专题06 幂运算压轴题的三种考法（解析版）

专题06 幂运算压轴题的三种考法 类型一、比较大小 例．已知 ，则、b、的大小关系为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】逆运用幂的乘方法则，把、b、都写成一个数的8 次方的形式，比较底数得结论． 【详解】解 : , 故选：B 【点睛】本题考查了整式的运算，掌握幂的乘方法则是解决本题的关键． 【变式训练1】．已知 均为负数， ， ，则 与 的大小关系是（ ） ． B． ． D．无法确定 【答】B 【分析】根据换元法将，设 ， ，则 ， ，作差即可求得大小关系 【详解】设 ， ， 则 ， ， 由于 均为负数 所以 为正数，则 ， 故选：B 【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键，解答时注意运用整体思想， 属难题 【变式训练2】已知 ， ， ，则、b、的大小关系为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】把、b、三个数变成指数相同的幂，通过底数可得出、b、的大小关系． 【详解】解：∵＝（35）11＝24311，b＝（44）11＝25611，＝（53）11＝12511， 又∵ ， ∴ ． 故选：． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，解答本题关键是掌握幂的乘方法则，把各数的指 数变成相同． 【变式训练3】340 430 （ 填“＞”“＜”或“=”） 【答】＞ 【详解】因340=（34）10=8110，430=（43）10=6410，81＞64，可得8110＞6410，所以340＞430． 点睛：此题考查了幂的乘方．解此题的关键是将将340与430 变形为同指数的幂． 【变式训练4】比较 与 的大小． 【答】72012>52012+62012． 【分析】先比较52012+62012<62012+62012=2×62012，再比较72012>2×62012，即可得出结论 【详解】∵52012+62012<62012+62012=2×62012=2×63×62009=432×62009=93312×62006， 72012=73×72009=343×72009=117649×72006， 7 ∴ 2012>2×62012>52012+62012． 【点睛】此题考查了有理数的大小比较，难点在于得出52012+62012<2×62012，72012>2×62012 类型二、化简求值 例．已知 ， ，则 的值是（ ） ．0 B． ．3 D． 【答】 【分析】利用同底数幂乘法、幂的乘方等法则进行计算，即可得出答． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ， 故选：． 【点睛】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方等知识点，熟练掌握相关运算法则以及逆运 算是解本题的关键． 【变式训练1】．已知 ，则 ． 【答】1． 【分析】利用幂的乘方与同底数幂相乘，得到2+1＝2×2＝6，3b+1＝3b×3＝6，进而得到 ，求出答即可． 【详解】解：∵2+1＝2×2＝3×2＝6， 3b+1＝3b×3＝2×3＝6， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． 故答为：1． 【点睛】本题考查幂的乘方与同底数幂相乘，掌握幂的乘方与同底数幂相乘的运算法则是 解题关键． 【变式训练2】．若 ， ，b=20，则 = ． 【答】1 【分析】先根据 可得 ，再结合 可得 ，由此结合 可得 ，由此可得 ，进而可求得答． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 即 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答为：1． 【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘除法法则及幂的乘方法则是解决本 题的关键． 【变式训练3】．已知 ，判断＋b 和b 的大小关系． 【答】 ． 【分析】利用幂的乘方和积的乘方将式子化简得到： ， ， ，即可求出＋b 和b 的大小关系． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查幂的乘方和积的乘方，解题的关键是熟练掌握幂的乘方和积的乘方，求 出 ． 类型三、新定义问题 例．阅读下列材料：一般地，个相同的因数相乘 ，记为 ．如 ，此时， 3 叫做以2 为底8 的对数，记为 （即 ）．一般地，若 （ 且 ， ），则叫做以为底b 的对数，记为 （即 ．如 ，则4 叫做以3 为 底81 的对数，记为 （即 ）． (1)计算以下各对数的值： ＝_____， ＝_____， ＝_____． (2)写出（1） 、 、 之间满足的关系式______． (3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论： _____（ 且 ， ， ）． (4)设 ， ，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性． 【答】(1)2，4，6 (2) (3) (4)证明见解析 【分析】（1）根据对数的定义求解； （2）认真观察，即可找到规律： ， ； （3）由特殊到一般，得出结论： ． （4）设 ， ，根据同底数幂的运算法则： 和给出的材料证 明结论． 【详解】（1）∵ ， ， ∴ ， 故答为：2，4，6； （2）∵ ， ， ， ， ∴ ， 故答为： ； （3）由（2）的结果可得 ， 故答为： ． （4）设 ， ， 则 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题是开放性的题目，难度较大．借考查同底数幂的乘法，对数，实际考查学生 对指数的理解、掌握的程度；解题的关键是要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则， 还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质． 【变式训练1】阅读理解：规定两数 ， 之间的一种运算，记作 ；如果 ，那 么 ．例如：因为 ，所以 ． (1)根据上述规定，填空： ① ______； ②若 ，则 ______； ③若 ，则 ______． (2)若 ， ， ．请探索 ， ，之间的数量关系并说明理由． 【答】(1)①2；②2；③81 (2) 【分析】（1）根据规定的运算法则结合有理数的乘方和负整数指数幂解答即可； （2）由题意可得出 ， ， ，结合 ，即得出 ，再根 据幂的乘方及其逆用法则和同底数幂乘法的逆用法则计算即可求解． 【详解】（1）解：①∵ ， ∴ ． 故答为：2； ②∵ ， ∴ ． 故答为：2； ③∵ ， ∴ ． 故答为：81． （2）解：∵ ， ， ， ∴ ， ， ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查有理数的乘方，负整数指数幂，幂的乘方及其逆用，同底数幂乘法的逆 用．理解题意，掌握新规定的运算法则是解题关键． 【变式训练2】如果 ，那么我们规定 ．例如：因为 ，所以 ． (1) ______ ；若 ，则 ______ ； (2)已知 ， ， ，若 ，求 的值； (3)若 ， ，令 ． ①求 的值； ②求的值． 【答】(1)4，64 (2) (3)① ；② 【分析】（1）由 ，可直接得出 ；由 ，可得出 ； （2）由题意可得出 ， ， ．根据 ，得出 ，即 ， 进而即可求出 ； （3）①由题意可得出 ， ，再根据 ， ，即可求出 ；②根据 ，即得出 ，结 合题意可得出 ．由①知 ，即得出 ，进而得 出 ，即说明 ，代入 中求值即可． 【详解】（1）解： ， ； ，且 ， ． 故答为： ， ； （2）解： ， ， ，若 ， ， ， ． ， ，即 ， ； （3）解：① ， ， ， ， ， ， ； ② ， ， ． 由①知： ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查有理数的乘方，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运 算法则是解题关键． 课后训练 1．计算 的结果是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】将 化为 使两个幂的指数相同，再利用积的乘方逆运算进行计算 【详解】 ， 故选： 【点睛】此题考查幂的乘方逆运算，积的乘方逆运算，熟记公式是解题的关键 2．已知 ，则 = ． 【答】8． 【分析】根据积的乘方和幂的乘方的逆运算，把等式变形，根据指数相同求解即可． 【详解】解： ， 根据积的乘方和幂的乘方，等式可变形为： ， 即 ， ， 解得， 故答为：8． 【点睛】本题考查了幂的运算的逆运算，解题关键是把等式恰当变形，依据底数相同，指 数也相同列方程． 3．已知 ， ， ， ，则、b、、d 的大小关系是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】先变形化简 ， ， ， ，比较11 次幂的底数大小即可． 【详解】因为 ， ， ， ， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 故 即 ； 同理可证 所以 ， 故选． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键． 4．已知 ， ， ，现给出3 个数，b，之间的四个关系式：① ；② ；③ ；④ ．其中，正确的关系式是 （填序号）． 【答】①②③ 【分析】根据同底数幂的乘法法则即可求出、b、的关系，代入各式验证即可． 【详解】解：∵ ， ， ． ∴ ， ， ， +2 ∴ ＝b+1＝， 即b＝+1，＝b+1，＝+2， 于是有：①+＝++2＝2+2，2b＝2+2， 所以+＝2b，因此①正确； ②+b＝++1＝2+1，2 3 ﹣＝2+4 3 ﹣＝2+1， 所以+b＝2 3 ﹣，因此②正确； ③b+＝+1++2＝2+3，因此③正确； ④b＝+1，因此④不正确； 综上所述，正确的结论有：①②③三个， 故选：． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法法则，得出、 b、的关系． 5．已知 ， ，则 ． 【答】1 【分析】本题的思路是将等式两边化成同底数幂，推出指数相等．由于 ，因此 对等式 两边同时取y 次方，可以得到 ，再把160 换成 得到 ，接着把 换成 （都等于160）得到 ，从而推出 ，最后 对 中的指数去括号，整体代入可得结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ，∴ ∵ ， , ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答为：1． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，将等式两边化成同底数幂，推 出指数相等是解题的关键． 6．比较大小： （填“>”“<”或“=”）． 【答】< 【分析】根据幂的乘方，底数大于1 时，根据指数越大幂越大，可得答． 【详解】解： ， 64<81 ∵ ， ∴ ， 即 ， 故答为：<． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，利用幂的乘方化成同指数的幂是解题关键． 7．阅读材料：的末尾数字是3， 的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是 1，的末尾数字是3，，观察规律， ，∵的末尾数字是1，∴ 的末尾数 字是1，∴ 的末尾数字是3，同理可知， 的末尾数字是9， 的末尾数字是 7．解答下列问题： (1) 的末尾数字是 ， 的末尾数字是 ； (2)求 的末尾数字； (3)求证： 能被5 整除． 【答】(1)3，6； (2)4； (3)证明见解析． 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知 的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法， 可得 的末尾数字是4， 的末尾数字是6，于是得解； （2）先将 化成 ，再利用 的末尾数字是6，从而得出结论； （3）分别证明 的末尾数字为6 和 的末尾数字9，则命题即可得证． 【详解】（1）解： ， 的末尾数字为3； 的末尾数字是4， 的末尾数字是6， 的末尾数字是4，… 的末尾数字是4， 的末尾数字是6， 的末尾数字是6； 故答为：3，6； （2）解： ， ∵ 的末尾数字是6， ∴ 的末尾数字是4； （3）证明：∵ 的末尾数字是2， 的末尾数字是4， 的末尾数字是8， 的末尾数 字是6， 的末尾数字是2，… 的末尾数字是2， 的末尾数字是4， 的末尾数字是8， 的末尾数字是 6， 的末尾数字为6； 同理可得： 的末尾数字7， 的末尾数字9， 的末尾数字3， 的末尾数字1； 的末尾数字9， ∴ 的末尾数字是5， ∴ 能被5 整除． 【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的 乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键． 8．已知：2x=3,2y=6,2z=12，试确定x，y，z 之间的关系 【答】x＋z＝2y 【详解】试题分析： 变形2y＝2×3＝2x＋1，得到y＝x＋1，变形2z＝12＝2×6＝2×2y＝2y＋1，得到z＝y＋1，从而得 到x，y，z 之间的关系． 试题解析： 因为2x＝3， 所以2y＝6＝2×3＝2×2x＝2x＋1， 2z＝12＝2×6＝2×2y＝2y＋1 所以y＝x＋1，z＝y＋1 两式相减，得 y－z＝x－y， 所以x＋z＝2y 点睛：本题主要考查了同底数幂的乘法法则的逆用，同底数幂相乘，底数不变，指数相加， 即m·=m+(m，是正整数)，逆用同底数幂的乘法法则，即m+=m·(m，是正整数)；如果几个幂的 底数相等，且幂也相等，则它们的指数也相等