 由 ，可得： ， 把 代入 ，可得： ， ∴方程的解为： ， ∴把 代入 ， 可得： ， 由 代入 ，可得 ， 把 代入 ，可得： ， ∴方程的解为 ． 故选： 【点睛】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，解本题的关键在理解题意， 正确求出 的值． 3．若二元一次方程组 的解x，y 的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这 个等腰三角形的周长为7，则m 的值为（ ） ．4 B．15 或2 ．2 D．4 或2 【答】 【分析】解二元一次方程组，分三种情况考虑，根据周长为7 得关于m 的方程求得m，并 结合构成三角形的条件判断即可． 【详解】 ①-②得：y=3-m 把y=3-m 代入②，得x=3m-3 故方程组的解为 ①若x 为腰，y 为底，则2x+y=7， 即2(3m-3)+3-m=7，解得：m=2， 此时x=3，y=1，满足构成三角形的条件 ②若y 为腰，x 为底，则2y+x=7， 即2(3-m)+3m-3=7，解得：m=4， 此时x=9，y=-1，不合题意； ③若x=y，即3m-3=3-m， 解得： ，此时腰为 ，底为 ， 但 + <4，不符合构成三角形的条件， 故 不合题意， 所以满足条件的m 为2． 故选． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次方程的解法，三条线段构成三角形 的条件，涉及分类讨论思想，方程思想，要注意的是，求出m 的值后，要验证是否符合构 成三角形的条件． 4．若方程组 有正整数解，则整数 的值为 ． 【答】 ， ，0 【分析】先求得方程组的解（用表示），再根据解的情况求解即可． 【详解】解： ， 由②得： ， 将③代入①中，得 ， 解得 ， 将 代入③中，得 ，即 ， 解方程组得 ， ∵方程组有正整数解，且为整数， ∴ 为正整数，且是4 的因数， ∴整数 的值为 ， ，0， 故答为： ， ，0． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法步骤，能正确 得到关于的表达式是解答的关键． 5．关于x，y 的二元一次方程组 的解是正整数，试确定整数的值为 【答】7 或5 【详解】分析：首先用含的代数式分别表示x，y，再根据条件二元一次方程组的解为正整 数，得到关于的不等式组，求出的取值范围，再根据为整数确定的值． 详解： ①-②×3，得 2x=23-3 解得x= 把x= 代入②得y= ∵关于x，y 的二元一次方程组 的解是正整数 ∴ ＞0， ＞0 解得 即=5、6、7 x ∵、y 为正整数∴为5 或7 故答为5 或7 点睛：本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次方程的应用，关 键是能根据题意得出关于的方程． 6．解答题： 解方程组 时，由于 ， 的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代 入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误，而采用下面的解法则 比较简单： ①②得 ，所以 ③， ③ ①得 ， 解得 ，从而 ， 所以原方程组的解是 ． 请你运用上述方法解方程组： ． 【答】 【分析】仿照例子，利用加减消元法可解方程组求解． 【详解】解： ， 得： ， ∴ ③， ③ ①得： ， 解得： ， 将 代入③得： ， ∴原方程组的解为 ． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，解二元一次方程组由代入消元法和加减消 元法． 7．解关于x，y 的二元一次方程组 时，小刚因为把抄错了，误解为 已知 该方程组正确的解为 ，求、b 的值． 【答】 【分析】由题意，把 与 都代入方程 中，求解即可． 【详解】解：把 与 都代入方程 中， 得方程组： ， 解得： ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握解二元一次方程组 的方法是关键．