专题15.5 分式的化简求值专项训练（50道）（解析版）

专题155 分式的化简求值专项训练（50 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共50 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了分式的化简求值问 题的所有类型！ 一．解答题（共50 小题） 1．（2022·山东·周村二中八年级阶段练习）先化简，再求值：(1−1 x+2)÷ x 2−1 x+2 ，然后从 −2≤x ≤2中找出一个合适的整数作为x的值代入求值． 【答】1 x−1；x=2时，值是1 【分析】利用分式的运算法则对所求的式子中括号里的式子通分，式子中的除以化为乘法， 对x 2−1 x+2 进行化简，并根据分式有意义的条件判断x的取值范围，从而入合适的值进行运算 即可． 【详解】解：(1−1 x+2)÷ x 2−1 x+2 ¿ x+1 x+2 × x+2 ( x+1)( x−1) ¿ 1 x−1 由原式得，x+2≠0，x 2−1≠0， ∴x≠−2，x≠±1， ∴从−2≤x ≤2中找出一个合适的整数得， 当x=2时，1 x−1= 1 2−1=1． 故答是：1 x−1；x=2时，值为1． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对分式有意义的条件的理解以及分 式运算法则的掌握． 2．（2022·广东·深圳市宝安第一外国语学校三模）化简求值：x 2−1 x+1 ÷ x 2−2 x+1 x 2−x −2，其 中x=2． 【答】x−2；0 1 【分析】根据平方差公式、完全平方公式和提公因式对式子进行因式分解，然后得到最简 式子将x=2代入进行求值． 【详解】解：x 2−1 x+1 ÷ x 2−2 x+1 x 2−x −2 ¿ (x+1) (x−1) x+1 × x (x−1) (x−1) 2 −2 ¿ x−2， 当x=2 时，原式¿2−2=0． 【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，然后进行约分， 得到最简分式或整式，接着把字母的值代入计算得到对应的分式的值；有括号的先算括号， 掌握分式的化简求值的步骤是解题的关键． 3．（2022·河南省实验中学九年级阶段练习）先化简，再求值： \( a 2-4 a 2-4 a+4 -1 2-a \)÷2 a 2-2a ，其中a满足a 2+3a-3=0． 【答】a 2+3a 2 ，3 2 【分析】先根据分式的运算法则，进行化简，然后利用整体思想代入求值． 【详解】原式=[ \(a+2\)\(a-2\) \(a-2\) 2 +1 a-2 ] ⋅a \(a-2\) 2 =\( a+2 a-2 +1 a-2 \ ) ⋅a \(a-2\) 2 = a+3 a-2 ⋅a \(a-2\) 2 = a 2+3a 2 ， 由a 2+3a-3=0得a 2+3a=3， ∴原式=3 2 ． 【点睛】本题考查分式的化简求值．熟练掌握分式的运算法则，将结果化为最简分式是解 题的关键．在代值计算时，要注意代入的值不能使分式的分母为零．同时本题采用了整体 思想． 4．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）先化简，再求值： ( 1 2−x −1)÷ x 2−2 x+1 x 2−4 ，其中x 是不等式2 x−1<6的正整数解． 【答】原式¿−x+2 x−1，当x=3时，原式¿−5 2 1 【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，计算乘法，然后求出不等式的正整数解， 结合分式有意义的条件确定x 的值，再代入求出答即可． 【详解】解：原式¿ 1−(2−x) 2−x ⋅ x 2−4 x 2−2 x+1 ¿ x−1 2−x ⋅( x+2)( x−2) ( x−1) 2 ¿−x+2 x−1 ∵2 x−1<6， ∴x< 7 2， ∵x 为正整数， ∴x=1或2 或3， 根据分式有意义的条件，x≠1且x≠2， ∴x=3， 当x=3时，原式¿−3+2 3−1=−5 2 ． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解、分式化简求值等知识点，能正确根据分式 的运算法则进行化简是解此题的关键． 5．（2022·湖南·涟源市湄江镇大江口中学八年级阶段练习）已知ab=1，M= 1 1+a + 1 1+b ， N= a 1+a + b 1+b，求M−N的值． 【答】M−N的值为0 【分析】将M= 1 1+a + 1 1+b，N= a 1+a + b 1+b代入M−N，得出原式¿ 2−2ab (1+a)(1+b)，再 将ab=1代入上式，即可求解． 【详解】M−N= 1 1+a + 1 1+b −( a 1+a + b 1+b) ¿ 1 1+a + 1 1+b−a 1+a−b 1+b ¿ 1−a 1+a + 1−b 1+b ¿ (1−a)(1+b)+(1+a)(1−b) (1+a)(1+b) ¿ 1+b−a−ab+1−b+a−ab (1+a)(1+b) 1 ¿ 2−2ab (1+a)(1+b) ¿ 2−2×1 (1+a)(1+b) ¿0． 【点睛】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式加减运算法则，熟练运用整体代 入思想． 6．（2022·贵州·仁怀市周林学校八年级期末）先化简：( x−2 x 2+2 x − x−1 x 2+4 x+4 )÷ 4−x x ，再 从0，1，−2，4中选取一个适当的x 的值代入求值． 【答】−1 (x+2) 2，x=1时，原式=−1 9 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化 简，最后根据分式有意义的条件，选取值代入求解． 【详解】解：原式＝ (x−2) (x+2)−x (x−1) x (x+2) 2 ⋅ x 4−x ¿ x 2−4−x 2+x x (x+2) 2 ⋅ x 4−x ¿− 1 (x+2) 2； ∵x≠0,−2,4， ∴当x=1时，原式¿− 1 (1+2) 2=−1 9 ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，正确的计算是解题的关键． 7．（2022·江苏·开明中学八年级期末）先化简，再求值：(1−1 a+1)÷ 2a a 2−1 ，其中a=−5 【答】a−1 2 ，−3 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化 简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解：原式＝a+1−1 a+1 × (a+1) (a−1) 2a ¿ a−1 2 ， 当a=−5时，原式¿ −5−1 2 =−3． 1 【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确的计算是解题的关键． 8．（2022·山东·威海市第七中学九年级阶段练习）先化简x−1 x−3 ÷ x 2−1 x 2−6 x+9 ，再从不等式 组¿的整数解中选一个合适的x 的值，代入求值． 【答】x−3 ❑ x+1 ，当x=0，原式¿−3（当x=2，原式¿−1 3） 【分析】先利用完全平方公式、平方差公式对分式进行化简，再求出不等式组的整数解， 根据分式的分母不能为0，除数不能为0，选择合适的x 值代入求解即可． 【详解】解：x−1 x−3 ÷ x 2−1 x 2−6 x+9 ¿ x−1 x−3 ⋅x 2−6 x+9 x 2−1 ¿ x−1 x−3 ⋅ (x−3) 2 (x+1) (x−1) ¿ x−3 x+1 ， 解不等式¿， 解不等式①得：x>−2， 解不等式②得：x<4， 故此不等式的解集为：−2<x<4， x 的整数解为：−1，0，1，2，3， 由题意可知，x 2−1≠0，x−3≠0， 故x≠±1，x≠3， 因此x 可以取0，2． 当x=0时，原式¿ 0−3 0+1 =−3， 当x=2时，原式¿ 2−3 2+1 =−1 3 ． 【点睛】本题考查分式化简求值，求一元一次不等式组的整数解，解题的关键是注意分式 的分母不能为0，除数不能为0，从而选择合适的x 值． 9．（2022·山东·东平县实验中学八年级阶段练习）已知实数x、y 满足 |x−3|+ y 2−4 y+4=0，求代数式x 2−y 2 xy · 1 x 2−2 xy+ y 2 ÷ x x 2 y−x y 2的值． 【答】5 3 【分析】根据分式的乘除法法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出x、y，代入计算 1 即可． 【详解】解：根据题意，则 ∵|x−3|+ y 2−4 y+4=0， ∴|x−3|+( y−2) 2=0， ∴x−3=0，y−2=0， ∴x=3，y=2； ∴x 2−y 2 xy · 1 x 2−2 xy+ y 2 ÷ x x 2 y−x y 2 =( x+ y)( x−y) xy × 1 ( x−y) 2 × xy( x−y) x = x+ y x ∴x+ y x =3+2 3 =5 3； 【点睛】本题考查了分式的乘除运算，以及求代数式的值，非负数的性质，解题的关键是 掌握运算法则，正确的进行化简． 10．（2022·福建省福州屏东中学九年级开学考试）先化简，再求值： (1− 1 x−1 )÷ x 2−4 x+4 x 2−x ，其中x＝3． 【答】 x x−2，3． 【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可． 【详解】解：(1− 1 x−1 )÷ x 2−4 x+4 x 2−x ＝x−1−1 x−1 × x( x−1) ( x−2) 2 ＝x−2 x−1 × x( x−1) ( x−2) 2 ＝ x x−2， 当x＝3 时，原式＝3 3−2＝3． 【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此 题的关键． 11．（2022·辽宁·本溪市第十二中学九年级阶段练习）先化简，再求值： 1 (1− 1 a−1 )÷ a−2 2 + a−1 a 2−2a+1，其中＝3． 【答】3 a-1 ,3 2 【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则进行计算，再根据分式 的加法法则进行计算，最后代入求出答即可． 【详解】解：\(1-1 a-1 \)÷ a-2 2 + a-1 a 2-2a+1 = a-1-1 a-1 ⋅2 a-2 + a-1 \(a-1\) 2 = a-2 a-1 ⋅2 a-2 +1 a-1 =2 a-1 +1 a-1 =3 a-1， 当a=3时，原式=3 3-1 =3 2 ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关 键，注意运算顺序． 12．（2022·陕西·西安尊德中学九年级阶段练习）先化简，再求值(a+1-3 a-1)÷ a 2+4 a+4 a-1 ， 其中＝2 【答】a-2 a+2；0 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形， 约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解：(a+1-3 a-1)÷ a 2+4 a+4 a-1 =\(a+1\)\(a-1\)-3 a-1 • a-1 \(a+2\) 2 =a 2-4 a-1 • a-1 \(a+2\) 2 =\(a+2\)\(a-2\) a-1 • a-1 \(a+2\) 2 = a-2 a+2， 1 当 =2 时，原式= a-2 a+2=0． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法 则． 13．（2022·广东·深圳市龙岗区布吉街道可学校九年级阶段练习）先化简，再求值： a 2-6ab+9b 2 a 2-2ab ÷ a-3b a-2b -1 a，其中＝3，b＝1． 【答】a-3b-1 a ，-1 3 【分析】先进行分式的计算，结果化为最简分式，再代值计算即可． 【详解】解：a 2-6ab+9b 2 a 2-2ab ÷ a-3b a-2b -1 a ＝ (a-3b) 2 a (a-2b) × a-2b a-3b -1 a ＝a-3b a -1 a ＝a-3b-1 a ， 当＝3，b＝1 时，原式＝3-3×1-1 3 ＝-1 3 ． 【点睛】本题考查分式的化简求值．熟练掌握分式的运算法则，正确的进行化简是解题的 关键． 14．（2022·贵州·测试·编辑研五八年级阶段练习）先化简，再求值： (1)(m+2+ 3 m−2)÷ m−1 m−2， 其中 m=5． (2)( x−1 x−2−x+2 x )÷ 4−x x 2−4 x+4 ， 其中 x=1． 【答】(1)m+1；6 (2) x−2 x ；−1 【分析】（1）括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形， 约分得到最简结果，把m 的值代入计算即可求出值； （2）括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得 到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值． （1） 1 解：(m+2+ 3 m−2)÷ m−1 m−2 ¿[ (m+2) (m−2) m−2 + 3 m−2]× m−2 m−1 ¿ (m+1) (m−1) m−2 × m−2 m−1 ¿m+1， 当m=5 时，原式¿5+1=6； （2） 解：( x−1 x−2−x+2 x )÷ 4−x x 2−4 x+4 ¿[ x (x−1) x (x−2)− (x+2) (x−2) x (x−2) ]× (x−2) 2 4−x ¿[ x 2−x x (x−2)−x 2−4 x (x−2)]× (x−2) 2 4−x ¿ 4−x x (x−2) × (x−2) 2 4−x ¿ x−2 x ， 当x=1 时，原式¿ 1−2 1 =−1． 【点睛】本题考查了分式化简求值，解决本题的关键是运用平方差公式和完全平方公式进 行化简求值． 15．（2022·广东·深圳市福景外国语学校九年级期中）先化简，再求值： a a-b ·( 1 b -1 a)+ a-1 b ，其中=2，b=-3． 【答】a b ，原式=-2 3 【分析】先对分式进行化简，在代入求值即可． 【详解】解：原式= a a-b · a-b ab + a-1 b ， =1 b + a-1 b ， = a b ， 当=2，b=-3时，原式= 2 -3 =-2 3 ． 1 【点睛】本题主要考查的是分式的化简求值，注意运算顺序． 16．（2022·湖南省岳阳开发区长岭中学八年级阶段练习）先化简，再求值： ( 1 a+2 -1 a-2)÷1 a-2，其中a=-4 【答】- 4 a+2，2 【分析】先计算括号内的，再计算除法，然后把a=-4代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解：( 1 a+2 -1 a-2)÷1 a-2 = a-2-a-2 (a+2) (a-2) ÷1 a-2 =-4 (a+2) (a-2) × (a-2) =- 4 a+2， 当a=-4时，原式=- 4 -4+2 =2． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 17．（2022·江苏泰州·九年级阶段练习）先化简，再求值，( x x -2 +2 x -4 x 2-4 x+4)⋅1 x+2，其中 x =1． 【答】1 x -2，-1 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可． 【详解】解：原式=\( x 2-2 x x 2-4 x+4 +2 x -4 x 2-4 x+4 \ ) ⋅1 x+2 = \( x +2\)\( x -2\) \( x -2\) 2 ⋅1 x +2 =1 x -2， 当x =1时，原式=1 1-2 =-1． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 18．（2022·湖南·临武县第六中学八年级阶段练习）先化简，再求值： ( x+1 x 2−1 + x x−1)÷ x+1 x 2−2 x+1，选一个你认为合适的数代入求值． 【答】化简的结果x−1,当x=100时，分式的值为99. 1 【分析】先计算括号内的分式的加法运算，再把除法转化为乘法运算，约分后得到化简后 的结果，再根据分式有意义的条件选取x=100代入求值即可． 【详解】解：( x+1 x 2−1 + x x−1)÷ x+1 x 2−2 x+1 ¿( 1 x−1 + x x−1)· (x−1) 2 x+1 ¿ 1+x x−1 · (x−1) 2 x+1 ¿ x−1, ∵分式有意义，则x≠±1, 取x=100, ∴原式¿100−1=99. 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握“分式的混合运算的运 算顺序”是解本题的关键． 19．（2022·广东·丰顺县建桥中学九年级开学考试）先化简，再求值：x−4 x 2−1 ⋅x 2−2 x+1 x 2−3 x−4 ， 其中x=2． 【答】x−1 (x+1) 2；1 9 【分析】先把分子，分母分解因式，约分化简后将x的值代入计算即可． 【详解】解：原式¿ x−4 (x+1) (x−1) ⋅ (x−1) 2 (x+1) (x−4 ) ¿ x−1 （x+1） 2 当x=2时， 原式¿ 2−1 (2+1) 2 ¿ 1 9 【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，化简出正确 结果． 20．（2022·湖南·醴陵市育局育学研究室模拟预测）先化简，再求值： x 2−4 x 2+2 x ÷( x−4 x−4 x )，其中x=3． 1 【答】1 x−2；1 【分析】先根据分式的运算法则进行化简，再代值计算即可． 【详解】原式¿ ( x+2)( x−2) x( x+2) ÷ x 2−4 x+4 x ¿ ( x+2)( x−2) x( x+2) ⋅ x ( x−2) 2 ¿ 1 x−2． 当x=3时：原式= 1 x−2= 1 3−2=1． 【点睛】本题考查分式的化简求值．熟练掌握分式的运算法则，正确的化简是解题的关键． 注意在代值时，不能代入使分式的分母为零的值． 21．（2022·湖南·涟源市湄江镇大江口中学八年级阶段练习）先化简： x+3 x−2 ÷(x+2− 5 x−2)，再选一个自己喜欢的整数x 代入求值． 【答】 1 x−3， 当x=4时，原式=1（答不唯一）． 【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入合适的数进行计算即可． 【详解】解：x+3 x−2 ÷(x+2− 5 x−2) ¿ x+3 x−2 ÷