专题15 有理数的乘方【十大题型】 【人版】 【题型1 有理数乘方的概念】.................................................................................................................................1 【题型2 乘方的运算】................ ............... 3 【题型3 偶次乘方的非负性】.................................................................................................................................4 【题型4 含乘方的混合运算】..................... ..................6 【题型5 含乘方的程序图运算】.............................................................................................................................8 【题型6 含乘方的数字及图形规律问题】.................

专题15 有理数的乘方【十大题型】 【人版】 【题型1 有理数乘方的概念】.................................................................................................................................1 【题型2 乘方的运算】................ ............... 2 【题型3 偶次乘方的非负性】.................................................................................................................................2 【题型4 含乘方的混合运算】..................... ..................3 【题型5 含乘方的程序图运算】.............................................................................................................................4 【题型6 含乘方的数字及图形规律问题】.................

类型一、比较大小 例．已知 ，则、b、的大小关系为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】逆运用幂的乘方法则，把、b、都写成一个数的8 次方的形式，比较底数得结论． 【详解】解 : , 故选：B 【点睛】本题考查了整式的运算，掌握幂的乘方法则是解决本题的关键． 【变式训练1】．已知 均为负数， ， ，则 与 的大小关系是（ ） ． B． ． D．无法确定 ∴ ． 故选：． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，解答本题关键是掌握幂的乘方法则，把各数的指 数变成相同． 【变式训练3】340 430 （ 填“＞”“＜”或“=”） 【答】＞ 【详解】因340=（34）10=8110，430=（43）10=6410，81＞64，可得8110＞6410，所以340＞430． 点睛：此题考查了幂的乘方．解此题的关键是将将340与430 变形为同指数的幂． D． 【答】 【分析】利用同底数幂乘法、幂的乘方等法则进行计算，即可得出答． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ， 故选：． 【点睛】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方等知识点，熟练掌握相关运算法则以及逆运 算是解本题的关键． 【变式训练1】．已知 ，则 ． 【答】1． 【分析】利用幂的乘方与同底数幂相乘，得到2+1＝2×2＝6，3b+1＝3b×3＝6，进而得到

计算方法是解题的关键． 例2．（乘方运算）计算 的结果是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】根据乘方的意义进行简便运算，再根据有理数乘法计算即可． 【详解】解： ， = = ， = ， = ， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练依据乘方的意义进行简便运算， 准确进行计算． 例3．（含乘方的混合运算）计算： (1) ； (2) 【点睛】本题考查有理数的混合运算，正确掌握运算法则计算是解题的关键． 例4（含绝对值、乘方的混合运算）计算： (1) ； (2) ． 【答】9 【分析】首先计算乘方，然后进行乘法运算，最后进行加减即可； 【详解】原式 ； 【点睛】本题考查的是有理数的运算能力．注意：要正确掌握运算顺序，即乘方运算（和 以后学习的开方运算）叫做三级运算；乘法和除法叫做二级运算；加法和减法叫做一级运 （6）根据有理数的乘法分配律计算，即可； （7）先计算乘方，再计算乘除，然后计算加减，即可； （8）先计算括号内的，再计算括号外的，即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算顺序：先算乘方， 再算乘除，最后算加减；同级运算

..................13 【知识点1 幂的运算】 ①同底数幂的乘法：m·=m+。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 ②幂的乘方：(m)=m。幂的乘方，底数不变，指数相乘。 ③积的乘方：(b)=b。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 ④同底数幂的除法：m÷=m-。同底数幂相除，底数不变，指数相减。 任何不等于0 的数的0 次幂都等于1。 【题型1 【变式1-2】（2022 秋•孝南区月考）计算x5m+3+1÷（x）2•（﹣xm）2的结果是（ ） ．﹣x7m++1 B．x7m++1 ．x7m +1 ﹣ D．x3m++1 【分析】利用同底数幂的乘法运算、幂的乘方以及同底数幂的除法的知识求解即可求得 答． 【解答】解：x5m+3+1÷（x）2•（﹣xm）2＝x5m+3+1÷x2•x2m＝x5m+3+1 2+2 ﹣ m＝x7m++1． 故选：B． 【变式1-3】（2022 幂的运算法则逆用（求代数式的值）】 【例3】（2022 春•巨野县期中）已知：52＝，9＝b，则154＝ 2 b 2 ． 【分析】将15 写成3×5，根据积的乘方得到154＝（3×5）4＝34×54，再根据幂的乘方变 形即可得出答． 【解答】解：∵9＝b， ∴（32）＝b， 3 ∴ 2＝b， 15 ∴ 4 ＝（3×5）4 ＝34×54 ＝（32）2×（52）2 ＝b22

4 )×48； （4）（﹣2）2×3+（﹣3）3÷9． 【分析】（1）先通分，然后根据有理数的加法法则计算即可； （2）根据加法的交换律和结合律解答即可； （3）先算乘方，然后算乘除法，最后算加减法即可； （4）先算乘方，再算乘除法，最后算加法即可． 【解答】解：（1）(−5 1 4 )+(−3.5) ＝（﹣51 4 ）+（﹣32 4 ） ＝﹣83 4 ； （2）2 3 +(−1 3 )÷ 1 36 ； （4）−3 1 6 ×7−3 1 6 ×(−9)+(−19 6 )×(−8)． 【分析】（1）先把减法转化为加法，然后根据有理数的加法法则计算即可； （2）先算乘方和括号内的式子，然后计算括号外的乘除法、最后算加法即可； （3）先把除法转化为乘法、然后根据乘法分配律计算即可； （4）先将带分数化为假分数，然后根据乘法分配律计算即可． 【解答】解：（1）（ 2∨÷(−1 12 )−1 8 ×(−2) 3． 【分析】（1）先把除法统一成乘法，按乘法法则计算即可； （2）利用乘法的分配律计算比较简便； （3）先算乘方，再算绝对值和括号里面的，最后算乘法和加减； （4）先算乘方和绝对值里面的，再算乘除，最后算加减． 【解答】解：（1）（﹣8）×（﹣7）÷（−1 2 ） ＝﹣8×7×2 ＝﹣112； （2）( 2 3−3 4 + 1

【分析】根据合并同类项可判断，根据完全平方公式可判断B，根据单项式除以单项式可 判断，根据积的乘方与幂的乘方运算可判断D，从而可得答． 【详解】解： ， 不是同类项，不能合并，故不符合题意； ，故B 不符合题意； ，故不符合题意； ，故D 符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是合并同类项，完全平方公式的应用，单项式除以单项式，积的乘方 与幂的乘方运算的含义，熟记基础运算法则是解本题的关键． 2．（2023· 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法 则分别计算即可． 【详解】解： 与 不是同类项，不能合并，故选项错误； ，故B 选项正确； ，故选项错误； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ，故D 选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方，熟练掌握 各项运算法则是解题的关键． B． ． D． 【答】D 【分析】 依据绝对值的计算，特殊角的三角函数，积的乘方，同底数幂的除法运算，完全平方公式， 因式分解，逐项计算即可． 【详解】 ，不符合题意 B ，不符合题意 ，不符合题意 D ，符合题意 故选D． 【点睛】 本题考查了绝对值的计算，特殊角的三角函数，积的乘方，同底数幂的除法运算，完全平 方公式，因式分解，解决本题的关键是牢记公式与定义．

（2）二次根式的乘除 乘法法则： ；除法法则： ． （3）二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的 先算括号内的． 在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用． 10．数的乘方：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂在中，叫底数，叫指 数 11．实数的运算： （1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、乘法结合律、 乘法分配律 （2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 12．指数，负整数指数幂：≠0，则0=1；若≠0，为正整数，则 13．数的大小比较常用以下几种方法：数轴比较法、差值比较法、绝对值比较法、乘方比 较法、中间值比较法等等 14、特殊角的三角函数值 的数．解题的关键是关键知道1 亿 =108，要正确确定的值以及的值． 11（2022·四川自贡）下列运算正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据乘方运算，平方差公式，同底数幂的除法法则，零指数幂的运算法则进行运 算即可． 【详解】 ，故错误；B ，故B 正确； ，故错误；D ，故D 错误．故选：B． 【点睛】本题主要考查了整式的运算和实

B 选项，一个有理数的平方是非负数，B 错误； 选项，一个有理数的平方是非负数，错误； D 选项，一个有理数的平方是非负数，D 正确． 故选：D． 解题秘籍：本题考查有理数的分类和有理数的乘方，注意0 不是正数是关键． 4．（2021 秋•启东市校级月考）若＝﹣2×32，b＝（﹣2×3）2，＝﹣（2×4）2，则下列大小关系中正确的是 （ ） ．＞b＞ B．b＞＞ ．b＞＞ D．＞＞b 理数比较大小的法则是解答此题的关键． 5．（2021 秋•海淀区校级期中）计算（﹣2）11﹣（﹣2）10等于（ ） ．﹣2 B．（﹣2）21 ．﹣3×210 D．﹣210 思路引领：根据幂的乘方和合并同类项可以解答本题． 解：（﹣2）11﹣（﹣2）10 ＝（﹣2）11 2 ﹣10 ＝（﹣2）×（﹣2）10﹣（﹣2）10 ＝[（﹣2）﹣1]×（﹣2）10 ＝﹣3×210 故选：． 又∵x＜0，y＞0， ∴x＝﹣2，y＝3， ∴x+y＝﹣2+3＝1． 故答为：1． 解题秘籍：本题主要考查了平方根的意义，根据条件正确确定x，y 的值是解题关键． 知识点二：有理数混合运算顺序 1．先乘方，再乘除，最后加减； 2．同级运算，从左到右进行； 3．如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 9．（2021 秋•海门市校级月考）计算 （1）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13；

【考点1 幂的基本运算】 【例1】（2022·湖南娄底·七年级期末）如果a 2n−1a n+5=a 16，那么n的值为（ ） ．4 B．5 ．6 D．7 【答】 【分析】利用同底数幂的乘方的法则对式子进行整理，即可得到关于的方程，即可求解． 【详解】∵2-1+5=16， ∴2-1++5=16， 即3+4=16， 3+4=16 ∴ ， 解得：=4． 故选：． 【点睛】本题 3m+2n+1的值； （2）若3 x+4 y−3=0，求27 x⋅81 y的值． 【答】（1）1500；（2）27 【分析】（1）先逆用积的乘方和幂的乘方运算法则，然后将已知代入即可解答； （1）先由3 x+4 y−3=0得3x+4y=3，然后逆用积的乘方和幂的乘方运算法则将 【详解】解：（1）∵3 m=5，3 n=2， ∴3 3m+2n+1=(3 m) 3×(3 n) 2×3 1=5 3=27． 【点睛】本题考查了积的乘方和幂的乘方法则的逆用，灵活应用相关运算法则是解答本题 的关键． 【变式1-2】（2022·安徽合肥·七年级期末）已知3 x=4 ,3 y=6,3 z=12，则x、y、z 三者之 间关系正确的是（ ） ．xy=2z B．x+y=2z ．x+2y=2z D．x+2y=z 【答】 【分析】根据幂的乘方和积的乘方运算法则进行计算，从而作出判断．