专题05 二次函数中线段最值的三种考法（原卷版）

专题05 二次函数中线段最值的三种考法 类型一、单线段转化为二次函数最值问题 例．如图，已知二次函数 的图象与x 轴交于、B 两点，其中点的坐标为 ，与y 轴交于点，点 在抛物线上； (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得 周长最小，若存在，求出P 点的坐标及 周长的最小值； (3)若点M 是直线 下方的抛物线上的一动点，过M 作y 轴的平行线与线段 交于点， 求线段 的最大值． 【变式训练1】如图，已知抛物线 ： ，抛物线 与 关于点 中心对称， 与 相交于，B 两点，点M 在抛物线 上，且位于点和点B 之间；点在抛物线 上， 也位于点和点B 之间，且 轴． (1)求抛物线 的表达式； (2)求线段 长度的最大值． 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 关于直线 对称，且 经过x 轴上的两点、B 与y 轴交于点，直线 的解析式为 ． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P 为直线 上方的抛物线上的一点，过点P 作 轴于M，交 于Q，求 的最大值； (3)当 取最大值时，求 的面积． 类型二、将军饮马型最值问题 例．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两 点，与 轴交于点 ，点 是点 关于 轴的对称点． (1)求抛物线与直线 的解析式； (2)点 为直线 上方抛物线上一动点，当 的面积最大时，求点 的坐标． (3)在（2）的条件下，当 的面积最大时，在抛物线的对称轴上有一动点 ，在 上有一动点 ，且 ，求 的最小值； 【变式训练1】如图，已知抛物线 与x 轴相交于 、 两点，并与直线 交于 、 两点，其中点 是直线 与 轴的交点，连接 ． (1)求 、 两点坐标以及抛物线的解析式； (2)证明： 为直角三角形； (3)求抛物线的顶点 的坐标，并求出四边形 的面积； (4)在抛物线的对称轴上有一点 ，当 周长的最小时，直接写出点 的坐标． 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x 轴交于 ， 两点，与y 轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P 是位于直线 上方抛物线上的一个动点，求 面积的最大值； (3)若点D 是y 轴上的一点，且以B、、D 为顶点的三角形与△B 相似，求点D 的坐标； (4)若点E 为抛物线的顶点，点 是该抛物线上的一点，点M 在x 轴、点在y 轴上，是 否存在点M、使四边形 的周长最小，若存在，请直接写出点M、点的坐标；若不存 在，请说明理由． 类型三、胡不归最值问题 例．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．已知点 的坐标是 ，抛物线的对称轴是直线 ． (1)直接写出点 的坐标； (2)在对称轴上找一点 ，使 的值最小．求点 的坐标和 的最小值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点 ，过点 作 轴，垂足为 ，连接 交 于点 ．依题意补全图形，当 的值最大时，求点 的坐标． 【变式训练1】如图，抛物线 的图象经过 ， ， 三点， 且一次函数 的图象经过点 ． (1)求抛物线和一次函数的解析式． (2)点 ， 为平面内两点，若以 、 、 、 为顶点的四边形是正方形，且点 在点 的左侧．这样的 ， 两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点 的坐标： 如果不存在，请说明理由． (3)将抛物线 的图象向右平移个单位长度得到抛物线 ，此抛物线的图象 与 轴交于 ， 两点（ 点在 点左侧）．点 是抛物线 上的一个动点且在直线 下方．已知点 的横坐标为 ．过点 作 于点 ．求 为何值时， 有最大值，最大值是多少？ 【变式训练2】已知抛物线 与x 轴交于 两点，与y 轴交于点 ，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式与顶点D 的坐标； (2)如图1，点P 是抛物线上位于直线 下方的一动点，连接 与 相交于点E，已知 ，求点E 的坐标； (3)如图2，抛物线的对称轴与x 轴交于点，在抛物线对称轴上有一个动点M，连接 ．求 的最小值． 【变式训练3】已知抛物线 过点 ， 两点，与 轴交于点 ， ， (1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标； (2)点 为抛物线上位于直线 下方的一动点，当 面积最大时，求点 的坐标； (3)若点 为线段 上的一动点，问： 是否存在最小值？若存在，求出这个最 小值；若不存在，请说明理由． 课后训练 1．如图1，抛物线 与x 轴交于点 ，与y 轴交于点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)点P 是该抛物线上的动点，设点P 的横坐标为t（ ）． ①当 时，求此时四边形 的面积； ②如图2，过点P 作 轴于点D，作 轴于点E，当 时，求t 的值； ③如图3，连接 ，过点P 作 于点D，求线段 的长的最大值，并求出点P 的坐标． 2．已知抛物线 与x 轴交于 ， 两点，与y 轴交于点，直线 经过点B，点P 在抛物线上，设点P 的横坐标为m． (1)填空： _________， _________， _________； (2)如图1，连接 ， ， ，若 是以 为斜边的直角三角形，求点P 的坐标； (3)如图2，若点P 在直线 上方的抛物线上，过点P 作 ，垂足为Q，求 的最大值． 3．如图，在平面直角坐标系中， 绕原点逆时针旋转 得到 ，其中点的坐标 为 ． (1)写出点的坐标______，B 点的坐标______； (2)若二次函数 经过，B，三点，求该二次函数的解析式；