108 整体代入法

整体代入法 【规律总结】 整体代入法，在求代数式值中应用 求代数式的值最常用的方法，即把字母所表示的数 值直接代入，计算求值。 有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难 求出字母的值或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入， 求值时方便又快捷，这种整体代入的技法经常用到。 【典例分析】 例1、在矩形BD 内，将两张边长分别为和b(a>b)的正方形纸片按图1，图2 两种方式 放置(图1，图2 中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部 分用阴影表示，设图1 中阴影部分的面积为S1，图2 中阴影部分的面积为S2.当 AD−AB=2时，S2−S1的值为() 2 B 2b 2a−2b D −2b 【答】B 【解析】解：S1=( AB−a)⋅a+(CD−b)( AD−a)=( AB−a)⋅a+( AB−b)( AD−a)， S2=AB( AD−a)+(a−b)( AB−a)， ∴S2−S1=AB( AD−a)+(a−b)( AB−a)−( AB−a)⋅a−( AB−b)( AD−a) ¿( AD−a)( AB−AB+b)+( AB−a)(a−b−a) ¿b⋅AD−ab−b⋅AB+ab=b( AD−AB)=2b． 故选：B． 利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差． 本题考查了整式的混合运算：“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可 使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号 括起来．也考查了正方形的性质． 例2、若m 是方程2 x 2−3 x−1=0的一个根，则6m 2−9m+2015的值为______． 【答】2018 【解析】解：由题意可知：2m 2−3m−1=0， ∴2m 2−3m=1 ∴原式¿3(2m 2−3m)+2015=2018 故答为：2018 根据一元二次方程的解的定义即可求出答． 本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于 基础题型． 例3、解下列各题： (1)若满足(n−2023)(2021−n)=−6，求(n−2023) 2+(2021−n) 2的值． (2)已知：m 2=n+2，n 2=m+2(m≠n)，求：m 3−2mn+n 3的值． 【答】解：(1)∵(n−2023)(2021−n)=−6， ∴原式¿(n−2023+2021−n) 2−2(n−2023)(2021−n) ¿(−2) 2−2×(−6) ¿4+12 ¿16； (2)∵m 2=n+2 ① ，n 2=m+2(m≠n)②， ∴m 2−n=2，n 2−m=2， ∵m≠n， ∴m−n≠0， ∴①−②得 m 2−n 2=n−m ∴(m−n)(m+n)=−(m−n)， ∵m−n≠0， ∴m+n=−1 ∴原式¿m 3−mn−mn+n 3 ¿m(m 2−n)+n(n 2−m) ¿2m+2n ¿2(m+n) ¿2×(−1) ¿−2． 【解析】本题主要考查的是代数式求值，完全平方公式，运用了整体代入法的有关知识． (1)将给出的代数式进行变形为(n−2023+2021−n) 2−2(n−2023)(2021−n)，然后整 体代入求值即可； (2)先根据m 2=n+2，n 2=m+2(m≠n)，求出m+n=−1，然后将给出的代数式进行变形， 最后整体代入求解即可． 【好题演练】 一、选择题 1. 已知a+b=1 2，则代数式2a+2b−3的值是() 2 B −2 −4 D −3 1 2 【答】B 【解析】解：∵2a+2b−3=2(a+b)−3， ∴将a+b=1 2代入得：2× 1 2−3=−2 故选：B． 注意到2a+2b−3只需变形得2(a+b)−3，再将a+b=1 2，整体代入即可 此题考查代数式求值的整体代入，只需通过因式解进行变形，再整体代入即可． 2. 若α、β为方程2 x 2−5 x−1=0的两个实数根，则2α 2+3αβ+5 β的值为( ) −13 B 12 14 D 15 【答】B 【解析】 【分析】 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程a x 2+bx+c=0(a≠0)的两根时， x1+x2=−b a ，x1 x2= c a .也考查了一元二次方程解的定义． 根据一元二次方程解的定义得到2α 2−5α−1=0，即2α 2=5α+1，则2α 2+3αβ+5 β可表 示为5(α+β)+3αβ+1，再根据根与系数的关系得到α+β=5 2，αβ=−1 2 ，然后利用整体 代入的方法计算． 【解答】 解：∵α为2 x 2−5 x−1=0的实数根， ∴2α 2−5α−1=0，即2α 2=5α+1， ∴2α 2+3αβ+5 β=5α+1+3αβ+5 β=5(α+β)+3αβ+1， ∵α、β为方程2 x 2−5 x−1=0的两个实数根， ∴α+β=5 2，αβ=−1 2 ， ∴2α 2+3αβ+5 β=5× 5 2 +3×(−1 2 )+1=12． 故选B． 3. 如果a 2+2a−1=0，那么代数式(a−4 a ). a 2 a−2的值是() −3 B −1 1 D 3 【答】 【解析】 【分析】 本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据a 2+2a−1=0，可以得到 a 2+2a=1，从而可以求得所求式子的值． 【解答】 解：(a−4 a )⋅a 2 a−2=a 2−4 a ⋅a 2 a−2=(a+2)(a−2) a ⋅a 2 a−2=a 2+2a， 由a 2+2a−1=0得a 2+2a=1，故原式¿1． 故选． 4. 已知1 x −1 y =3，则代数式2 x+3 xy−2 y x−xy−y 的值是() −7 2 B −11 2 9 2 D 3 4 【答】D 【解析】解：∵1 x −1 y =3， ∴y−x xy =3， ∴x−y=−3 xy， 则原式¿ 2( x−y)+3 xy ( x−y)−xy ¿ −6 xy+3 xy −3 xy−xy ¿ −3 xy −4 xy ¿ 3 4 ， 故选：D． 由1 x −1 y =3得出y−x xy =3，即x−y=−3 xy，整体代入原式¿ 2( x−y)+3 xy ( x−y)−xy ，计算可得． 本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则和整体代入思想的运用． 5. 已知x1，x2是方程x 2−3 x−2=0的两根，则x1 2+x2 2的值为() 5 B 10 11 D 13 【答】D 【解析】 【分析】 本题考查了完全平方公式以及根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程 a x 2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−b a ，x1 x2= c a，利用根与系数的关系得到 x1+x2=3，x1 x2=−2，再利用完全平方公式得到x1 2+x2 2=( x1+x2) 2−2 x1 x2，然后利用整 体代入的方法计算． 【解答】 解：根据题意得x1+x2=3，x1 x2=−2， 所以x1 2+x2 2=( x1+x2) 2−2 x1 x2=3 2−2×(−2)=13． 故选：D． 6. 小慧去花店购买鲜花，若买5 支玫瑰和3 支百合，则她所带的钱还剩下10 元；若买3 支玫瑰和5 支百合，则她所带的钱还缺4 元．若只买8 支玫瑰，则她所带的钱还剩下 () 31 元 B 30 元 25 元 D 19 元 【答】 【解析】 【分析】 本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设每支玫瑰x 元，每支百合y 元，根据总价¿单价×数量结合小慧带的钱数不变，可得出关 于x，y 的二元一次方程，整理后可得出y=x+7，再将其代入5 x+3 y+10−8 x中即可求 出结论． 【解答】 解：设每支玫瑰x 元，每支百合y 元， 依题意，得：5 x+3 y+10=3 x+5 y−4， ∴y=x+7， ∴5 x+3 y+10−8 x=5 x+3( x+7)+10−8 x=31． 故选． 二、填空题 7. 已知ab=a+b+1，则(a−1)(b−1)=¿______． 【答】2 【解析】 【分析】 本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及整体代入思想 的运用，属于基础题． 将ab=a+b+1代入原式¿ab−a−b+1，合并即可得． 【解答】 解：当ab=a+b+1时， 原式¿ab−a−b+1 ¿a+b+1−a−b+1 ¿2， 故答为：2． 8. 将抛物线y=a x 2+bx−1向上平移3 个单位长度后，经过点(−2,5)，则8a−4 b−11 的值是______． 【答】 −5 【解析】解：将抛物线y=a x 2+bx−1向上平移3 个单位长度后， 表达式为：y=a x 2+bx+2， ∵经过点(−2,5)，代入得：4 a−2b=3， 则8a−4 b−11=2(4 a−2b)−11=2×3−11=−5， 故答为：−5． 根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点(−2,5)代入，得到4 a−2b=3，最后将 8a−4 b−11变形求值即可． 本题考查了二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得出平移后的 表达式． 9. 若a+b=1，则a 2−b 2+2b−2=¿______． 【答】−1 【解析】解：∵a+b=1， ∴a 2−b 2+2b−2 ¿(a+b)(a−b)+2b−2 ¿a−b+2b−2 ¿a+b−2 ¿1−2 ¿−1． 故答为：−1． 由于a+b=1，将a 2−b 2+2b−2变形为a+b的形式，整体代入计算即可求解． 本题考查了平方差公式，注意整体思想的应用． 10. 若实数x 满足x 2−2 x−1=0，则2 x 3−7 x 2+4 x−2017=¿______． 【答】−2020 【解析】 【分析】 把−7 x 2分解成−4 x 2与−3 x 2相加，然后把所求代数式整理成用x 2−2 x表示的形式，然后 代入数据计算求解即可．本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件 的形式是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要． 【解答】 解：∵x 2−2 x−1=0， ∴x 2−2 x=1， 2 x 3−7 x 2+4 x−2017 ¿2 x 3−4 x 2−3 x 2+4 x−2017， ¿2 x( x 2−2 x)−3 x 2+4 x−2017， ¿6 x−3 x 2−2017， ¿−3( x 2−2 x)−2017 ¿−3−2017 ¿−2020， 故答为−2020． 11. 已知|x−y+2|+❑ √x+ y−2=0，则x 2−y 2的值为________． 【答】−4 【解析】 【分析】 本题考查了非负数的性质，解题关键是掌握几个非负数的和等于0，那么这几个非负数都 等于0.由非负数的性质得出x、y 的值，再代入所求代数式求解即可． 【解答】 解：∵|x−y+2|+❑ √x+ y−2=0， ∴x−y+2=0，x+ y−2=0， 即x−y=−2，x+ y=2， ∴x 2−y 2=( x+ y)( x−y)=2× (−2)=−4， 故答为−4． 12. 已知m+n=3mn，则1 m + 1 n的值为______． 【答】3 【解析】 【试题解析】 【分析】 本题考查了分式的化简求值，利用通分将原式变形为m+n mn 是解题的关键． 原式通分后可得出m+n mn ，代入m+n=3mn即可求出结论． 【解答】 解：原式¿ 1 m + 1 n=m+n mn ， 又∵m+n=3mn， ∴原式¿ m+n mn =3． 故答为：3． 三、解答题 13. 已知x= 1 ❑ √2+1，y= 1 ❑ √2−1，分别求下列代数式的值； (1)x 2+ y 2； (2) y x + x y ． 【答】解：(1)∵x= 1 ❑ √2+1=❑ √2−1，y= 1 ❑ √2−1=❑ √2+1， ∴x−y=−2，xy=2−1=1， ∴x 2+ y 2=( x−y) 2+2 xy=(−2) 2+2×1=6； (2)∵x 2+ y 2=6，xy=1， ∴原式¿ x 2+ y 2 xy =6 1=6． 【解析】本题考查二次根式的化简求值，分母有理化，解题的关键是运用完全平方公式以 及整体思想，本题属于基础题型． (1)先将x、y 进行分母有理化，得到x=❑ √2−1，y=❑ √2+1，再求出x−y与xy 的值，然后 根据完全平方公式得出x 2+ y 2=( x−y) 2+2 xy，再整体代入即可； (2)将所求式子变形为x 2+ y 2 xy ，再整体代入即可． 14. 阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组{ x−y−1=0,① 4( x−y)−y=5.② 由①得x−y ③，把③代入②，得4×1−y=5． 解得y=−1． 把y=−1代入③，得x=0． ∴{ x=0 y=−1 这种方法称为“整体代入法”.你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用 这种方法解方程组{ 2 x−3 y−2=0,① 2 x−3 y+5 7 +2 y=9．②． 【答】解：由①得：2 x−3 y=2 ③ ， 将③代入②得：1+2 y=9，即y=4， 将y=4代入③得：x=7， 则方程组的解为{ x=7 y=4． 【解析】由第一个方程求出2 x−3 y的值，代入第二个方程求出y 的值，进而求出x 的值， 即可确定出方程组的解． 此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消 元法． 15. 阅读材料，善于思考的小军在解方程组{ 2 x+5 y=3 ① 4 x+11 y=5 ② 时，采用了一种“整体代换” 的解法： 解：将方程②变形：4 x+10 y+ y=5 即2(2 x+5 y)+ y=5 ③ 把方程①代入③得2×3+ y=5 ∴y=−1 把y=−1代入①得x=4 ∴方程组的解为{ x=4 y=−1 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程组{ 3 x−2 y=5① 9 x−4 y=19② (2)已知x、y 满足方程组{ 5 x 2−2 xy+20 y 2=82 2 x 2−xy+8 y 2=32 ，求x 2+4 y 2的值； 【答】解：(1)由②得：3 x+6 x−4 y=19，即3 x+2(3 x−2 y)=19③ ， 把①代入③得：3 x+10=19，即x=3， 把x=3代入①得：y=2， 则方程组的解为{ x=3 y=2； (2)由5 x 2−2 xy+20 y 2=82得：5( x 2+4 y 2)−2 xy=82，即x 2+4 y 2=82+2 xy 5 ， 由2 x 2−xy+8 y 2=32得：2( x 2+4 y 2)−xy=32，即2× 82+2 xy 5 −xy=32， 整理得：xy=4， ∴x 2+4 y 2=82+2 xy 5 =82+8 5 =18． 【解析】此题考查了解二元一次方程组，弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的 关键． (1)模仿小军的“整体代换”法，求出方程组的解即可； (2)方程组第一个方程变形表示出x 2+4 y 2，第二个方程变形后代入求出xy 的值，进而求出 x 2+4 y 2的值． 16. (1)已知x 3⋅x a⋅x 2a+1=x 31求的值； (2)若为正整数，且x 2n=4，求(3 x 3n) 2−4⋅( x 2) 2n的值。 【答】解：(1)∵x 3⋅x a⋅x 2a+1=x 31， ∴3+a+2a+1=31， 解得a=9； (2)∵x 2n=4， ∴(3 x 3n) 2−4·( x 2) 2n ¿9 x 6n−4 x 4n ¿9( x 2n) 3−4( x 2n) 2 ¿9×4 3−4×4 2 ¿512． 【解析】本题考查的是同底数幂的乘法以及幂的乘方和积的乘方运算，掌握运算法则是解 题关键． (1)根据同底数幂的乘法的运算法则得到3+a+2a+1=31，解出的值即可； (2)先根据积的乘方运算得到9 x 6n−4 x 4n，然后由幂的乘方的逆运算得到 9( x 2n) 3−4( x 2n) 2，再把x 2n=4代入计算即可． 17. 阅读理解： 例题：已知实数x 满足x+ 1 x =4，求分式 x x 2+3 x+1的值． 解：∵x+ 1 x =4． ∴ x x 2+3 x+1的倒数x 2+3 x+1 x =x+ 1 x +3=4+3=7 ∴ x x 2+3 x+1 =1 7 (1)已知实数满足a+ 1 a=5，求分式 a 3a 2+5a+3的值． (2)已知实数b 满足b+ 1 b+1=9，求分式 b+1 b 2+5b+5的值． 【答】解：(1)∵a+ 1 a=5， ∴3a 2+5a+3 a =3a+5+ 3 a=3(a+ 1 a )+5=15+5=20， ∴ a 3a 2+5a+3 = 1 20； (2)∵b+ 1 b+1=9， ∴b+1≠0，即b≠−1， ∴b+1+ 1 b+1=10， ∵b 2+5b+5 b+1 =(b+1) 2+3(b+1)+1 b+1 =b+1+ 1 b+1 +3=10+3=13， ∴ b+1 b 2+5b+5 = 1 13． 【解析】此题考查了分式的值，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键． (1)原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值； (2)原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值． 18. 我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等 式.例如图1 可以得到(a+2b)(a+b)=a 2+3ab+2b 2.请解答下列问题： (1)写出图2 中所表示的数学等式； (2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38， 求a 2+b 2+c 2的值； (3)小明同学又用x 张边长为的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张边长分别为、b 的 长方形纸片拼出了一个面积为(11a+7b)(8a+12b)长方形，那么x+ y+z=¿___． 【答】解：(1)(a+b+c) 2=a 2+b 2+c 2+