题型1 计算（复习讲义）（实数运算、式的计算、方程、不等式）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 题型一计算（实数运算、式的计算、方程、不等式） 复习讲义 【要点归纳|典例解析】 考点01 实数 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 1．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴数轴上所有的点与全体实数一 一对应 2．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若、b 互为相反数， 则+b=0 3．倒数：1 除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数若、b 互为倒数，则 b=1 4．绝对值：数轴上表示数的点与原点的距离，记作 || 5．（1）按照定义分类 （2）按照正负分类 注意：0 既不属于正数，也不属于负数另外，在理解无理数时，要注意“无限不循环”， 归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如 ， 等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π 的数，如 等； （3）有特定结构的数，如0101 001 000 1…等； （4）某些三角函数，如s60°等 6．科学记数法：科学记数法的表示形式为×10 的形式，其中1≤||＜10，为整数．当原 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 数绝对值大于10 时，写成×10 的形式，其中1≤||＜10，等于原数的整数位数减1；当 原数绝对值小于1 时，写成×10−的形式，其中1≤||＜10，等于原数左边第一个非零的数 字前的所有零的个数（包括小数点前面的零） 7．近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取 得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位 8．二次根式的性质 （1） √a ≥ 0（ a ≥0）；（2） (√a)2=a(a≥0) ； （3） ； （4） ；（5） ． 9．二次根式的运算 （1）二次根式的加减 合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若 有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式． （2）二次根式的乘除 乘法法则： ；除法法则： ． （3）二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的 先算括号内的． 在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用． 10．数的乘方：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂在中，叫底数，叫指 数 11．实数的运算： （1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换 律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律 （2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 12．指数，负整数指数幂：≠0，则0=1；若≠0，为正整数，则 13．数的大小比较常用以下几种方法：数轴比较法、差值比较法、绝对值比较法、乘方比 较法、中间值比较法等等 14、特殊角的三角函数值 α sα sα tα 30° 45° 1 60° 1．（2023·四川达州·统考中考真题） 的倒数是（ ） ． B．2023 ． D． 【答】 【分析】根据相乘等于1 的两个数互为倒数，即可求解． 【详解】解： 的倒数是 ， 故选：． 【点睛】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解题的关键． 2．（2023·重庆·统考中考真题）8 的相反数是（ ） ． B．8 ． D． 【答】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【详解】解：8 的相反数是 ， 故选：． 【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 3．（2022·湖南邵阳）－2022 的绝对值是（ ） ． B． ．－2022 D．2022 【答】D 【分析】直接利用绝对值定义判断即可． 【详解】解：-2022 的绝对值是2022，故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值的定义，明确负数的绝对值等于它的相反数是解题关键． 4．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）﹣8 的立方根是（ ） ．±2 B．2 ．﹣2 D．不存在 【答】 【分析】根据立方根的定义进行解答． 【详解】∵（﹣2）3= 8 ﹣， 8 ∴﹣的立方根是﹣2， 故选：． 【点睛】本题主要考查了立方根，解决本题的关键是数积立方根的定义． 5（2022·江西）实数，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据数轴上点的特点，进行判断即可． 【详解】B 根据数轴上点、b 的位置可知， ， ，∴ ，故B 错误，正确； 根据数轴上点、b 的位置可知， ，故D 错误．故选：． 【点睛】本题主要考查了数轴上点的特点，熟练掌握数轴上点表示的数，越向右越大，是 解题的关键． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 6．（2023 年安徽省滁州市南片五校中考二模数学试卷） 的倒数是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据倒数的概念，乘积为的两个数互为倒数，由此即可求解． 【详解】解： 的倒数是 ， 故选： ． 【点睛】本题主要考查求一个数的倒数，掌握倒数的概念是解题的关键． 7（2022·山东泰安） 的倒数是（ ） ． B． ．5 D． 【答】 【详解】根据两个数乘积是1 的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用1 除以这个 数．所以结合绝对值的意义，得 的倒数为 ．故选． 8．（2023·江西·统考中考真题）下列各数中，正整数是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据有理数的分类即可求解． 【详解】解：是正整数， 是小数，不是整数，不是正数， 不是正数， 故选：． 【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 9．（2023·江苏扬州·统考中考真题）已知 ，则、b、的大小关系是( ) ． B． ． D． 【答】 【分析】由 ， ，进行判断即可． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， 故选：． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 10（2022·湖南邵阳）5 月29 日腾讯新闻报道，2022 年第一季度，湖南全省地区生产总值 约为11000 亿元，11000 亿用科学记数法可表示为 ，则 的值是（ ） ．011 B．11 ．11 D．11000 【答】B 【分析】科学记数法的表示形式为×10 的形式，其中1≤||＜10，为整数．确定的值时，整数 位数减1 即可．当原数绝对值＞10 时，是正数；当原数的绝对值＜1 时，是负数． 【详解】解：因为1 亿=108，所以11000 亿用科学记数法表示为11×104×108=11×1012．故 选：B． 【点睛】此题考查了科学记数法表示绝对值大于1 的数．解题的关键是关键知道1 亿 =108，要正确确定的值以及的值． 11（2022·四川自贡）下列运算正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据乘方运算，平方差公式，同底数幂的除法法则，零指数幂的运算法则进行运 算即可． 【详解】 ，故错误；B ，故B 正确； ，故错误；D ，故D 错误．故选：B． 【点睛】本题主要考查了整式的运算和实数的运算，熟练掌握平方差公式，同底数幂的除 法法则，零指数幂的运算法则，是解题的关键． 12．（2023·四川凉山·统考中考真题）下列各数中，为有理数的是（ ） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ． B． ． D． 【答】 【分析】根据立方根、无理数与有理数的概念即可得． 【详解】解：、 ，是有理数，则此项符合题意； B、 是无限不循环小数，是无理数，则此项不符合题意； 、 是无理数，则此项不符合题意； D、 是无理数，则此项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了立方根、无理数与有理数，熟记无理数与有理数的概念是解题关键． 13．（2023·浙江台州·统考中考真题）下列各数中，最小的是（ ）． ．2 B．1 ． D． 【答】D 【分析】根据正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反而小判断即可． 【详解】解：∵2，1 是正数， ， 是负数， ∴最小数的是在 ， 里， 又 ， ，且 ， ∴ ， ∴最小数的是 ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数大小比较，解答此题的关键是掌握有理数大小比较法则． 14（2022·四川凉山）化简： ＝（ ） ．±2 B．－2 ．4 D．2 【答】D 【分析】先计算（-2）2=4，再求算术平方根即可． 【详解】解： ，故选：D． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【点睛】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 15．（2023·四川泸州·统考中考真题）8 的立方根为______． 【答】2 【分析】根据立方根的意义即可完成． 【详解】∵ 8 ∴的立方根为2 故答为：2 【点睛】本题考查了立方根的意义，掌握立方根的意义是关键． 16．（2023·四川广安·统考中考真题） 的平方根是_______． 【答】±2 【详解】解：∵ ∴ 的平方根是±2． 故答为：±2． 17．（2023·重庆·统考中考真题）计算： ________． 【答】6 【分析】根据绝对值、零指数幂法则计算即可． 【详解】解： ． 故答为：6． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键． 18．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，数轴上的点 分别对应实数 ，则 __________0(用“ ”“ ”或“ ”填空) 【答】 【分析】根据数轴可得 ，进而即可求解． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【详解】解：由数轴可得 ∴ 故答为： 【点睛】本题考查了实数与数轴，有理数加法的运算法则，数形结合是解题的关键． 19．（2023·浙江金华·统考中考真题）计算： ． 【答】 【分析】根据零指数幂、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的意义，计算 即可． 【详解】解：原式 ， ， ． 【点睛】本题考查了零指数幂、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的意义． 本题的关键是注意各部分的运算法则，细心计算． 20（2022·新疆）计算： 【答】 【分析】分别计算有理数的乘方、绝对值、二次根式及零指数幂，再进行加减即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的乘方，绝对值和二次根式的化简及零指数幂的性质，属于基础 题，正确运算是解题的关键．要熟练掌握：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1， ． 21．（2023·四川泸州·统考中考真题）计算： ． 【答】3 【分析】根据负整数指数幂和零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，进行计算即可． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂和零指数幂 运算法则，特殊角的三角函数值，准确计算． 22（2022·四川泸州）计算： ． 【答】2 【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数、绝对值的性质化简即可． 【详解】原式= =2． 【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 23．（2023·四川广安·统考中考真题）计算： 【答】 【分析】先计算有理数的乘方、零指数幂、特殊角的余弦值、化简绝对值，再计算乘法与 加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了零指数幂、特殊角的余弦值、实数的混合运算，熟练掌握各运算法则 是解题关键． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 24（2022·湖南邵阳）计算： ． 【答】5- 【分析】先计算零指数幂、负指数幂、锐角三角函数值，再计算二次根式的乘法和加减法． 【详解】解： =1+4-2× =5- ． 【点睛】此题考查了零指数幂、负指数幂、锐角三角函数值，解题的关键是熟练掌握零指 数幂、负指数幂、锐角三角函数值的计算法则． 25．（2023·江苏连云港·统考中考真题）计算 ． 【答】3 【分析】根据化简绝对值，零指数幂以及负整数指数幂进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握化简绝对值，零指数幂以及负整数指数幂 是解题的关键． 26（2022·湖南株洲）计算： ． 【答】3 【分析】分别计算负数的偶次幂、二次根式、特殊角的正弦值，再进行加减即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查负数的偶次幂、二次根式化简以及特殊角的三角函数值，属于基础题， 正确计算是解题的关键． 27．（2023·云南·统考中考真题）计算： ． 【答】6 【分析】根据绝对值的性质、零指数幂的性质、负指数幂的性质和特殊角的三角函数值分 别化简计算即可得出答． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值的性质、零指数幂的性质、负指数幂的 性质和特殊角的三角函数值是解题的关键． 28．（2023·湖南怀化·统考中考真题）计算： 【答】 【分析】先计算负整数指数幂、算术平方根、零指数幂、减法运算，再进行加减混合运算 即可． 【详解】解： 【点睛】此题考查了实数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 29．（2023·上海·统考中考真题）计算： 【答】 【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整 数指数幂及二次根式的运算是解题的关键． 30．（2023·四川遂宁·统考中考真题）计算： 【答】 【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，幂的运算法则计算即可． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【详解】 ． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，幂的运算，熟记三角函数值，零指 数幂的运算公式是解题的关键． 31（2022·四川德阳）计算： ． 【答】 【分析】根据二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以 及负整数指数幂的运算法则分别化简后再进行实数的加减法运算． 【详解】解： ． 【点睛】此题考查实数的运算法则，正确掌握二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角 的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则是解题的关键． 考点02 整式 1．单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和 叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数 注：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如 ，这种表示就是错误的，应写成 ；一个单项式中，所有字母的指数的和 叫做这个单项式的次数。如 是6 次单项式。 2．多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项 3．整式：单项式和多项式统称为整式 4．同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项 5．整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项 6．幂的运算：m·=m+；（m）=m；（b）=b；m÷= 7．整式的乘法： （1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里 含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 （2）单项式与多项式相乘：m（+b+）=m+mb+m （3）多项式与多项式相乘：（m+）（+b）=m+mb++b 8．乘法公式： （1）平方差公式： （2）完全平方公式： 9．整式的除法： （1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除 式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式 （2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加 10．把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运 算 11．因式分解的基本方法： （1）提取公因式法： （2）公式法： 运用平方差公式： 运用完全平方公式： 12．分解因式的一般步骤： （1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式; 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法： 为两项时，考虑平方差公式； 为三项时，考虑完全平方公式； 为四项时，考虑利用分组的方法进行分解; （3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止 以上步骤可以概括为“一提二套三检查” 1．（2023·四川眉山·统考中考真题）下列运算中，正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】根据合并同类项可判断，根据完全平方公式可判断B，根据单项式除以单项式可 判断，根据积的乘方与幂的乘方运算可判断D，从而可得答． 【详解】解： ， 不是同类项，不能合并，故不符合题意； ，故B 不符合题意； ，故不符合题意； ，故D 符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是合并同类项，完全平方公式的应用，单项式除以单项式，积的乘方 与幂的乘方运算的含义，熟记基础运算法则是解本题的关键． 2．（2023·江苏苏州·统考中考真题）下列运算正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 则分别计算即可． 【详解】解： 与 不是同类项，不能合并，故选项错误； ，故B 选项正确； ，故选项错误； ，故D 选项错误； 故选：B． 【点