专题1.5 有理数的乘方【十大题型】（解析版）

专题15 有理数的乘方【十大题型】 【人版】 【题型1 有理数乘方的概念】.................................................................................................................................1 【题型2 乘方的运算】............................................................................................................................................. 3 【题型3 偶次乘方的非负性】.................................................................................................................................4 【题型4 含乘方的混合运算】.................................................................................................................................6 【题型5 含乘方的程序图运算】.............................................................................................................................8 【题型6 含乘方的数字及图形规律问题】...........................................................................................................10 【题型7 乘方的应用规律】...................................................................................................................................12 【题型8 乘方应用中的新定义问题】................................................................................................................... 13 【题型9 科学记数法的表示】...............................................................................................................................17 【题型10 近似数的表示】......................................................................................................................................19 【知识点1 有理数乘方的概念】 求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 即有： n a a a a n         个 在 n a 中，a 叫做底数， 叫做指数 【题型1 有理数乘方的概念】 【例1】（2022•河北模拟）(−1 3 ) 3表示的意义是（ ） ．(−1 3 )×(−1 3 )×(−1 3 ) B．(−1 3 )+(−1 3 )+(−1 3 ) ．(−1)×(−1)×(−1) 3 D．(−1) 3×3×3 【分析】根据乘方的意义即可得出结果． 【解答】解：∵(−1 3 ) 3表示3 个（−1 3 ）相乘， ∴(−1 3 ) 3表示的意义是（−1 3 ）×（−1 3 ）×（−1 3 ）， 故选：． 【变式1-1】（2022•博湖县校级期中）−3 4 × 3 4 × 3 4 × 3 4 写成乘方的形式 −( 3 4 ) 4 ， −3 4 ×（−3 4 ）×（−3 4 ）×（−3 4 ）写成乘方的形式是 (−3 4 ) 4 ． 1 【分析】根据有理数的乘方解决此题． 【解答】解：根据有理数的乘方，−3 4 × 3 4 × 3 4 × 3 4 =−( 3 4 ) 4；−3 4 ×（−3 4 ）×（−3 4 ） ×（−3 4 ）¿(−3 4 ) 4． 故答为：−( 3 4 ) 4，(−3 4 ) 4． 【变式1-2】（2022 秋•泾阳县期中）下列说法中，正确的是（ ） ．23表示2×3 B．﹣110读作“﹣1 的10 次幂” ．（﹣5）2中﹣5 是底数，2 是指数 D．2×32的底数是2×3 【分析】根据幂的意义，底数和指数的定义即可得出答． 【解答】解：选项，23表示3 个2 相乘，故该选项不符合题意； B 选项，﹣110读作“1 的10 次幂的相反数”，故该选项不符合题意； 选项，（﹣5）2中﹣5 是底数，2 是指数，故该选项符合题意； D 选项，2×32的底数是3，故该选项符合题意； 故选：． 【变式1-3】（2022 秋•顺平县期中）将2×2×⋯⋯×2 ¿ 3+3+⋯⋯+3 ¿ 写成幂的形式，正确的是（ ） ．2 m 3n B．2m 3 n ．2m n 3 D．m 2 3n 【分析】根据有理数的乘方解答即可． 【解答】解：将2×2×⋯⋯×2 ¿ 3+3+⋯⋯+3 ¿ 写成幂的形式为：2 m 3n， 故选：． 【知识点2 有理数乘方的运算】 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0 的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算 1 幂的绝对值． 【题型2 乘方的运算】 【例2】（2022 春•宝山区校级月考）下列各对数中，数值相等的是（ ） ．﹣28与（﹣2）8 B．（﹣3）7与﹣37 ．﹣3×23与﹣33×2 D．﹣（﹣2）3与﹣（﹣3）2 【分析】根据有理数的乘方和乘法分别计算各选项中的数即可得出答． 【解答】解：选项，﹣28＜0，（﹣2）8＞0，故该选项不符合题意； B 选项，（﹣3）7＝﹣37，故该选项符合题意； 选项，﹣3×23＝﹣3×8＝﹣24，﹣33×2＝﹣27×2＝﹣54，故该选项不符合题意； D 选项，﹣（﹣2）3＝﹣（﹣8）＝8，﹣（﹣3）2＝﹣9，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式2-1】（2022 秋•玉门市期末）下列各组数中，数值相等的是（ ） ．32和 23 B．﹣23 和（﹣2）3 ．﹣|23|和| 2 ﹣ 3| D．﹣32和（﹣3）2 【分析】根据有理数的乘方及绝对值的运算将四个选项中各数计算出来，再进行比较即 可得出结论． 【解答】解：、∵32＝9，23＝8， 3 ∴ 2≠23； B、∵﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8， 2 ∴﹣ 3＝（﹣2）3； 、∵﹣|23|＝﹣8，| 2 ﹣ 3|＝8， |2 ∴﹣ 3|≠| 2 ﹣ 3|； D、∵﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9， 3 ∴﹣ 2≠（﹣3）2． 故选：B． 【变式2-2】（2022•涞水县期末）设是自然数，则(−1) n+(−1) n+2 2 的值为（ ） ．1 或﹣1 B．0 ．﹣1 D．0 或1 【分析】分为奇数和偶数两种情况，根据有理数乘方运算法则计算可得． 【解答】解：若为奇数，则+2 也是奇数，此时(−1) n+(−1) n+2 2 =−1−1 2 =−¿1； 若为偶数，则+2 也为偶数，此时(−1) n+(−1) n+2 2 =1+1 2 =¿1； 故选：． 1 【变式2-3】（2022•兰考县期末）下列说法中，正确的是（ ） ．﹣和（﹣）一定不相等 B．﹣和（﹣）一定互为相反数 ．当为奇数时，﹣和（﹣）相等 D．当为偶数时，﹣和（﹣）相等 【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则，结合各选项进行判断即可． 【解答】解：、﹣和（﹣）一定不相等，说法错误，例如当＝0 两者就相等； B、﹣和（﹣）一定互为相反数，说法错误，例如当＝0 时，两者就不是相反数； 、当为奇数时，﹣和（﹣）相等，说法正确，故本选项正确； D、当为偶数时，﹣和（﹣）不一定相等，例如当＝1 时，﹣＝﹣1，（﹣）＝1，故本 选项错误； 故选：． 【知识点3 偶次乘方的非负性】 任何一个数的偶次幂都是非负数，即 a 2≥0． 【题型3 偶次乘方的非负性】 【例3】（2022 春•诸暨市月考）若|2x+1﹣y|+（y 3 ﹣x+4）2＝0，则x+2y 的值为（ ） ．25 B．﹣27 ．﹣23 D．27 【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出x，y 的值，进而得出答． 【解答】解：∵|2x+1﹣y|+（y 3 ﹣x+4）2＝0， 2 ∴x+1﹣y＝0，y 3 ﹣x+4＝0， 解得：x＝5，y＝11， 故x+2y＝5+2×11＝27． 故选：D． 【变式3-1】（2022 春•吉州区期末）已知：（﹣2）2+|2b 1| ﹣＝0，则2021•b2022的值为 1 2 ． 【分析】根据偶次方的非负性以及绝对值的非负性求得与b，再代入2021•b2022求值． 【解答】解：∵（﹣2）2≥0，|2b 1|≥0 ﹣ ， ∴当（﹣2）2+|2b 1| ﹣＝0，则﹣2＝0，2b 1 ﹣＝0． ∴＝2，b¿ 1 2． ∴2021•b2022¿2 2021×( 1 2 ) 2022=1 2． 故答为：1 2． 【变式3-2】（2022•衡水期中）对于| 1| 3 ﹣﹣及﹣（b+3）2+2，佳佳和音音提出了两个观点 1 佳佳的观点：| 1| 3 ﹣﹣有最小值，最小值为3 音音的观点：﹣（b+3）2+2 有最大值，最大值为2 对于以上观点，则（ ） ．佳佳和音音均正确 B．佳佳正确，音音不正确 ．佳佳不正确，音音正确 D．佳佳和音音均不正确 【分析】根据有理数的平方、绝对值的定义解答即可． 【解答】解：因为| 1|≥0 ﹣ ， 所以| 1| 3 ﹣﹣有最小值，最小值为﹣3； 因为（b+3）2≥0， 所以﹣（b+3）2≤0， 所以﹣（b+3）2+2 有最大值，最大值为2， 所以佳佳不正确，音音正确， 故选：． 【变式3-3】（2022•蓬溪县期中）若、b 有理数，下列判断： ①2+（b+1）2总是正数； ②2+b2+1 总是正数； 9+ ③ （﹣b）2的最小值为9； ④1﹣（b+1）2的最大值是0 其中错误的个数是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【分析】直接利用偶次方的性质分别分析得出答． 【解答】解：①2+（b+1）2总是非负数，故此选错误； ②2+b2+1 总是正数，正确； 9+ ③ （﹣b）2的最小值为9，正确； 1 ④﹣（b+1）2的最大值是1，故此选项错误． 故选：B． 【知识点4 含乘方的混合运算】 有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3) 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 【题型4 含乘方的混合运算】 【例4】（2022 秋•沂水县期中）（1）计算： ①（3×5）2与32×52； [ ②（﹣2）×3]2与（﹣2）2×32； [ ③（﹣3）×（﹣4）]2与（﹣3）2×（﹣4）2； （2）根据以上计算结果猜想：（b）2，（b）3分别等于什么？（直接写出结果） 1 （3）猜想与验证：当为正整数时，（b）等于什么？请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求（﹣8）2021×01252022的值． 【分析】（1）根据积的乘方的计算法则进行计算即可； （2）根据（1）的计算结果，类推得出答； （3）利用乘方的意义进行计算即可； （4）应用上述结论，将原式化为（﹣8×0125）2021×0125 即可． 【解答】解：（1）①（3×5）2＝152＝225，32×52＝9×25＝225； [ ②（﹣2）×3]2＝（﹣6）2＝36，（﹣2）2×32＝4×9＝36； [ ③∵（﹣3）×（﹣4）]2＝122＝144，（﹣3）2×（﹣4）2＝9×16＝144， [ ∴（﹣3）×（﹣4）]2＝（﹣3）2×（﹣4）2； （2）（b）2＝2b2，（b）3＝3b3； （3）（b）＝b， 理由如下： （b）¿(ab)(ab)⋯(ab) ¿ ¿a⋅a⋯a ¿ ×b⋅b⋯b ¿ ＝b； （4）原式＝（﹣8）2021×01252021×0125 ＝（﹣8×0125）2021×0125 ＝（﹣1）2021×0125 ＝﹣0125． 【变式4-1】（2022 春•杨浦区校级期末）计算：16÷(−2 2 3 ) 2−(−1 2 )× 1 6−1.75． 【分析】先计算乘方和后面的乘法，再将除法转化为乘法，继而计算乘法，最后计算加 减即可． 【解答】解：原式＝16÷ 64 9 + 1 12−7 4 ＝16× 9 64 + 1 12−7 4 ¿ 9 4 + 1 12−7 4 ¿ 27 12 + 1 12−21 12 ¿ 7 12． 1 【变式4-2】（2022•庆阳期末）计算：−3 2+ 2 3 ×[2+(−2) 3]−3÷(−1 4 )． 【分析】根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题． 【解答】解：−3 2+ 2 3 ×[2+(−2) 3]−3÷(−1 4 ) ＝﹣9+2 3 ×[2+（﹣8）] 3× ﹣ （﹣4） ＝﹣9+2 3 ×（﹣6）+12 ＝﹣9+（﹣4）+12 ＝﹣1． 【变式4-3】（2022•越城区校级月考）计算：32÷（﹣22）×（﹣11 4 ）+（﹣5）6×（−1 25 ）3 【分析】先算乘方，再算除法和乘法，最后算加减即可； 【解答】解：原式＝32÷（﹣4）×（−5 4 ）+（﹣1） ＝10 1 ﹣ ＝9 【题型5 含乘方的程序图运算】 【例5】（2022 春•承德期末）根据图所示的程序计算，若输入x 的值为2，则输出y 的值 为 4 ；若输入x 的值为﹣1，则输出y 的值为 4 ． 【分析】将x＝2 和x＝﹣1 分别代入，别判断计算结果是否大于0，即可得答． 【解答】解：输入x 的值为2，输出y 的值为22×2 4 ﹣＝4×2 4 ﹣＝8 4 ﹣＝4； 若输入x 的值为﹣1，（﹣1）2×2 4 ﹣＝﹣2， 2 ∵﹣＜0， ∴（﹣2）2×2 4 ﹣＝4， 1 ∴输入x 的值为﹣1，输出y 的值为4， 故答为：4，4． 【变式5-1】（2022•海州区期中）如图是一个数值运算程序，当输入的值为﹣3 时，则输 出的值为 ． 【分析】由题意可得其运算程序为：﹣5x2+2，再把相应的值代入运算即可． 【解答】解：由题意得其运算程序为：﹣5x2+2， 当x＝﹣3 时，有： 5× ﹣ （﹣3）2+2 ＝﹣5×9+2 ＝﹣45+2 ＝﹣43． 故答为：﹣43． 【变式5-2】（2022 秋•胶州市期末）小方利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的 数据如表： 输入 … 1 2 3 4 5 … 输出 … 1 2 2 5 3 10 4 17 5 26 … 那么，当输入数据为8 时，输出的数据为 8 65 ． 【分析】根据题意找出一般性规律，写出即可． 【解答】解：根据题意得：当输入的数据是时，输出的数据为 n n 2+1， 则当输入的数据是8 时，输出的数据为 8 8 2+1 = 8 65， 故答为：8 65 【变式5-3】（2022•和平区期中）按如图所示的程序进行计算，如果把第一次输入的数是 18；而结果不大于100 时，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为 止，则最后输出的结果为（ ） ．72 B．144 ．288 D．576 1 【分析】把18 输入程序中计算，依此类推，结果大于100 输出即可． 【解答】解：把18 输入得：18×|−1 2 |÷[﹣（1 2）2] ＝18× 1 2 ÷（−1 4 ） ＝﹣36＜100， 把﹣36 输入得：﹣36×|−1 2 |÷[﹣（1 2）2] ＝﹣36× 1 2 ÷（−1 4 ） ＝72＜100， 把72 输入得：72×|−1 2 |÷[﹣（1 2）2] ＝72× 1 2 ÷（−1 4 ） ＝﹣144＜100， 把﹣144 输入得：﹣144×|−1 2 |÷[﹣（1 2）2] ＝﹣144× 1 2 ÷（−1 4 ） ＝288＞100， 则输出的数字为288． 故选：． 【题型6 含乘方的数字及图形规律问题】 【例6】（2022•呼伦贝尔）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝ 64，27＝128，28＝256，…通过观察，用所发现的规律确定215的个位数字是 8 ． 【分析】首先观察可得规律：2 的个位数字每4 次一循环，又由15÷4＝3…3，即可求得 答． 【解答】解：观察可得规律：2 的个位数字每4 次一循环， 15÷4 ∵ ＝3…3， 2 ∴ 15的个位数字是8． 故答为：8． 【变式6-1 】（2022• 黔东南州模拟）在数学兴趣小组活动中，小明为了求 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3 + 1 2 4 +⋯+ 1 2 n的值，在边长为1 的正方形中，设计了如图所示的几何图形．则 1 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3 + 1 2 4 +⋯+ 1 2 n的值为 1 −1 2 n （结果用表示）． 【分析】根据图中可知正方形的面积依次为1 2，1 2 2，⋯1 2 n．根据组合图形的面积计算可 得． 【解答】解：1 2 + 1 2 2 + 1 2 3 + 1 2 4 +⋯+ 1 2 n=¿1−1 2 n ． 答：1 2 + 1 2 2 + 1 2 3 + 1 2 4 +⋯+ 1 2 n的值为1−1 2 n ． 故答为：1−1 2 n ． 【变式6-2】（2020•莫旗一模）“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和 算式： 1＝1＝12 1+3＝4＝22 1+3+5＝9＝32 1+3+5+7＝16＝42 1+3+5+7+9＝25＝52