专题14.1 幂的运算【八大题型】（解析版）

专题141 幂的运算【八大题型】 【人版】 【题型1 幂的基本运算】.........................................................................................................................................1 【题型2 幂的运算法则逆用（比较大小）】.........................................................................................................2 【题型3 幂的运算法则逆用（求代数式的值）】.................................................................................................. 4 【题型4 幂的运算法则逆用（整体代入）】.........................................................................................................5 【题型5 幂的运算法则逆用（求参）】................................................................................................................. 6 【题型6 幂的运算法则逆用（代数式的表示）】.................................................................................................. 8 【题型7 幂的运算法则（混合运算）】............................................................................................................... 10 【题型8 幂的运算法则（新定义问题）】...........................................................................................................13 【知识点1 幂的运算】 ①同底数幂的乘法：m·=m+。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 ②幂的乘方：(m)=m。幂的乘方，底数不变，指数相乘。 ③积的乘方：(b)=b。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 ④同底数幂的除法：m÷=m-。同底数幂相除，底数不变，指数相减。 任何不等于0 的数的0 次幂都等于1。 【题型1 幂的基本运算】 【例1】（2022•谷城县二模）下列各选项中计算正确的是（ ） ．m2﹣＝2 B．2（﹣b2）3＝﹣23b6 ．（﹣m）2m4＝m8 D．x 6 y x 2 =x 3 y 【分析】根据实数的运算法则计算各个选项得出结论即可． 【解答】解：．m2﹣＝（m2 1 ﹣），故选项不符合题意； B2（﹣b2）3＝﹣23b6，故B 选项符合题意； ．（﹣m）2m4＝m6，故选项不符合题意； D x 6 y x 2 =x 4 y，故D 选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】（2022 秋•南陵县期末）( 5 12 ) 2005×(2 2 5 ) 2004=¿（ ） 1 ．1 B．5 12 ．22 5 D．( 5 12 ) 2003 【分析】根据x•y＝（xy），进行运算即可． 【解答】解：原式＝（5 12 × 12 5 ）2004× 5 12 ¿ 5 12． 故选：B． 【变式1-2】（2022 秋•孝南区月考）计算x5m+3+1÷（x）2•（﹣xm）2的结果是（ ） ．﹣x7m++1 B．x7m++1 ．x7m +1 ﹣ D．x3m++1 【分析】利用同底数幂的乘法运算、幂的乘方以及同底数幂的除法的知识求解即可求得 答． 【解答】解：x5m+3+1÷（x）2•（﹣xm）2＝x5m+3+1÷x2•x2m＝x5m+3+1 2+2 ﹣ m＝x7m++1． 故选：B． 【变式1-3】（2022 秋•温江区校级期末）下列等式中正确的个数是（ ） ①5+5＝10；②（﹣）6•（﹣）3•＝10；③﹣4•（﹣）5＝20；④25+25＝26． ．0 个 B．1 个 ．2 个 D．3 个 【分析】①和④利用合并同类项来做；②③都是利用同底数幂的乘法运算法则做（注意 一个负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数）． 【解答】解：①∵5+5＝25，故①的答不正确； ②∵（﹣）6•（﹣）3•＝﹣10 故②的答不正确； ③∵﹣4•（﹣）5＝9，故③的答不正确； 2 ④ 5+25＝2×25＝26．故④的答正确； 所以正确的个数是1， 故选：B． 【题型2 幂的运算法则逆用（比较大小）】 【例2】（2022 春•宣城期末）已知＝8131，b＝2741，＝961，则、b、的大小关系是（ ） ．＞b＞ B．b＞＞ ．b＞＞ D．＞＞b 【分析】将、b、转化为同底数形式，即可比较大小． 【解答】解：∵＝8131＝（34）31＝3124； b＝2741＝（33）41＝3123； ＝961＝（32）61＝3122； 3 ∴ 124＞3123＞3122， 1 即＞b＞． 故选：． 【变式2-1】（2022 春•晋州市期中）阅读：已知正整数，b，，若对于同底数，不同指数 的两个幂b和（≠1），当b＞时，则有b＞；若对于同指数，不同底数的两个幂b和b，当 ＞时，则有b＞b，根据上述材料，回答下列问题． （1）比较大小：520 ＞ 420，961 ＜ 2741；（填“＞”“＜”或“＝”） （2）比较233与322的大小； （3）比较312×510与310×512的大小．[注（2），（3）写出比较的具体过程] 【分析】（1）根据“同指数，不同底数的两个幂b和b，当＞时，则有b＞b，”即可比 较520，420的大小；根据“对于同底数，不同指数的两个暴b和（≠1），当b＞时，则有 b＞”，即可比较961，2741的大小； （2）据“对于同底数，不同指数的两个暴b和（≠1），当b＞时，则有b＞”，即可比 较233与322的大小； （3）利用作商法，即可比较312×510与310×512的大小． 【解答】解：（1）∵5＞4， 5 ∴ 20＞420， 9 ∵ 61＝（32）61＝3122，2741＝（33）41＝3123，122＜123， 9 ∴ 61＜2741， 故答为：＞，＜； （2））∵233＝（23）11＝811，322＝（32）11＝911，8＜9， 2 ∴ 33＜322； （3）∵3 12×5 10 3 10×5 12=3 2 5 2= 9 25， 3 ∴ 12×510＜310×512． 【变式2-2】（2022 秋•滨城区月考）已知＝3231，b＝1641，＝821，则，b，的大小关系是（ ） ．＞b＞ B．＞＞b ．＜b＜ D．b＞＞ 【分析】把，b，化成以2 为底数的幂的形式，再进行大小比较即可． 【解答】解：∵＝3231＝（25）31＝2155，b＝1641＝（24）41＝2164，＝821＝（23）21＝263， ∴＜＜b． 故选：D． 【变式2-3】（2022 春•泰兴市校级月考）若＝2555，b＝3444，＝4333，d＝5222，试比较、 b、、d 的大小．（写出过程） 【分析】首先原式变形为＝32111，b＝81111，＝64111，d＝25111，根据指数相同，由底数 1 的大小就可以确定数的大小． 【解答】解：∵＝2555，b＝3444，＝4333，d＝5222， ∴＝（25）111，b＝（34）111，＝（43）111，d＝（52）111， ∴＝32111，b＝81111，＝64111，d＝25111． 81 ∵ ＞64＞32＞25， 81 ∴ 111＞64111＞32111＞25111， ∴b＞＞＞d． 【题型3 幂的运算法则逆用（求代数式的值）】 【例3】（2022 春•巨野县期中）已知：52＝，9＝b，则154＝ 2 b 2 ． 【分析】将15 写成3×5，根据积的乘方得到154＝（3×5）4＝34×54，再根据幂的乘方变 形即可得出答． 【解答】解：∵9＝b， ∴（32）＝b， 3 ∴ 2＝b， 15 ∴ 4 ＝（3×5）4 ＝34×54 ＝（32）2×（52）2 ＝b22 ＝2b2． 故答为：2b2． 【变式3-1】（2022 秋•西青区期末）若2x＝，16y＝b，则22x+4y的值为 2 b ． 【分析】根据同底数幂相乘，幂的乘方的逆运算可进行求解． 【解答】解：∵22x+4y＝22x•24y， ＝（2x）2•（24）y． ＝（2x）2•16y， 将2x＝，16y＝b 代入， ∴原式＝2b， 故答为：2b． 【变式3-2】（2022 春•萧山区期中）若xm＝5，x¿ 1 4 ，则x2m﹣＝（ ） ．5 2 B．40 ．25 4 D．100 【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则以及幂的乘方运算法则计算得出答． 1 【解答】解：∵xm＝5，x¿ 1 4 ， ∴x2m﹣＝（xm）2÷x ＝25÷ 1 4 ＝100． 故选：D． 【变式3-3】（2022 春•高新区校级月考）已知32m＝，27＝b．求： （1）34m的值； （2）33的值； （3）34m 6 ﹣的值． 【分析】（1）34m＝（32m）2，然后代入计算即可； （2）27 变形为底数为3 的幂的形式即可； （3）逆用同底数幂的除法公式进行计算即可． 【解答】解：（1）34m＝（32m）2＝2． （2）∵27＝b， 3 ∴ 3＝b． （3）34m 6 ﹣＝34m÷36＝2÷b2¿ a 2 b 2． 【题型4 幂的运算法则逆用（整体代入）】 【例4】（2022•铁岭模拟）若+3b 2 ﹣＝0，则3•27b＝ 9 ． 【分析】根据幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算法则得出即可． 【解答】解：∵+3b 2 ﹣＝0， +3 ∴ b＝2， 则3•27b＝3×33b＝3+3b＝32＝9． 故答为：9 【变式4-1】（2022 秋•淇滨区校级月考）当3m+2 3 ﹣＝0 时，则8m•4＝ 8 ． 【分析】先变成同底数幂的乘法，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，最后代入求出 即可． 【解答】解：∵3m+2 3 ﹣＝0， 3 ∴m+2＝3， 8 ∴ m•4 ＝（23）m×（22） ＝23m×22 1 ＝23m+2 ＝23 ＝8， 故答为：8． 【变式4-2】（2022 春•东台市期中）已知﹣2b 3 ﹣＝2，则2÷4b×( 1 8 ) c的值是 4 ． 【分析】先将原式变形为同底数幂的形式，然后再依据同底数幂的除法和乘法法则计算 即可． 【解答】解：原式＝2÷22b×2 3 ﹣＝2 2 ﹣b 3 ﹣＝22＝4． 故答为：4． 【变式4-3】（2022 春•昌平区期末）若5x 2 ﹣y 2 ﹣＝0，则105x÷102y＝ 100 ． 【分析】根据移项，可得（5x 2 ﹣y）的值，根据同底数幂的除法底数不变指数相减，可 得答． 【解答】解：移项，得 5x 2 ﹣y＝2． 105x÷102y＝105x 2 ﹣y＝102＝100， 故答为：100． 【题型5 幂的运算法则逆用（求参）】 【例5】（2022 秋•西城区校级期中）若5•（y）3＝17，则y＝ 4 ，若3×9m×27m＝311，则 m 的值为 2 ． 【分析】先利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则计算5•（y）3、3×9m×27m，再根据 底数与指数分别相等时幂也相等得方程，求解即可． 【解答】解：∵5•（y）3＝5×3y＝5+3y， ∴5+3y＝17． 5+3 ∴ y＝17． ∴y＝4． 3×9 ∵ m×27m＝3×32m×33m＝31+5m， 3 ∴ 1+5m＝311． 1+5 ∴ m＝11． ∴m＝2． 故答为：4；2． 【变式5-1】（2022 春•建湖县期中）规定*b＝2×2b，例如：1*2＝21×22＝23＝8，若2* （x+1）＝64，则x 的值为 3 ． 【分析】把相应的值代入新定义的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行求解即可． 1 【解答】解：∵2*（x+1）＝64， 2 ∴ 2×2x+1＝26， 则22+x+1＝26， 2+ ∴ x+1＝6， 解得：x＝3． 故答为：3． 【变式5-2】（2022 秋•卫辉市期末）已知2m＝4 1 ﹣，27＝3m 1 ﹣，则﹣m＝ 5 ． 【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形进而得出m，的值即可． 【解答】解：∵2m＝4 1 ﹣，27＝3m 1 ﹣， 2 ∴ m＝22 2 ﹣，33＝3m 1 ﹣， 故{ m=2n−2 3n=m−1， 解得：{ m=−8 n=−3 ， 故﹣m＝5． 故答为：5． 【变式5-3】（2022 春•兴化市期中）若（2m）2•23＝84，其中m、都是自然数，则符合条件 m、的值有 3 组． 【分析】先根据幂的乘方进行计算，再根据同底数幂的乘法进行计算，求出2m+3＝ 12，再求出二元一次方程的正整数解即可． 【解答】解：（2m）2•23＝84， 22m•23＝（23）4， 22m+3＝212， 2m+3＝12， m＝6−3 2 ， ∵m，都是自然数， 6 ∴−3 2 ≥0，≥0， 0≤≤4 ∴ ， ∴整数为0，1，2，3，4， 当＝0 时，m＝6， 当＝1 时，m¿ 9 2， 当＝2 时，m＝3， 1 当＝3 时，m¿ 3 2， 当＝4 时，m＝0， 即符合条件的m，的值有3 组， 故答为：3． 【题型6 幂的运算法则逆用（代数式的表示）】 【例6】（2022 秋•崇川区校级期中）若a 2m+3 y =a m+1 x =¿1． （1）请用含x 的代数式表示y； （2）如果x＝4，求此时y 的值． 【分析】（1）由已知等式得出x＝m+1，y＝2m+3，再将m＝x 1 ﹣代入y＝2m+3＝（m） 2+3，整理即可得； （2）将x＝4 代入整理后的y 关于x 的代数式即可得． 【解答】解：（1）∵a 2m+3 y =a m+1 x =¿1， ∴x＝m+1，y＝2m+3， 则m＝x 1 ﹣， ∴y＝2m+3 ＝（m）2+3 ＝（x 1 ﹣）2+3 ＝x2 2 ﹣x+4， 即y＝x2 2 ﹣x+4； （2）当x＝4 时，y＝16 2×4+4 ﹣ ＝16 8+4 ﹣ ＝12． 【变式6-1】（2022•高新区校级三模）已知m＝89，＝98，试用含m，的式子表示7272． 【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则把7272变形为（89）8×（98）9，再把m＝89， ＝98代入即可得出结果． 【解答】解：∵m＝89，＝98， 72 ∴ 72 ＝（8×9）72 ＝872×972 ＝（89）8×（98）9 ＝m89． 1 【变式6-2】（2022•高新区校级三模）（1）若x＝2m+1，y＝3+4m，用x 的代数式表示y． （2）若x＝2m+1，y＝3+4m，用x 的代数式表示y． 【分析】（1）根据幂的乘方以及完全平方公式解答即可； （2）根据幂的乘方法则解答即可． 【解答】解：（1）∵x＝2m+1， 2 ∴ m＝x 1 ﹣ ∴y＝3+4m＝3+（2m）2＝3+（x 1 ﹣）2＝3+x2 2 ﹣x+1＝x2 2 ﹣x+4； （2）∵x＝2m+1， ∴2 m= x 2， y＝3+4m¿3+(2 m) 2=3+( x 2 ) 2=¿3+x 2 4 =12+x 2 4 ． 【变式6-3】（2022 春•新泰市期末）若m＝（＞0，≠1，m、都是正整数），则m＝，利用 上面结论解决下面的问题： （1）如果2x•23＝32，求x 的值； （2）如果2÷8x•16x＝25，求x 的值； （3）若x＝5m 2 ﹣，y＝3 25 ﹣ m，用含x 的代数式表示y． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可． 【解答】解：（1）∵2x•23＝32， 2 ∴ x+3＝25， ∴x+3＝5， ∴x＝2； （2）∵2÷8x•16x＝25， 2÷2 ∴ 3x•24x＝25， 2 ∴ 1 3 ﹣x+4x＝25， 1+ ∴ x＝5， ∴x＝4； （3）∵x＝5m 2 ﹣， 5 ∴ m＝x+2， ∵y＝3 25 ﹣ m， ∴y＝3﹣（5m）2， ∴y＝3﹣（x+2）2＝﹣x2 4 ﹣x 1 ﹣． 1 【题型7 幂的运算法则（混合运算）】 【例7】（2022 春•沭阳县校级月考）计算： （1）（﹣）2•3 （2）（﹣8）2013•（1 8）2014 （3）x•x+1+x2•x（是正整数） （ 4 ）（2•3）4． 【分析】结合幂的乘方与积的乘方的概念和运算法则进行求解即可． 【解答】解：（1）原式＝2•3 ＝2+3 ＝5． （2）原式＝[（﹣8）× 1 8]2013•1 8 ＝（﹣1）2013•1 8 ¿−1 8． （3）原式＝x2+1+x2+1 ＝2x2+1． （4）原式＝（5）4 ＝20． 【变式7-1】（2022 秋•道外区校级月考）计算： （1）y3•y2•y （2）（x3）4•x2 （3）（ 4•2）3•（﹣）5 （4）（﹣32）3 • ﹣5+（43）2． 【分析】（1）根据同底数幂的乘法求出即可； （2）先算乘方，再根据同底数幂的乘法求出即可； （3）先算乘方，再算乘法即可； （4）先算乘方和乘法，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）y3•y2•y＝y6； （2）（x3）4•x2＝x12•x2＝x14； （3）（ 4•2）3•（﹣）5 ＝12•6•（﹣5） ＝﹣23； 1 （4）（﹣32）3 • ﹣5+（43）2 ＝﹣276﹣6+166 ＝﹣126． 【变式7-2】（2022 春•太仓市期中）用简便方法计算下列各题 （1）（4 5 ）2015×（﹣125）2016． （2）（31 8）12×（8 25）11×（﹣2）3． 【分析】（1）将（﹣125）2016写成（−5 4 ）2015×(−5 4 )，再利用积的乘方计算即可； （2）将（31 8）12写成（25 8 ）11× 25 8 ，再运用乘法结合律与积的