专题02 有理数运算及应用复习课(课堂学案及配套作业)(解析版)

专题2 《有理数运算及应用》复习导学及配套作业（解析版） 知识点一：有理数的基本计算 1．（2019•新会区一模）如图，数轴上的点，B 分别对应实数，b，下列结论正确的是（ ） ．+b＜0 B．||＞|b| ．+b＞0 D．•b＞0 思路引领：根据数轴确定出、b 的正负情况以及绝对值的大小，然后对各选项分析判断后利用排除法求 解． 解：根据数轴，＜0，b＞0，且||＜|b|， 、应为+b＞0，故本选项错误； B、应为||＜|b|，故本选项错误； 、∵＜0，b＞0，且||＜|b|， ∴+b＞0，故本选项正确； D、应该是•b＜0，故本选项错误． 故选：． 解题秘籍：本题考查了实数与数轴的关系，根据数轴确定出、b 的正负情况以及绝对值的大小是解题的 关键． 2．（如果两个有理数相加的和为正数，积为负数，那么这两个数是（ ） ．都是正数 B．异号，并且正数的绝对值较大 ．都是负数 D．异号，并且负数的绝对值较大 思路引领：根据有理数的乘法法则可得这两个数必定为异号，根据有理数的加法法则：绝对值不等的异 号两数相加，取绝对值较大的加数符号，可得负数的绝对值较大． 解：∵两个有理数积为负数， ∴这两个数必定为异号， 又∵两个有理数相加的和为正数， ∴这两个数正数的绝对值较大， 故选：B． 解题秘籍：此题主要考查了有理数的加法和乘法，关键是熟练掌握两种计算法则． 3．（2021 秋•兴隆台区校级月考）一个有理数的平方一定是（ ） ．正数 B．负数 ．正数或负数 D．非负数 思路引领：根据有理数包括0，正数不包括0，一个有理数的平方是非负数逐个分析即可． 解：由有理数包括0，正数不包括0，一个有理数的平方是非负数可知， 选项，当有理数为0 时，0 的平方是0 不是正数，错误； B 选项，一个有理数的平方是非负数，B 错误； 选项，一个有理数的平方是非负数，错误； D 选项，一个有理数的平方是非负数，D 正确． 故选：D． 解题秘籍：本题考查有理数的分类和有理数的乘方，注意0 不是正数是关键． 4．（2021 秋•启东市校级月考）若＝﹣2×32，b＝（﹣2×3）2，＝﹣（2×4）2，则下列大小关系中正确的是 （ ） ．＞b＞ B．b＞＞ ．b＞＞ D．＞＞b 思路引领：先计算出各数的值，再比较出其大小即可． 解：＝﹣2×32＝﹣18，b＝（﹣2×3）2＝36，＝﹣（2×4）2＝﹣64， ∵ 64 ﹣ ＜﹣18＜36， ∴b＞＞． 故选：． 解题秘籍：本题考查的是有理数的大小比较，熟知有理数比较大小的法则是解答此题的关键． 5．（2021 秋•海淀区校级期中）计算（﹣2）11﹣（﹣2）10等于（ ） ．﹣2 B．（﹣2）21 ．﹣3×210 D．﹣210 思路引领：根据幂的乘方和合并同类项可以解答本题． 解：（﹣2）11﹣（﹣2）10 ＝（﹣2）11 2 ﹣10 ＝（﹣2）×（﹣2）10﹣（﹣2）10 ＝[（﹣2）﹣1]×（﹣2）10 ＝﹣3×210 故选：． 解题秘籍：本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 6．填空： （1）若＞0，b＞0，那么+b 0． （2）若＜0，b＜0，那么+b 0． （3）若＞0，b＜0，且||＞|b|，那么+b 0． （4）若＜0，b＞0，且||＞|b|，那么+b 0． （5）如果b＞0，+b＞0，则 ，b ． 思路引领：原式利用有理数的加法，乘法法则判断即可． 解：（1）若＞0，b＞0，那么+b＞0； （2）若＜0，b＜0，那么+b＜0； （3）若＞0，b＜0，且||＞|b|，那么+b＞0； （4）若＜0，b＞0，且||＞|b|，那么+b＜0； （5）如果b＞0，+b＞0，则＞0，b＞0， 故答为：（1）＞；（2）＜；（3）＞；（4）＜；（5）＞0，＞0 解题秘籍：此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7．已知x2＝16，那么x＝ ；如果（﹣）2＝（﹣5）2，那么＝ ． 思路引领：根据平方根的定义，即可解答． 解：∵x2＝16， ∴x＝±4， ∵（﹣）2＝（﹣5）2， ∴2＝25， ∴＝±5， 故答为：±4，±5． 解题秘籍：本题考查了平方根的定义，解决本题的关键是熟记平方根的定义． 8．（2020 秋•固始县期中）如果x＜0，y＞0 且x2＝4，y2＝9，则x+y＝ ． 思路引领：x2＝4 即x 是4 的平方根，因而根据x＜0，y＞0 且x2＝4，y2＝9，就可确定x，y 的值，进而 求解． 解：∵x2＝4，y2＝9， ∴x＝±2，y＝±3， 又∵x＜0，y＞0， ∴x＝﹣2，y＝3， ∴x+y＝﹣2+3＝1． 故答为：1． 解题秘籍：本题主要考查了平方根的意义，根据条件正确确定x，y 的值是解题关键． 知识点二：有理数混合运算顺序 1．先乘方，再乘除，最后加减； 2．同级运算，从左到右进行； 3．如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 9．（2021 秋•海门市校级月考）计算 （1）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13； （2）（﹣05）﹣（﹣31 4 ）+275﹣（+71 2 ）； （3）11 2 × 5 7 −¿（−5 7 ）×21 2 +¿（−1 2 ）÷12 5 ； （4）（−3 8 −1 6 + 3 4 ）×（﹣24）； （5）﹣22÷ 4 3 −¿[22﹣（1−1 2 × 1 3 ）]×12； （6）﹣81÷21 4 ×|−4 9 |﹣（﹣3）3÷27． 思路引领：（1）把减化为加，再计算即可； （2）化为小数，把减化为加，再计算即可； （3）把除化为乘，逆用乘法分配律可算出答； （4）用乘法分配律即可算得答； （5）先算括号内的和乘方，再算乘除，最后算加减； （6）把除化为乘，先算乘方，再算乘法，最后算加减． 解：（1）原式＝﹣20 14+18 13 ﹣ ﹣ ＝﹣29； （2）原式＝﹣05+325+275 75 ﹣ ＝﹣2； （3）原式＝11 2 × 5 7 + 5 7 ×21 2 +¿（−1 2 ）× 5 7 ¿ 5 7 ×（11 2 +¿21 2−1 2 ） ¿ 5 7 × 7 2 ¿ 5 2 ； （4）原式¿−3 8 ×（﹣24）−1 6 ×（﹣24）+3 4 ×（﹣24） ＝9+4 18 ﹣ ＝﹣5； （5）原式＝﹣4× 3 4 −¿（4 1 ﹣+1 6 ）×12 ＝﹣3−19 6 ×12 ＝﹣3 38 ﹣ ＝﹣41； （6）原式＝﹣81× 4 9 × 4 9 −¿（﹣27）÷27 ＝﹣16+1 ＝﹣15． 解题秘籍：本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算的顺序和相关运算法则． 10．（2021 秋•柳城县期中）个体童服装店老板以32 元的价格购进30 件连衣裙，针对不同的顾客，30 件 连衣裙的售价不完全相同，若以47 元为标准价，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则记录结 果如表： 售出数量/件 7 6 3 5 4 5 售价/元 +3 +2 +1 0 1 ﹣ 2 ﹣ 请问：（1）该服装店售完这30 件连衣裙的总销售额是多少？ （2）该服装店售完这30 件连衣裙赚了多少钱？ 思路引领：（1）将各种价格的衬衣销售额相加即可解答； （2）用总销售额减去总进价即可求出答． 解：（1）以47 元为标准价，30 件连衣裙的总增减量为7×（+3）+6×（+2）+3×（+1）+5×0+4×（﹣ 1）+5×（﹣2）＝21+12+3+0 4 10 ﹣﹣ ＝36 14 ﹣ ＝22（元）． 所以总售价为47×30+22＝1432（元）． 答：该服装店老板售完这30 件连衣裙的总销售额是1432 元； （2）1432 32×30 ﹣ ＝1432 960 ﹣ ＝472（元）． 答：该服装店老板售完这30 件连衣裙赚了472 元． 解题秘籍：本题主要考查有理数的混合运算，利用正数跟负数的性质来解决实际生活问题是比较常见的 题型，我们应区分现实生活中正数与负数的意义，根据实际情况来解决问题． 11．（2017 秋•鼓楼区校级期中）探究题：定义：对于实数，符号[]表示不大于的最大整数．例如：[57]＝ 5，[﹣π]＝﹣4 （1）如果[]＝﹣2，那么可以是 ． ．﹣15 B．﹣25 ．﹣35 D．﹣45 （2）如果[ x+1 2 ]＝3，则整数x＝ ． 思路引领：（1）根据新定义解答即可得； （2）由新定义得出3≤x+1 2 ＜4，解之可得答； 解：（1）根据题意知，[]＝﹣2 表示不超过的最大整数， ∴可以是﹣15， 故选：； （2）根据题意得3≤x+1 2 ＜4， 解得：5≤x＜7，则整数x＝5 或6， 故答为：5 或6； 解题秘籍：本题主要考查解一元一次不等式组，理解新定义将方程转化为不等式组求解是解题的关键． 12．（2016 秋•西城区校级期中）阅读理解题： 对于任意由0，1 组成的一列数．将原有的每个1 变成01，并将每个原有的0 变成10 称为一次变换．如 101 经过一次变换成为011001．请你经过思考、操作回答下列问题： （1）将11 变换两次后得到 ； （2）若100101101001 是由某数列两次变换后得到．则这个数列是 ； （3）一个10 项的数列经过两次变换后至少有多少对两个连续相等的数对（即1100）？请证明你的结论； （4）01 经过10 次操作后连续两项都是0 的数对个数有 个． 思路引领：（1）根据变换规则解答即可得； （2）逆用变换规则，反向推理可得答； （3）由0 经过两次变换后得到0110、1 经过两次变换后得到1001 知10 项的数列至少有10 对连续相等 的数对，根据0101010101 经过两次变换后得到0110100101101001…恰有10 对连续相等的数对，得出答； （4）记数列01 为0，k 次变换后数列为k，连续两项都是0 的数对个数为lk，设k中有bk个01 数对，k+1 中的00 数对只能由k中的01 数对得到，可得lk+1＝bk，k+1中的01 数对有2 种产生途径：①由k中的1 得 到；②由k中的00 得，由此得出k 为偶数时，lk关于k 的函数表达式，将k＝10 代入即可得． 解：（1）将11 一次变换得0101，再次变换得10011001， 故答为：10011001； （2）100101101001 一次变换的原数是011001，再次变换的原数是101， 故答为：101； （3）经过两次变换后至少有10 对两个连续相等的数对， ∵0 经过两次变换后得到0110，1 经过两次变换后得到1001， ∴10 项的数列至少有10 对连续相等的数对， 又∵0101010101 经过两次变换后得到0110100101101001…恰有10 对连续相等的数对， ∴一个10 项的数列经过两次变换后至少有10 对两个连续相等的数对； （4）记数列01 为0，k 次变换后数列为k，连续两项都是0 的数对个数为lk， 设k中有bk个01 数对，k+1中的00 数对只能由k中的01 数对得到， ∴lk+1＝bk，k+1中的01 数对有2 种产生途径：①由k中的1 得到；②由k中的00 得到； 根据题意知，k中的0 和1 的个数总是相等，且共有2k+1个， ∴bk+1＝lk+2k， ∴lk+2＝lk+2k， 由0：0、1 可得1：1、0、0、1，2：0、1、1、0、1、0、0、1， ∴l1＝1、l2＝2， 当k≥3 时， 若k 为偶数，lk＝lk 2 ﹣+2k 2 ﹣、lk 2 ﹣＝lk 4 ﹣+2k 4 ﹣、…、l4＝l2+22， 上述各式相加可得lk＝1+22+24+…+2k 2 ﹣ ¿ 1⋅(1−4 k 2 ) 1−4 =1 3 （2k 1 ﹣）， 经检验，k＝2 时也满足lk¿ 1 3 （2k 1 ﹣）， ∴当k＝10 时，l10¿ 1 3 （210 1 ﹣）＝341， 故答为：341． 解题秘籍：本题主要考查数列的变化规律及有理数的运算，解题时要认真审题，注意新定义的准确理解， 解题时要合理地挖掘题设中的隐含条件，恰当地进行等价转化． 《有理数运算及应用复习》配套作业 1．（2021 秋•垦利区期末）下列各数中，数值相等的是（ ） ．（﹣2）3和﹣23 B．﹣|23|和| 2 ﹣3| ．（﹣3）2和﹣32 D．23和32 思路引领：根据有理数乘方的运算法则即可求出答． 解：∵（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8， ∴选项符合题意； ∵ |2 ﹣ 3|＝﹣8，| 2 ﹣3|＝8， ∴选项B 不符合题意； ∵（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9， ∴选项不符合题意； ∵23＝8，32＝9， ∴选项，D 不符合题意； 故选：． 解题秘籍：本题考查了有理数的乘方，掌握有理数乘方的法则是解决问题的关键． 2．（2021 秋•青羊区校级月考）下列计算错误的有（ ）个 （1）（1 2）2¿ 1 4 （2）﹣52＝25（3）4 2 5 =16 25 （4）﹣（−1 7 ）2¿ 1 49（5）（﹣1）9＝﹣1（6）﹣（﹣ 01）3＝0001 ．3 B．4 ．5 D．6 思路引领：根据有理数的乘方的定义进行解答即可 解：（1）（1 2 ）2¿ 1 4 ，正确； （2）﹣52＝﹣25，错误； （3）4 2 5 =16 5 ，错误； （4）﹣（−1 7 ）2¿−1 49 ，错误； （5）（﹣1）9＝﹣1，正确； （6）﹣（﹣01）3＝0001，正确； 故选：． 解题秘籍：本题考查的是有理数的乘方，熟知有理数乘方的法则是解答此题的关键． 3．（2021 秋•建安区期中）一根1m 长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此第九次后 剩下的绳子的长度为（ ） ．( 1 2 ) 6m B．( 1 2 ) 7m ．( 1 2 ) 8m D．( 1 2 ) 9m 思路引领：根据有理数的乘方的意义即可得出答． 解：1×（1 2 ）9＝（1 2 ）9（米）， 故选：D． 解题秘籍：本题考查了有理数的乘方，考查学生的应用意识，解题的关键是掌握几个相同因数的积的运 算叫做乘方． 4．（2019 秋•眉山期中）若m 为正整数，那么1 4 [1−(−1) m](m 2−1)的值（ ） ．一定是零 B．一定是偶数 ．是整数但不一定是偶数 D．不能确定 思路引领：根据有理数的乘方即可求出答． 解：当m 为奇数时， 此时1﹣（﹣1）m＝2， m2 1 ﹣为偶数， 此时原式为偶数， 当m 为偶数时， 此时1﹣（﹣1）m＝0， 此时原式为0， 即m 为正整数时，原式始终为偶数， 故选：B． 解题秘籍：本题考查有理数，解题的关键是熟练运用有理数的乘方运算，本题属于基础题型． 5．（2019 秋•市中区期末）有理数、b 在数轴上的对应的位置如图所示，则下列各式①+b＜0；②﹣b＞0； ③b＞0；④||＞b；⑤1﹣b＞0；⑥+1＞0，一定成立的有（ ） ．3 个 B．4 个 ．5 个 D．6 个 思路引领：先根据、b 在数轴上的位置判断、b 的符号及绝对值的大小，再对各选项进行逐一判断即可． 解：∵由图可知，﹣2＜＜﹣1＜0＜b＜1， ∴+b＜0，故①正确； ﹣b＜0，故②错误； b＜0，故③错误； ||＞b，故④正确； 1﹣b＞0，故⑤正确； +1＜0，故⑥错误． 故选：． 解题秘籍：本题考查的是数轴及绝对值的性质，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键． 6．（2017 秋•江岸区校级期中）已知实数、b、满足（+b）（b+）（+）＝0 且b＜0．则代数式 a ¿a∨¿+ b ¿b∨¿+ c ¿c∨¿¿ ¿ ¿的值是 1 ． 思路引领：根据（+b）（b+）（+）＝0 可得+b＝0 或b+＝0 或+＝0，再由b＜0 得b 中有一个或三个负 数，从而得出答． 解：∵（+b）（b+）（+）＝0， ∴+b＝0 或b+＝0 或+＝0， 即＝﹣b 或b＝﹣或＝﹣； ∵b＜0，且，b，中一定有正数， ∴b 中负因数的个数为1， ∴ a ¿a∨¿+ b ¿b∨¿+ c ¿c∨¿=¿¿ ¿ ¿1； 故答为：1． 解题秘籍：本题考查了代数式的值，绝对值的计算，是基础知识要熟练掌握． 7．（2021•云南模拟）观察下列算式：1×5+4＝32，2×6+4＝42，3×7+4＝52，4×8+4＝62，请你在观察规律 之后并用你得到的规律填空： × + ＝502，第个式子呢？ ． 思路引领：观察一系列等式，归纳总结即可得到结果． 解：∵1×5+4＝32，2×6+4＝42，3×7+4＝52，4×8+4＝62， ∴48×52+4＝502； ∴第个式子为：（+4）+4＝2+4+4＝（+2）2． 故答为：48；52；4；（+4）+4＝（+2）2． 解题秘籍：此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键． 8．（2020 秋•双流区校级期中）一列数1、2、3…其中1¿ 1 2，¿ 1 1−an−1 （为不小于2 的整数），则2020＝（ ） ．1 2 B．2 ．﹣1 D．﹣2 思路引领：分别求出2＝2，3＝﹣1，4¿ 1 2 ，可知这组数的循环规律． 解：由题意，1¿ 1 2，¿ 1 1−an−1 （为不小于2 的整数）， ∴2＝2， 3＝﹣1， 4¿ 1 2 ， ∴1＝4， ∵2020÷3＝673……1， ∴2020＝1¿ 1 2 ， 故选：． 解题秘籍：此题主要考查规律型：数字的变化类，能根据题中提供材料寻找规律方法，熟练的进行计算 是解题的关键． 9．（2005•无锡）一跳蚤在一直线上从点开始，第1 次向右跳1 个单位，紧接着第2 次向左跳2 个单位， 第3 次向右跳3 个单位，第4 次向左跳4 个单位，…，依此规律跳下去，当它跳第100 次落下时，落点 处离点的距离是 个单位． 思路引领：设向右为正，向左为负．根据正负数的意义列出式子计算即可． 解：设向右为正，向左为负．1+（﹣2）+3+（﹣4）+…+（﹣100）＝[1+（﹣2）]+[3+（﹣4）]+… +[99+（﹣100）]＝﹣50． ∴落点处离点的距离是50 个单位． 故答为50． 解题秘籍：此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能 死学． 10．（2021 秋•启东市校级月考）计算下列各题： （1）5 13−¿（+37）+（+8 13 ）﹣（﹣17）； （2）（﹣72）×21 4 ×（−4 9 ）÷（﹣33 5 ）； （3）（2 3−5 6−7 8 + 1 12 ）×（﹣24）； （4）461× 3