全等模型—倍长中线模型 夯实双基，稳中求进 倍长中线模型 题型一：求三角形中线取值范围 【例1】（2021·重庆市暨华中学校八年级月考）在 中， ，中线 ，则 边的取值范围 （ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】延长D 至E，使DE=D，然后利用“边角边”证明△BD 和△ED 全等，根据全等三角形对应边相等 可得B=E，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出E 三角形的中线：三角形的顶点和对边中点的连线 三角形边长的不等关系：在三角形中，两边之和大于第三边，两边只差小于第三边 倍长中线定义：“倍长中线”是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶 点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之 间的关系（通常用“SS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 ∵D 是△B 的中线， ∴BD=D， 在△BD 和△ED 中， ， ∴△BD≌△ED（SS）， ∴B=E， ∵D=7， ∴E=7+7=14， 14+5=19 ∵ ，14-5=9， 9 ∴＜E＜19， 即9＜B＜19． 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之 差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．

专题13 全等模型-倍长中线与截长补短模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三 角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1 倍长中线模型 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添 加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角 出全等三角形，从而运用全等三角 形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 【常见模型及证法】 1、基本型：如图1，在三角形B 中，D 为B 边上的中线 证明思路：延长D 至点E，使得D=DE 若连结BE，则 ；若连结E，则 ； 2、中点型:如图2， 为 的中点 证明思路：若延长 至点 ，使得 ，连结 ，则 ; 若延长 至点 ，使得 ，连结 证明思路：延长 交 于点 (或交 延长线于点 )，则 例1．（2023·江苏徐州·模拟预测）（1）阅读理解： 如图①，在 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围． 可以用如下方法：将 绕着点 逆时针旋转 得到 ，在 中，利用三角形三边的关系 即可判断中线 的取值范围是______； （2）问题解决：如图②，在 中， 是 边上的中点， 于点 ， 交 于点 ， 交 于点 ，连接 ，求证： ； （3）问题拓展：如图③，在四边形

专题13 全等模型-倍长中线与截长补短模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三 角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1 倍长中线模型 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添 加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角 出全等三角形，从而运用全等三角 形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 【常见模型及证法】 1、基本型：如图1，在三角形B 中，D 为B 边上的中线 证明思路：延长D 至点E，使得D=DE 若连结BE，则 ；若连结E，则 ； 2、中点型:如图2， 为 的中点 证明思路：若延长 至点 ，使得 ，连结 ，则 ; 若延长 至点 ，使得 ，连结 证明思路：延长 交 于点 (或交 延长线于点 )，则 例1．（2023·江苏徐州·模拟预测）（1）阅读理解： 如图①，在 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围． 可以用如下方法：将 绕着点 逆时针旋转 得到 ，在 中，利用三角形三边的关系 即可判断中线 的取值范围是______； （2）问题解决：如图②，在 中， 是 边上的中点， 于点 ， 交 于点 ， 交 于点 ，连接 ，求证： ； （3）问题拓展：如图③，在四边形

全等三角形 模型（十三）——倍长中线模型 ◎结论：如图，D 为△B 的中线，则D＜ 1 2 （B+） 证明：延长D 到E,使DE=D,连接BE 在△D 和△EDB 中 D=ED, D= ∠ ∠EDB,D=BD D BD ∴△≌ E = ∴EB 在△BE 中,由三角形三边关系可得E中线 ，则 边的取值范 围是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】延长 至 ，使 ，然后利用“边角边”证明 和 全等，根据全等三角形对应边相 等可得 ，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出 的取值范 围，即为 的取值范围． 【详解】解：如图，延长 至 ，使 ， ∵ 是 的中线， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第 三边．“遇中线，加倍延”构造全等三角形是解题的关键． 2．（2021·广西·灵山县烟墩中学八年级期中）如图，已知D 是△B 中B 边上的中线，B＝5，＝3，则D 的取值范围 是（ ） ．2＜D＜8 B．1＜D＜4 ．2＜D＜5 D．4≤D≤8 【答】B 【分析】如图所示，延长D

全等三角形 模型（十三）——倍长中线模型 ◎结论：如图，D 为△B 的中线，则D＜ 1 2 （B+） 证明：延长D 到E,使DE=D,连接BE 在△D 和△EDB 中 D=ED, D= ∠ ∠EDB,D=BD D BD ∴△≌ E = ∴EB 在△BE 中,由三角形三边关系可得E中线 ，则 边的取值范 围是（ ） ． B． ． D． 2．（2021·广西·灵山县烟墩中学八年级期中）如图，已知D 是△B 中B 边上的中线，B＝5，＝3，则D 的取值范围 是（ ） ．2＜D＜8 B．1＜D＜4 ．2＜D＜5 D．4≤D≤8 1．（2021·辽宁·盘锦市第一完全中学八年级期中）在 中，B＝6，＝10，那么中线D 边的取值范围是 ___． ___． 2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在 中， 是 边上的中线， ， ，则 的取值范 围是________． 3．（2022·浙江·杭州市保俶塔实验学校八年级期中）如图，平行四边形BD，点F 是B 上的一点，连接F，∠FD＝ 60°，E 平分∠FD，交D 于点E，且点E 是D 的中点，连接EF，已知D＝5，F＝3，则EF＝__． 1．（2021·甘肃兰州·模拟预测）如图，在△B 中，B＝4，＝2，点D

专题05 二次函数中线段最值的三种考法 类型一、单线段转化为二次函数最值问题 例．如图，已知二次函数 的图象与x 轴交于、B 两点，其中点的坐标为 ，与y 轴交于点，点 在抛物线上； (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得 周长最小，若存在，求出P 点的坐标及 周长的最小值； (3)若点M 是直线 下方的抛物线上的一动点，过M 作y 轴的平行线与线段

专题05 二次函数中线段最值的三种考法 类型一、单线段转化为二次函数最值问题 例．如图，已知二次函数 的图象与x 轴交于、B 两点，其中点的坐标为 ，与y 轴交于点，点 在抛物线上； (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得 周长最小，若存在，求出P 点的坐标及 周长的最小值； (3)若点M 是直线 下方的抛物线上的一动点，过M 作y 轴的平行线与线段

专题18 全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三 角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 ..........................................................................................2 模型1 倍长中线模型................................................................................................. ...............20 模型1 倍长中线模型 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。 所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关 知识来解决问题的方法。（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 倍长中线在全等三角形的辅助线做法中，难度不是特别大，相对好理解和掌握。

专题18 全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三 角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 ..........................................................................................2 模型1 倍长中线模型................................................................................................. ...............20 模型1 倍长中线模型 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。 所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关 知识来解决问题的方法。（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 倍长中线在全等三角形的辅助线做法中，难度不是特别大，相对好理解和掌握。

重难点突破08 全等三角形8 种模型 （一线三等角、手拉手模型、倍长中线、截长补短、婆罗摩笈多、半角模型、 平行线中点模型与雨伞模型） 目 录 题型01 一线三等角模型（含一线三垂直模型） 题型02 手拉手模型 题型03 倍长中线模型 题型04 平行线中点模型与雨伞模型 题型05 截长补短模型 题型06 婆罗摩笈多模型 题型07 半角模型 题型01 一线三等角模型（含一线三垂直模型） ,0°<β<180°)，得到△A B 'C '，使∠BAC+∠B ' A C '=180°，我们 称△A B 'C '是△ABC的“旋补三角形”，△A B 'C '的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点叫做“旋 补中心”．下列结论正确的有 ． ①△ABC与△A B 'C '面积相同； ②BC=2 AD； ③若AB=AC，连接B B '和C C '，则∠B 即∠B ' BC+∠C C ' B '=180°，故③正确； ∵BC=6， ∴根据②可知，AD=1 2 BC=3， ∵当AB=AC时，AB=A B '=A C '=AC=4，AD为中线， ∴AD⊥B 'C '， ∴∠AD B '=90°， ∴B ' D= ❑ √A B '2−A D 2= ❑ √4 2−3 2=❑ √7， ∴B 'C '=2B '