专题1.5 有理数的乘方【十大题型】（原卷版）

专题15 有理数的乘方【十大题型】 【人版】 【题型1 有理数乘方的概念】.................................................................................................................................1 【题型2 乘方的运算】............................................................................................................................................. 2 【题型3 偶次乘方的非负性】.................................................................................................................................2 【题型4 含乘方的混合运算】.................................................................................................................................3 【题型5 含乘方的程序图运算】.............................................................................................................................4 【题型6 含乘方的数字及图形规律问题】.............................................................................................................5 【题型7 乘方的应用规律】.....................................................................................................................................6 【题型8 乘方应用中的新定义问题】.....................................................................................................................7 【题型9 科学记数法的表示】.................................................................................................................................9 【题型10 近似数的表示】......................................................................................................................................10 【知识点1 有理数乘方的概念】 求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 即有： n a a a a n         个 在 n a 中，a 叫做底数， 叫做指数 【题型1 有理数乘方的概念】 【例1】（2022•河北模拟）(−1 3 ) 3表示的意义是（ ） ．(−1 3 )×(−1 3 )×(−1 3 ) B．(−1 3 )+(−1 3 )+(−1 3 ) ．(−1)×(−1)×(−1) 3 D．(−1) 3×3×3 【变式1-1】（2022•博湖县校级期中）−3 4 × 3 4 × 3 4 × 3 4 写成乘方的形式 ，−3 4 ×（ −3 4 ）×（−3 4 ）×（−3 4 ）写成乘方的形式是 ． 【变式1-2】（2022 秋•泾阳县期中）下列说法中，正确的是（ ） ．23表示2×3 B．﹣110读作“﹣1 的10 次幂” ．（﹣5）2中﹣5 是底数，2 是指数 D．2×32的底数是2×3 1 【变式1-3】（2022 秋•顺平县期中）将2×2×⋯⋯×2 ¿ 3+3+⋯⋯+3 ¿ 写成幂的形式，正确的是（ ） ．2 m 3n B．2m 3 n ．2m n 3 D．m 2 3n 【知识点2 有理数乘方的运算】 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0 的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再 计算幂的绝对值． 【题型2 乘方的运算】 【例2】（2022 春•宝山区校级月考）下列各对数中，数值相等的是（ ） ．﹣28与（﹣2）8 B．（﹣3）7与﹣37 ．﹣3×23与﹣33×2 D．﹣（﹣2）3与﹣（﹣3）2 【变式2-1】（2022 秋•玉门市期末）下列各组数中，数值相等的是（ ） ．32和 23 B．﹣23 和（﹣2）3 ．﹣|23|和| 2 ﹣ 3| D．﹣32和（﹣3）2 【变式2-2】（2022•涞水县期末）设是自然数，则(−1) n+(−1) n+2 2 的值为（ ） ．1 或﹣1 B．0 ．﹣1 D．0 或1 【变式2-3】（2022•兰考县期末）下列说法中，正确的是（ ） ．﹣和（﹣）一定不相等 B．﹣和（﹣）一定互为相反数 ．当为奇数时，﹣和（﹣）相等 D．当为偶数时，﹣和（﹣）相等 【知识点3 偶次乘方的非负性】 任何一个数的偶次幂都是非负数，即 a 2≥0． 【题型3 偶次乘方的非负性】 【例3】（2022 春•诸暨市月考）若|2x+1﹣y|+（y 3 ﹣x+4）2＝0，则x+2y 的值为（ ） ．25 B．﹣27 ．﹣23 D．27 【变式3-1】（2022 春•吉州区期末）已知：（﹣2）2+|2b 1| ﹣＝0，则2021•b2022的值为 ． 【变式3-2】（2022•衡水期中）对于| 1| 3 ﹣﹣及﹣（b+3）2+2，佳佳和音音提出了两个观点 佳佳的观点：| 1| 3 ﹣﹣有最小值，最小值为3 音音的观点：﹣（b+3）2+2 有最大值，最大值为2 1 对于以上观点，则（ ） ．佳佳和音音均正确 B．佳佳正确，音音不正确 ．佳佳不正确，音音正确 D．佳佳和音音均不正确 【变式3-3】（2022•蓬溪县期中）若、b 有理数，下列判断： ①2+（b+1）2总是正数； ②2+b2+1 总是正数； 9+ ③ （﹣b）2的最小值为9； ④1﹣（b+1）2的最大值是0 其中错误的个数是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【知识点4 含乘方的混合运算】 有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3) 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 【题型4 含乘方的混合运算】 【例4】（2022 秋•沂水县期中）（1）计算： ①（3×5）2与32×52； [ ②（﹣2）×3]2与（﹣2）2×32； [ ③（﹣3）×（﹣4）]2与（﹣3）2×（﹣4）2； （2）根据以上计算结果猜想：（b）2，（b）3分别等于什么？（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，（b）等于什么？请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求（﹣8）2021×01252022的值． 【变式4-1】（2022 春•杨浦区校级期末）计算：16÷(−2 2 3 ) 2−(−1 2 )× 1 6−1.75． 【变式4-2】（2022•庆阳期末）计算：−3 2+ 2 3 ×[2+(−2) 3]−3÷(−1 4 )． 【变式4-3】（2022•越城区校级月考）计算：32÷（﹣22）×（﹣11 4 ）+（﹣5）6×（−1 25 ）3 1 【题型5 含乘方的程序图运算】 【例5】（2022 春•承德期末）根据图所示的程序计算，若输入x 的值为2，则输出y 的值 为 ；若输入x 的值为﹣1，则输出y 的值为 ． 【变式5-1】（2022•海州区期中）如图是一个数值运算程序，当输入的值为﹣3 时，则输 出的值为 ． 【变式5-2】（2022 秋•胶州市期末）小方利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的 数据如表： 输入 … 1 2 3 4 5 … 输出 … 1 2 2 5 3 10 4 17 5 26 … 那么，当输入数据为8 时，输出的数据为 ． 【变式5-3】（2022•和平区期中）按如图所示的程序进行计算，如果把第一次输入的数是 18；而结果不大于100 时，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为 止，则最后输出的结果为（ ） ．72 B．144 ．288 D．576 1 【题型6 含乘方的数字及图形规律问题】 【例6】（2022•呼伦贝尔）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝ 64，27＝128，28＝256，…通过观察，用所发现的规律确定215的个位数字是 ． 【变式6-1 】（2022• 黔东南州模拟）在数学兴趣小组活动中，小明为了求 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3 + 1 2 4 +⋯+ 1 2 n的值，在边长为1 的正方形中，设计了如图所示的几何图形．则 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3 + 1 2 4 +⋯+ 1 2 n的值为 （结果用表示）． 【变式6-2】（2020•莫旗一模）“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和 算式： 1＝1＝12 1+3＝4＝22 1+3+5＝9＝32 1+3+5+7＝16＝42 1+3+5+7+9＝25＝52 解答下列问题：请用上面得到的规律计算：1+3+5+7+……+101＝（ ） ．2601 B．2501 ．2400 D．2419 【变式6-3】（2022•亭湖区校级月考）观察下面的等式： 32 1 ﹣ 2＝8＝8×1； 52 3 ﹣ 2＝16＝8×2： 72 5 ﹣ 2＝24＝8×3； 92 7 ﹣ 2＝32＝8×4 … 1 （1）请写出第5 个等式； （2）通过观察，你能发现什么规律？猜想并写出第个等式； （3）请利用上述规律计算1012 99 ﹣ 2的值． 【题型7 乘方的应用规律】 【例7】（2022 秋•下城区校级期中）某种细胞开始有两个，1 小时后分裂成4 个并死去一 个，2 个小时后分裂成6 个并死去一个，3 小时后分裂成10 个并死去1 个，按此规律，6 小时后存活的个数是 个，经过个小时后，细胞存活的个数为 个（结果用含的 代数式表示）． 【变式7-1】（2022•雁塔区校级期中）1 米长的木棒，第1 次截去一半，第2 次截去剩下部 分的一半，如此截下去，第8 次后剩下的木棒长度是（ ）米 ．127 128 B．1 128 ．255 256 D．1 256 【变式7-2】（2022•黔东南州模拟）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条， 把两头捏合在一起拉伸，再捏合、拉伸，反复多次，就能拉成许多细面条．如图所示： （1）经过第3 次捏合后，可以拉出 根细面条； （2）到第 次捏合后可拉出32 根细面条． 【变式7-3】（2022 秋•仪征市期中）看过《西游记》的同学一定很喜欢孙悟空，孙悟空的 金箍棒能随意伸缩．假设它最短时只有1 厘米，第1 次变化后变成3 厘米，第2 次变化 后变成9 厘米，第3 次变化后变成27 厘米…照此规律变化下去，到第5 次变化后金箍棒 的长度是 米． 【题型8 乘方应用中的新定义问题】 【例8】（2022•新化县模拟）定义：若10x＝，则x＝lg10，x 称为以10 为底的的对数，简记 为lg，其满足运算法则：lgM+lg＝lg（M•）（M＞0，＞0）．例如：因为102＝100，所 以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根据上述定义和运算法则，计算（lg2） 2+lg2•lg5+lg5 的结果为 【变式8-1】（2022•梁溪区期末）定义一种对正整数的“F”运算：①当为奇数时，结果为 3+1；②当为偶数时，结果为n 2 k （其中k 是使n 2 k 为奇数的正整数），并且运算可以重复 1 进行，例如，取＝25 时，运算过程如图．若＝34，则第2022 次“F 运算”的结果是（ ） ．16 B．5 ．4 D．1 【变式8-2】（2022•顺城区校级月考）[概念学习] 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3） ÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2 记作2③，读作“2 的 圈3 次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3 的圈4 次 方”，一般地，把a÷ a÷ a÷⋯÷ a ¿ （≠0）记作ⓒ，读作“的圈次方”． （1）[初步探究]直接写出计算结果：3③＝ ；（−1 2 ）⑤＝ ； （2）关于除方，下列说法错误的是 ； ．任何非零数的圈2 次方都等于1； B．对于任何正整数，1ⓝ＝1； 3④＝4③； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． （3）[深入思考]我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化 为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ Ⅰ．试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式，（﹣3）④＝ ； 5⑥＝ ． Ⅱ．想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于ⓝ＝ ； Ⅲ．算一算：（−1 3 ）④+（﹣2）⑤﹣（−1 3 ）⑥÷33． 【变式8-3】（2022•花溪区一模）在新型冠状病毒防控战“疫”中，花溪榕筑花小区利用 如图①的建立了一个身份识别系统，图②是某个业主的识别图，灰色小正方形表示1，白 色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为，b，，d 算式×23+b×22+×21+d×20的运 算结果为该业主所居住房子的栋数号．例如，图②第一行数字从左到右依次为0，1，0， 1 1，通过计算得0×23+1×22+0×21+1×20＝5，即可知该业主为5 栋住户，小敏家住在11 栋， 则表示他家的识别图是（ ） ． B． ． D． 【知识点5 科学记数法的表示】 （1）科学记数法：把一个大于10 的数记成×10 的形式，其中是整数数位只有一位的数， 是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：×10，其中1≤＜10，为正整 数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中的要求和10 的指数的表示规律为关键，由于10 的指数比原来的整数位数 少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10 的指数． ②记数法要求是大于10 的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10 的负数同样可用 此法表示，只是前面多一个负号． 【题型9 科学记数法的表示】 【例9】（2022•日照）全民免费接种新冠病毒疫苗是党中央、国务院作出的重大决策部署， 通过接种疫苗，让更多人获得免疫力，尽早形成人群免疫屏障，截至2022 年5 月20 日， 全国31 个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗 336905 万剂次．数据336905 万用科学记数法表示为（ ） ．0336905×1010 B．336905×1010 ．336905×109 D．336905×109 【变式9-1】（2022•湘西州）据统计，2022 年湖南省湘西土家族苗族自治州学业水平考试 九年级考生报名人数约为35000 人，其中数据35000 用科学记数法表示为（ ） ．35×103 B．035×105 ．350×102 D．35×104 1 【变式9-2】（2022 春•馆陶县期末）某种颗粒每粒的质量为000000037 克，500 粒此种颗 粒的质量用科学记数法可以表示为×10 克，则的值是（ ） ．﹣5 B．﹣6 ．﹣7 D．﹣8 【变式9-3】（2022•雨花区模拟）据中国政府报道，截至2021 年4 月5 日，31 个省（自治 区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗142802 万剂次．下列说 法不正确的是（ ） ．142802 万大约是14 亿 B．142802 万大约是14×108 ．142802 万用科学记数法表示为142802×104 D．142802 万用科学记数法表示为142802×108 【知识点7 近似数的表示】 “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是 不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个 相对更精确一些． 【题型10 近似数的表示】 【例10】（2022•济宁）用四舍五入法取近似值，将数00158 精确到0001 的结果是（ ） ．0015 B．0016 ．001 D．002 【变式10-1】（2022•长沙模拟）用四舍五入法把某数取近似值为48×10 3 ﹣，精确度正确的 是（ ） ．精确到万分位 B．精确到千分位 ．精确到001 D．精确到01 【变式10-2】（2022 秋•南阳期末）下列对近似数的叙述不正确的是（ ） ．用四舍五入法对27018（精确到个位）取近似值为270 B．用四舍五入法对0518（精确到001）取近似值为052 ．由四舍五入法得到的近似数423 万是精确到万位 D．由四舍五入法得到的近似数0185 是精确到千分位 【变式10-3】（2022 春•杨浦区校级期末）根据最新的上海市国民经济和社会发展统计公 报，全市目前常住人口约为248943 万人，用科学记数法保留三个有效数字表可表示为 人． 1