专题16.6 期末专项复习之整式的乘法与因式分解十八大必考点（解析版）

专题166 整式的乘法与因式分解十八大必考点 【人版】 【考点1 幂的基本运算】.........................................................................................................................................1 【考点2 幂的逆运算】............................................................................................................................................. 3 【考点3 利用幂的运算进行比较大小】................................................................................................................. 5 【考点4 幂的混合运算】.........................................................................................................................................8 【考点5 利用幂的运算进行简便计算】............................................................................................................... 10 【考点6 幂的运算中的新定义问题】...................................................................................................................12 【考点7 整式的乘法】........................................................................................................................................... 16 【考点8 整式乘法的应用】...................................................................................................................................19 【考点9 利用乘法公式求值】...............................................................................................................................22 【考点10 乘法公式的几何背景】..........................................................................................................................26 【考点11 整式乘除的计算与化简】...................................................................................................................... 32 【考点12 整式混合运算的应用】..........................................................................................................................34 【考点13 因式分解的概念】..................................................................................................................................40 【考点14 因式分解（提公因式与公式法综合）】..............................................................................................41 【考点15 因式分解（十字相乘法）】..................................................................................................................44 【考点16 因式分解（分组分解法）】..................................................................................................................49 【考点17 利用因式分解求值】..............................................................................................................................51 【考点18 因式分解的应用】..................................................................................................................................53 【考点1 幂的基本运算】 【例1】（2022·湖南娄底·七年级期末）如果a 2n−1a n+5=a 16，那么n的值为（ ） ．4 B．5 ．6 D．7 【答】 【分析】利用同底数幂的乘方的法则对式子进行整理，即可得到关于的方程，即可求解． 【详解】∵2-1+5=16， ∴2-1++5=16， 即3+4=16， 3+4=16 ∴ ， 解得：=4． 故选：． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是熟记同底数幂的乘法的法则． 【变式1-1】（2022·广东·德庆县德庆中学七年级期末）解答下列问题： 1 （1）已知3 m=5，3 n=2，求3 3m+2n+1的值； （2）若3 x+4 y−3=0，求27 x⋅81 y的值． 【答】（1）1500；（2）27 【分析】（1）先逆用积的乘方和幂的乘方运算法则，然后将已知代入即可解答； （1）先由3 x+4 y−3=0得3x+4y=3，然后逆用积的乘方和幂的乘方运算法则将 【详解】解：（1）∵3 m=5，3 n=2， ∴3 3m+2n+1=(3 m) 3×(3 n) 2×3 1=5 3×2 2×3=1500； （2）∵3 x+4 y−3=0， ∴3 x+4 y=3， ∴27 x⋅81 y=(3 3) x⋅(3 4) y=3 3 x×3 4 y=3 3 x+4 y=3 3=27． 【点睛】本题考查了积的乘方和幂的乘方法则的逆用，灵活应用相关运算法则是解答本题 的关键． 【变式1-2】（2022·安徽合肥·七年级期末）已知3 x=4 ,3 y=6,3 z=12，则x、y、z 三者之 间关系正确的是（ ） ．xy=2z B．x+y=2z ．x+2y=2z D．x+2y=z 【答】 【分析】根据幂的乘方和积的乘方运算法则进行计算，从而作出判断． 【详解】∵3 x=4 ,3 y=6,3 z=12 ∴3 x×(3 y) 2=3 x+2 y=4×6 2=4×36=144 ∵(3 z) 2=12 2=144 ∴3 x+2 y=3 2 z ∴x+2 y=2 z 故选：． 【点睛】本题考查幂的运算，掌握幂的乘方(a m) n=a mn，积的乘方(ab) n=a nb n运算法则是 解题的关键． 【变式1-3】（2022·黑龙江·大庆市第十九中学七年级期末）已知5=2b=10，那么 ab a+b的值 为________ 【答】1 【分析】将题目中所给的式子进行化简和构造，根据同底数幂的乘法以及积的乘方证明 b=+b 即可 【详解】∵5=10，2b=10 ∴（5）b=10b ， （2b）=10； 1 即5b=10b ， 2b=10 5 ∴ b×2b=10b=10b×10=10+b 即+b=b ∴ab a+b=1 故答为1 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，有理数的乘方，积的乘方 【考点2 幂的逆运算】 【例2】（2022·四川·渠县流江初级实验中学七年级期末）如果3＝5，3b＝10，那么9 a−b的 值为( ) ．1 2 B．1 4 ．1 8 D．不能确定 【答】B 【分析】逆用幂的乘方及同底数幂的除法即可完成． 【详解】9 a−b=(3 2) a−b=(3 a−b) 2=( 3 a 3 b) 2 =( 5 10) 2 = 1 4 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆用及同底数幂的除法的逆用，用好这两个运算性质是关 键． 【变式2-1】（2022·安徽·合肥新华实验中学七年级期末）如果2 m=5，2 n=3，求： (1)2 m+2n的值； (2)8 m的值． 【答】(1)45 (2)125 【分析】（1）根据同底数幂的乘法的逆运算和幂的乘方的逆运算将原始变形为2 m×(2 n) 2， 然后将2 m=5、2 n=3代入求解即可； （2）根据幂的乘方的运算法则求解即可． （1） 解：∵2 m=5，2 n=3， ∴2 m+2n=2 m×2 2n=2 m×(2 n) 2=5×3 2=45； （2） 解：∵2 m=5，2 n=3， ∴8 m=(2 3) m=(2 m) 3=5 3=125． 1 【点睛】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法等知识，熟练掌握幂的乘方的逆运算 和同底数幂的乘法的逆运算是解题关键． 【变式2-2】（2022·北京昌平·七年级期末）将幂的运算逆向思维可以得到a m+n=a m⋅a n， a m−n=a m÷ a n，a mn=(a m) n，a mb m=(ab) m，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向 运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)5 2021×( 1 5 ) 2021=¿ ______ ； (2)若3×9 m×27 m=3 11，求m的值； 【答】(1)1 (2)2 【分析】（1）根据a mb m=(ab) m，计算求解即可； （2）根据3×9 m×27 m=3×(3 2) m×(3 3) m=3×3 2m×3 3m=3 1+2m+3m=3 11，可得 1+2m+3m=11，计算求解即可． (1) 解：由题意知，5 2021×( 1 5) 2021 =(5× 1 5) 2021 =1 2021=1， 故答为：1． (2) 解：∵3×9 m×27 m=3×(3 2) m×(3 3) m=3×3 2m×3 3m=3 1+2m+3m=3 11， ∴1+2m+3m=11， 解得m=2， ∴m的值为2． 【点睛】本题考查了幂的乘方、积的乘法的逆运算，同底数幂的乘法．解题的关键在于对 运算法则的熟练掌握与灵活运用． 【变式2-3】（2022·四川省渠县中学七年级期末）（1）已知4m＝，8＝b，用含，b 的式子 表示下列代数式： ①求：2 2m+3n的值． ②求：2 2m−6n的值． （2）已知2×8x×16＝223，求x 的值． 【答】（1）①ab；②a b 2；（2）x=6． 【分析】（1）①根据题意分别将4m，8 化为底数为2 的形式，然后代入求解；②根据题意 分别将4m，8 化为底数为2 的形式，然后代入求解； 1 （2）由题意将8x 化为23x，将16 化为24，列出方程求出x 的值． 【详解】解：（1）∵4m=，8=b， ∴2 2m=a，2 3n=b， ①2 2m+3n=2 2m·2 3n=ab； ②2 2m−6n=2 2m÷2 6n=2 2m÷(2 3n) 2= a b 2； （2）∵2×8x×16=223， 2× ∴ （23）x×24=223， 2×2 ∴ 3x×24=223，即23x+5=223 3 ∴x+5=23， 解得：x=6． 【点睛】本题考查同底数幂的除法的逆运算以及幂的乘方的逆运算和积的乘方的逆运算， 熟练掌握相关的运算法则是解答本题的关键． 【考点3 利用幂的运算进行比较大小】 【例3】（2022·福建省罗源第二中学八年级期末）若＝3555，b＝4444 ，＝5333，比较、b、的 大小（ ） ．＞b＞ B．b＞＞ ．＞＞b D．＞b＞ 【答】B 【分析】根据幂的乘方的性质，得3 555=243 111，4 444=256 111，5 333=125 111，从而完成求 解． 【详解】3 555=(3 5) 111=243 111，4 444=(4 4) 111=256 111，5 333=(5 3) 111=125 111 ∵256>243>125 ∴256 111>243 111>125 111 ∴4 444>3 555>5 333，即b＞＞ 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的乘方的知识；解题的关键是熟练掌握幂的乘方的性质，从而完成 求解． 【变式3-1】（2022·江苏·江阴市华士实验中学七年级期末）阅读下列材料: 若a 3=2,b 5=3，则，b 的大小关系是_____ b (填“<”或“>”) 解:因为a 15=(a 3) 5=2 5=32,b 15=(b 5) 3=3 3=27,32>27，所以a 15>b 15， 所以a>b 解答下列问题: (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质_ 1 ．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 ．幂的乘方 D．积的乘方 (2)已知x 5=2, y 7=3，试比较x 与y 的大小． 【答】＞ （1） （2）x< y 【分析】（1）根据幂的乘方进行解答即可； （2）根据题目所给的求解方法，进行比较． 【详解】∵a 15=(a 3) 5=2 5=32, b 15=(b 5) 3=3 3=27 , 32>27， 所以a 15>b 15， 所以>b，故答为 >; (1)上述求解过程中，逆用了幕的乘方，故选; (2) ∵x 35=( x 5) 7=2 7=128, y 35=( y 7) 5=3 5=243, 243>128， ∴x 15< y 35， ∴x< y 【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，根据题目所给的运算方法进行比较是解题的关 键． 【变式3-2】（2022·内蒙古·赤峰市松山区大庙中学八年级期末）阅读探究题：． 【阅读材料】 比较两个底数大于1 的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数 （或底数）的大小， 如：2 5>2 3，5 5>4 5 在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：27 10与3 25， 解：27 10=(3 3) 10=3 30，∵30>25，∴3 30>3 25 [类比解答]比较25 4，125 3的大小． [拓展拔高]比较3 555，4 444，5 333的大小． 【答】【类比解答】25 4<125 3；【拓展拔高】5 333<3 555<4 444． 【分析】【类比解答】可以将底数都化为5，利用幂的乘方的逆运算法则变形后再进行比 较； 【拓展拔高】观察三个式子的特点，可以利用幂的乘方逆运算法则将指数都变形为111， 再进行比较． 【详解】【类比解答】解：25 4=(5 2) 4=5 8，125 3=(5 3) 3=5 9， ∵8<9， ∴5 8<5 9，即25 4<125 3； 【拓展拔高】解：∵3 555=(3 5) 111，4 444=(4 4) 111，5 333=(5 3) 111， 又∵3 5=243，4 4=256，5 3=125， 1 ∴5 3<3 5<4 4， ∴5 333<3 555<4 444． 【点睛】本题考查了幂的运算性质，正确理解题意、灵活应用幂的乘方逆运算法则是解题 的关键． 【变式3-3】（2022·河北石家庄·七年级期末）阅读：已知正整数a，b，c，若对于同底数， 不同指数的两个幂a b和a c (a≠1)，当b>c时，则有a b>a c；若对于同指数，不同底数的两 个幂a b和c b，当a>c时，则有a b>c b，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写 出比较的具体过程] (1)比较大小：5 20______4 20，9 61______27 41；（填“>”、“<”或“=”） (2)比较2 33与3 22的大小； (3)比较3 12×5 10与3 10×5 12的大小． 【答】(1)>，< (2)2 33<3 22 (3)3 12×5 10<3 10×5 12 【分析】（1）根据“同指数，不同底数的两个幂a b和c b，当a>c时，则有a b>c b，”即可 比较5 20和4 20的大小；根据“对于同底数，不同指数的两个幂a b和a c (a≠1)，当b>c时， 则有a b>a c，即可比较9 61和27 41的大小； （2）据“对于同底数，不同指数的两个幂a b和a c (a≠1)，当b>c时，则有a b>a c”，即 可比较2 33与3 22的大小； （3）利用作商法，即可比较3 12×5 10和3 10×5 12的大小． （1） 解：∵5>4， ∴5 20>4 20， ∵9 61=(3 2) 61=3 122，27 41=(3 3) 41=3 123，122<123， ∴9 61<27 41， 故答为：¿，¿； （2） 解：∵2 33=(2 3) 11=8 11，3 22=(3 2) 11=9 11，8<9， ∴2