专题2.6 利用整体思想求值【六大题型】（北师版）（解析版）

专题26 利用整体思想求值【六大题型】 【人版】 【题型1 利用整体思想直接代入求值】................................................................................................................. 1 【题型2 利用整体思想配系数求值】.....................................................................................................................2 【题型3 利用整体思想的奇次项为相反数求值】..................................................................................................4 【题型4 利用整体思想赋值求值】.........................................................................................................................6 【题型5 利用整体思想拆分某项构造整体求值】..................................................................................................7 【题型6 多次利用整体思想构造整体求值】.........................................................................................................8 【题型1 利用整体思想直接代入求值】 【例1】（2022 秋•柳江区期中）已知﹣b＝2，则2（﹣b）﹣5 的值是（ ） ．1 B．﹣1 ．﹣5 D．﹣3 【分析】将﹣b＝2 整体代入代数式2（﹣b）﹣5 进行计算即可． 【解答】解：∵﹣b＝2， 2 ∴（﹣b）﹣5 ＝2×2 5 ﹣ ＝4 5 ﹣ ＝﹣1， 故选：B． 【变式1-1】（2022 秋•巫溪县期末）已知：x 2 ﹣y＝﹣3，则4（x 2 ﹣y）2 3 ﹣（x 2 ﹣y）+20 的值是 65 ． 【分析】整体代入思想把x 2 ﹣y＝﹣3 整体代入求值即可． 【解答】解：∵x 2 ﹣y＝﹣3， ∴原式＝4×（﹣3）2 3× ﹣ （﹣3）+20 ＝36+9+20 ＝65． 故答为：65． 【变式1-2】（2022 春•八步区期末）若2+ 1 ﹣＝0．则22+2 的值为 2 ． 【分析】将代数式适当变形，利用整体代入的方法解答即可得出结论． 【解答】解：∵2+ 1 ﹣＝0， 1 ∴2+＝1． 原式＝2（2+） ＝2×1 ＝2． 故答为：2． 【变式1-3】（2022 秋•潍坊期末）已知m﹣＝2，m＝﹣5，则3（m﹣）﹣（m 3 ﹣m）的值 为 ﹣ 4 ． 【分析】原式去括号，合并同类项进行化简，然后利用整体思想代入求值． 【解答】解：原式＝3m 3 ﹣﹣m+3m ＝3m 3+2 ﹣ m， ∵m﹣＝2，m＝﹣5， ∴原式＝3（m﹣）+2m ＝3×2+2×（﹣5） ＝6 10 ﹣ ＝﹣4， 故答为：﹣4． 【题型2 利用整体思想配系数求值】 【例2】（2022 春•赣榆区期末）已知代数式3x2 4 ﹣x 6 ﹣的值是9，则代数式x 2−4 3 x+2的 值是 7 ． 【分析】将代数式适当变形利用整体代入的方法解答即可． 【解答】解：∵3x2 4 ﹣x 6 ﹣＝9， 3 ∴x2 4 ﹣x＝15． ∴x2−4 3 x＝5， ∴原式¿ x 2−4 3 x+2 ＝5+2 ＝7． 故答为：7． 【变式2-1】（2022•德城区校级开学）若x 5 ﹣y＝7 时，则代数式3 2 ﹣x+10y 的值为（ ） ．17 B．11 ．﹣11 D．10 【分析】根据x 5 ﹣y＝7，对要求的代数式进行变形，整体代入即可求得结果． 1 【解答】解：原式＝3 2 ﹣x+10y ＝3 2 ﹣（x 5 ﹣y）， 当x 5 ﹣y＝7 时， 原式＝3 2×7 ﹣ ＝﹣11． 故选：． 【变式2-2】（2022 秋•泗洪县期中）当x＝2，y＝﹣4 时，代数式x3+1 2 by+8＝2018，当x ＝﹣4，y¿−1 2时，代数式3x 24 ﹣ by3+6＝ ﹣ 3009 ． 【分析】先将x＝2，y＝﹣4 代入x3+1 2 by+8＝2018，可得出关于，b 的等式，然后再将x ＝﹣4，y¿−1 2代入所求的式子，然后再使用整体代入即可求出所求代数式的值． 【解答】解：将x＝2，y＝﹣4 代入x3+1 2 by+8＝2018，得 8 2 ﹣b＝2010 4 ∴﹣b＝1005 将x＝﹣4，y¿−1 2代入3x 24 ﹣ by3+6 得﹣12+3b+6＝﹣3（4﹣b）+6＝﹣3×1005+6＝﹣3009 【变式2-3】（2022 秋•营山县期中）已知2 5 ﹣b+3＝2021，则10b 2 ﹣ 2+3 的值为（ ） ．4042 B．﹣4042 ．﹣4039 D．﹣4033 【分析】将代数式适当变形，利用整体代入的方法解答即可． 【解答】解：∵2 5 ﹣b+3＝2021， ∴2 5 ﹣b＝2018， ∴原式＝10b 2 ﹣ 2+3 ＝﹣2（2 5 ﹣b）+3 ＝﹣2×2018+3 ＝﹣4033． 故选：D． 【题型3 利用整体思想的奇次项为相反数求值】 【例3】（2022 秋•威县期中）已知当x＝1 时，多项式x3+bx+2022 的值为2023；则当x＝ ﹣1 时，多项式x3+bx+2022 的值为（ ） ．2024 B．2022 ．2021 D．2019 【分析】将x＝1 代入多项式，得到关于，b 的关系式，再将x＝﹣1 代入后适当变形利 1 用整体代入的方法解答即可． 【解答】解：∵当x＝1 时，多项式x3+bx+2022 的值为2023， + ∴b+2022＝2023． + ∴b＝1． ∴当x＝﹣1 时， x3+bx+2022 ＝﹣﹣b+2022 ＝﹣（+b）+2022 ＝﹣1+2022 ＝2021． 故选：． 【变式3-1】（2022 秋•义马市期中）当x＝5 时，代数式x5+bx3+x 8 ﹣的值为6，则当x＝﹣ 5 时，代数式x5+bx3+x 8 ﹣的值为 ﹣ 22 ． 【分析】根据题意，可得：55+53b+5 8 ﹣＝6，所以3125+125b+5＝14，据此求出当x＝﹣ 5 时，代数式x5+bx3+x 8 ﹣的值为多少即可． 【解答】解：∵当x＝5 时，x5+bx3+x 8 ﹣＝6， 5 ∴ 5+53b+5 8 ﹣＝6， 3125+125 ∴ b+5＝14， ∴当x＝﹣5 时， x5+bx3+x 8 ﹣ ＝﹣55 5 ﹣ 3b 5 8 ﹣﹣ ＝﹣3125 125 ﹣ b 5 8 ﹣﹣ ＝﹣（3125+125b+5）﹣8 ＝﹣14 8 ﹣ ＝﹣22． 故答为：﹣22． 【变式3-2】（2022 秋•麦积区期末）当x＝3 时，代数式px5+qx3+1 的值为2022，则当x＝ ﹣3 时，代数式px5+qx3+1 的值为： ﹣ 2020 ． 【分析】先把3 代入代数式，得到35p+33q＝2021．再把﹣3 代入，利用整体代入的思想 求解即可． 【解答】解：∵当x＝3 时，代数式px5+qx3+1 的值为2022， 3 ∴ 5p+33q+1＝2022． 3 ∴ 5p+33q＝2021． 当x＝﹣3 时，代数式px5+qx3+1 1 ＝（﹣3）5p+（﹣3）3q+1 ＝﹣35p 3 ﹣ 3q+1 ＝﹣（35p+33q）+1 ＝﹣2021+1 ＝﹣2020． 【变式3-3】（2022 春•高州市月考）当x＝﹣2005 时，代数式x2005+bx2003 1 ﹣的值是2005， 那么当x＝2005 时，代数式x2005+bx2003 1 ﹣的值是 ﹣ 2007 ． 【分析】由题意可得20052005+20052003b＝﹣2006，把x＝2005 时代入代数式x2005+bx2003﹣ 1 得20052005+20052003b 1 ﹣，再把20052005+20052003b＝﹣2006 代入计算即可得出结果． 【解答】解：∵当x＝﹣2005 时，代数式x2005+bx2003 1 ﹣的值是2005， ∴（﹣2005）2005+（﹣2005）2003b 1 ﹣＝2005， 2005 ∴﹣ 2005 2005 ﹣ 2003b＝2006， 2005 ∴ 2005+20052003b＝﹣2006， ∴当x＝2005 时， x2005+bx2003 1 ﹣ ＝20052005+20052003b 1 ﹣ ＝﹣2006 1 ﹣ ＝﹣2007， 故答为：﹣2007． 【题型4 利用整体思想赋值求值】 【例4】（2022•新乐市一模）如果（x−1 2 ）3＝x3+bx2+x+d，则+b++d＝ 1 8 ． 【分析】令x＝1，则x2+bx2+x+d＝+b++d，然后把x＝1 代入（x−1 2 ）3，求出+b++d 的 值是多少即可． 【解答】解：令x＝1， 则x3+bx2+x+d＝+b++d， + ∴b++d ＝（1−1 2 ）3 ¿( 1 2 ) 3 ¿ 1 8 1 故答为：1 8． 【变式4-1】（2022 秋•桐城市校级期末）已知（﹣2x+1）5＝5x5+4x4+3x3+2x2+1x+0是关于x 的 恒等式（即x 取任意值时等式都成立），则1+2+3+4+5＝ ﹣ 2 ． 【分析】令x＝0 和x＝1 得到两个等式，即可求出所求． 【解答】解：当x＝0 时，0＝1； 当x＝1 时，5+4+3+2+1+0＝﹣1， 则5+4+3+2+1＝﹣2， 故答为：﹣2 【变式4-2】（2022 秋•海州区期中）已知多项式x2009+bx2007+x2005+dx2003 3 ﹣，当x＝﹣1 时， 多项式的值为17，则当x＝1 时，多项式x2009+bx2007+x2005+dx2003 3 ﹣的值是 ﹣ 23 ． 【分析】把x＝﹣1 代入上述多项式，可得+b++d 的值，再把x＝1 代入该多项式，可求 出多项式的值． 【解答】解：当x＝﹣1 时， 多项式＝﹣﹣b﹣﹣d 3 ﹣＝17， + ∴b++d＝﹣20， ∴当x＝1 时，原式＝+b++d 3 ﹣＝﹣20 3 ﹣＝﹣23． 故答为：﹣23． 【变式4-3】（2022 春•安丘市月考）特殊值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未 知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答的一种方法．例如： 已知：4x4+3x3+2x2+1x+0＝6x，则： （1）取x＝0 时，直接可以得到0＝0； （2）取x＝1 时，可以得到4+3+2+1+0＝6； （3）取x＝﹣1 时，可以得到4﹣3+2﹣1+0＝﹣6． （4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到24+22+20＝0，结合（1）0＝0 的结论，从 而得出4+2＝0． 请类比上例，解决下面的问题： 已知6（x 1 ﹣）6+5（x 1 ﹣）5+4（x 1 ﹣）4+3（x 1 ﹣）3+2（x 1 ﹣）2+1（x 1 ﹣）+0＝4x， 求（1）0的值； （2）6+5+4+3+2+1+0的值； （3）6+4+2的值． 【分析】（1）观察等式可发现只要令x＝1 即可求出 （2）观察等式可发现只要令x＝2 即可求出6+5+4+3+2+1+0的值． （3）令x＝0 即可求出等式①，令x＝2 即可求出等式②，两个式子相加即可求出来． 1 【解答】解：（1）当x＝1 时，0＝4×1＝4； （2）当x＝2 时，可得6+5+4+3+2+1+0＝4×2＝8； （3）当x＝0 时，可得6﹣5+4﹣3+2﹣1+0＝0①， 由（2）得得6+5+4+3+2+1+0＝4×2＝8②； + ①②得：26+24+22+20＝8， 2 ∴（6+4+2）＝8 2×4 ﹣ ＝0， ∴6+4+2＝0． 【题型5 利用整体思想拆分某项构造整体求值】 【例5】（2022 秋•桐柏县月考）若x+y＝2，﹣y+z＝﹣4，则2x﹣y+3z 的值是 ﹣ 8 ． 【分析】原式进行变形后，利用整体思想代入求值． 【解答】解：原式＝2x+2y 3 ﹣y+3z ＝2（x+y）+3（﹣y+z）， ∵x+y＝2，﹣y+z＝﹣4， ∴原式＝2×2+3×（﹣4） ＝4 12 ﹣ ＝﹣8， 故答为：﹣8． 【变式5-1】（2022 秋•蔡甸区期中）已知m2+m＝﹣2，3m+2＝﹣9，则2m2+11m+32的值是 （ ） ．﹣27 B．﹣31 ．﹣4 D．﹣23 【分析】把所给的式子进行整理，使其含有已知条件的形式，整体代入运算即可． 【解答】解：∵m2+m＝﹣2，3m+2＝﹣9， 2 ∴m2+11m+32 ＝2m2+2m+9m+32 ＝2（m2+m）+3（3m+2） ＝2×（﹣2）+3×（﹣9） ＝﹣4+（﹣27） ＝﹣31． 故选：B． 【变式5-2】（2022 秋•鼓楼区校级期末）2+b＝3，b﹣b2＝6，则2+3b 2 ﹣b2＝ 15 ． 【分析】原式进行变形后，利用整体思想代入求值． 【解答】解：原式＝2+b+2b 2 ﹣b2， ∵2+b＝3，b﹣b2＝6， ∴原式＝2+b+2（b﹣b2）＝3+2×6＝3+12＝15， 1 故答为：15． 【变式5-3】（2022 秋•铁锋区期中）已知2+2b＝﹣10，b2+2b＝16，则2+4b+b2+5＝ 11 ． 【分析】将原式变形为2+2b+b2+2b+5，然后利用整体思想代入求值即可． 【解答】解：原式＝2+2b+b2+2b+5， ∵2+2b＝﹣10，b2+2b＝16， ∴原式＝﹣10+16+5＝11， 故答为：11． 【题型6 多次利用整体思想构造整体求值】 【例6】（2022 秋•郾城区期末）若x，y 二者满足等式x2 2 ﹣x＝2y﹣y2，且xy¿ 1 2，则式子 x2+2xy+y2 2 ﹣（x+y）+2020 的值为（ ） ．2019 B．2020 ．2021 D．2022 【分析】整理已知和要求值式子，然后整体代入得结论． 【解答】解：∵x2 2 ﹣x＝2y﹣y2，xy¿ 1 2 ∴x2 2 ﹣x+y2 2 ﹣y＝0，2xy＝1． ∴x2+2xy+y2 2 ﹣（x+y）+2020 ＝x2+2xy+y2 2 ﹣x 2 ﹣y+2020 ＝x2 2 ﹣x+y2 2 ﹣y+2xy+2020． ＝0+1+2020 ＝2021． 故选：． 【变式6-1】（2022•盐亭县模拟）若﹣b＝2，3+2b＝3，则3（﹣b）+2b（﹣b）＝ 6 ． 【分析】把﹣b＝2，代入化简后，再将3+2b＝3 代入整式即可得出答． 【解答】解：∵﹣b＝2，3+2b＝3， 3×2+2 ∴ b×2＝2（3+2b）＝2×3＝6． 【变式6-2】（2022 秋•常州期末）已知xy+x＝﹣6，y﹣xy＝﹣2，求代数式2[x+（xy﹣y） 2] 3[ ﹣ （xy﹣y）2﹣y]﹣xy 的值． 【分析】原式已知等式整理求出各自的值，原式化简后代入计算即可求出值． 【解答】解：∵y﹣xy＝﹣2，xy+x＝﹣6， ∴xy﹣y＝2，x+y＝xy+x+y﹣xy＝﹣8， 则原式＝2x+2（xy﹣y）2 3 ﹣（xy﹣y）2+3y﹣xy ＝2x+3y﹣xy﹣（xy﹣y）2 1 ＝2（x+y）+（y﹣xy）﹣（xy﹣y）2 ＝﹣16+（﹣2）﹣4 ＝﹣22． 【变式6-3 】（2022• 苏州自主招生）已知是实数，并且2 2020+4 ﹣ ＝0 ，则代数式 a 2−2019a+ 8080 a 2+4 +4的值是（ ） ．2019 B．2020 ．2021 D．2022 【分析】根据已知可得2+4＝2020，然后代入式子进行计算，即可解答． 【解答】解：∵2 2020+4 ﹣ ＝0， ∴2+4＝2020， ∴a 2−2019a+ 8080 a 2+4 +4 ＝2 2019 ﹣ +8080 2020a +¿4 ＝2+4 2019 ﹣ +4 a ＝2020 2019 ﹣ +4 a ＝+4 a ¿ a 2+4 a ¿ 2020a a ＝2020， 故选：B． 1