专题05 二次函数中线段最值的三种考法（解析版）

专题05 二次函数中线段最值的三种考法 类型一、单线段转化为二次函数最值问题 例．如图，已知二次函数 的图象与x 轴交于、B 两点，其中点的坐标为 ，与y 轴交于点，点 在抛物线上； (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得 周长最小，若存在，求出P 点的坐标及 周长的最小值； (3)若点M 是直线 下方的抛物线上的一动点，过M 作y 轴的平行线与线段 交于点， 求线段 的最大值． 【答】(1) (2) , (3) 【分析】（1）将点、D 的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）点关于函数对称轴的对称点为点B，连接 交函数对称轴于点P，则点P 为所求点， 求出直线 的表达式，进一步即可求解； （3）先求出直线 解析式，设横坐标为x，用含x 的代数式表示线段 ，再利用二次 函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点 、 代入抛物线表达式得： ， 解得： ， 抛物线的表达式为： ； （2） ，令 ，则 , 解得 或 ， 令 ，则 ， 故点B、的坐标分别为： 、 ； 函数的对称轴为直线 ， 点关于函数对称轴的对称点为点B，连接 交函数对称轴于点P，则点P 为所求点， 设直线 的表达式为 ， 将点D、B 的坐标代入一次函数表达式 得： ， 解得： ， 故BD 的函数表达式为 ， 当 时， ，即点 ， 此时 周长的最小值 ； （3）如图， 设直线 的解析式是 ， 把点 ， 代入 中 ， 解得 ， ∴直线 解析式为 ． 设横坐标为x，则 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴抛物线开口向下， ∴当 时， 的最大值为 ． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到抛物线和直线的待定系数法求解析式，轴 对称-最短问题，二次函数的最值等，解题关键是熟练掌握待定系数法求抛物线解析式． 【变式训练1】如图，已知抛物线 ： ，抛物线 与 关于点 中心对称， 与 相交于，B 两点，点M 在抛物线 上，且位于点和点B 之间；点在抛物线 上， 也位于点和点B 之间，且 轴． (1)求抛物线 的表达式； (2)求线段 长度的最大值． 【答】(1) ；(2)8 【分析】（1）先求出抛物线 ： 的顶点坐标为 ，然后求出点 关于 对称后的点坐标为 ，再抛物线 的解析式为： ； （2）先求出、B 两点横坐标分别为 和，设 ， 其中 ， 则 ，求出最大值即可． 【详解】（1）解：抛物线 ： 的顶点坐标为 ， 点 关于 对称后的点坐标为 ， ∵抛物线 与抛物线 关于 成中心对称， ∴抛物线 的解析式为： ． （2）解：∵抛物线 ： 与 ： 交于、B， ∴令 ， 解得： 或 ， 则、B 两点横坐标分别为 和， 设 ， ，其中 ， 则 ， ∴当 时， 最大为8． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，中点坐标公式，二次函数的最值，解题的关 键是数形结合，利用对称的特征，再根据顶点情况求解析式以及根据二次函数解析式求最 大值． 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 关于直线 对称，且 经过x 轴上的两点、B 与y 轴交于点，直线 的解析式为 ． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P 为直线 上方的抛物线上的一点，过点P 作 轴于M，交 于Q，求 的最大值； (3)当 取最大值时，求 的面积． 【答】(1) ；(2)1；(3)2 【分析】（1）先求出、的坐标，再根据二次函数的对称性求出点B 的坐标 ，再利用待定 系数法求解即可； （2）设 ，则 ，则 ，由二次函数 的性质求解即可； （3）根据 ， 进行求解即可． 【详解】（1）解：在 中，令 ，则 ，令 ，则 ， ∴ ， ∵抛物线 关于直线 对称，且经过x 轴上的两点、B 与y 轴交于点， ∴ ， ∴可设抛物线解析式为 ， 把 代入 中得 ， ∴ ， ∴抛物线解析式为 ； （2）解：设 ，则 ， ∴ ， ∵ ，∴当 时， 最大，最大值为1； （3）解：由（2）得当 最大时， ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，求二次函数解析式等等； 灵活运用所学知识是解题的关键． 类型二、将军饮马型最值问题 例．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两 点，与 轴交于点 ，点 是点 关于 轴的对称点． (1)求抛物线与直线 的解析式； (2)点 为直线 上方抛物线上一动点，当 的面积最大时，求点 的坐标． (3)在（2）的条件下，当 的面积最大时，在抛物线的对称轴上有一动点 ，在 上有一动点 ，且 ，求 的最小值； 【答】(1)抛物线的解析式为 ，直线 的解析式为 ； (2)点 的坐标为( ， )； (3) 的最小值为 ； 【分析】（1）抛物线 与 轴交于 ， 、 ， 两点，由两点式即 可得到抛物线的解析式，求得点 的坐标，利用待定系数法即可求得直线 的解析式； （2）过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ，求得直线 的解析式为 ， 设点 的坐标为 ， ，则点 的坐标为 ， ，求得PE 关于m 的二次函数，利用二次函数的性质即可求解； （3）作点 关于直线 的对称点 ，求得点 的坐标为 ， ，过点 作直线 的垂线 ，垂足为 ，交直线 于点 ，则 的最小值为 的长，证明 ，利用相似三角形的性质即可求解； 【详解】（1）解： 抛物线 与 轴交于 ， 、 ， 两点， 抛物线的解析式为 ， 令 ，则 ， 点 ， ， 点 是点 关于 轴的对称点， 点 ， ， 设直线 的解析式为 ， ， ， 直线 的解析式为 ； （2）解：过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ， 的面积 ， 当 取得最大值时， 的面积有最大值， 同理求得直线 的解析式为 ， 设点 的坐标为 ， ，则点 的坐标为 ， ， ， ， 当 时， 有最大值， 的面积有最大值， 此时点 的坐标为 ， ； （3）解：抛物线 的对称轴为直线 ， 作点 关于直线 的对称点 ， 点 的坐标为 ， ， 点 的坐标为 ， ， 过点 作直线 的垂线 ，垂足为 ，交直线 于点 ， 此时 ，根据垂线段最短知 的最小值为 的长， 过点 作 轴交直线 于点 ， 则点 的坐标为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 轴， ， ， ，即 ， ， 的最小值为 ． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，相似三角形的判 定和性质，平移的性质，熟练掌握所学知识并能够灵活运用是解题的关键． 【变式训练1】如图，已知抛物线 与x 轴相交于 、 两点，并与直线 交于 、 两点，其中点 是直线 与 轴的交点，连接 ． (1)求 、 两点坐标以及抛物线的解析式； (2)证明： 为直角三角形； (3)求抛物线的顶点 的坐标，并求出四边形 的面积； (4)在抛物线的对称轴上有一点 ，当 周长的最小时，直接写出点 的坐标． 【答】(1) ， ， (2)证明见解析 (3) ， (4) 【分析】（1）先由直线 与x 轴、y 轴分别交于点B、点求得B，的坐标，再将其 代入 列方程组求出、的值，即可求解； （2）先求得的坐标，根据勾股定理的逆定理证明 是直角三角形； （3）连接 ，根据 进行求解即可； （4）因为 的长为定值，所以当 的值最小时，则 的周长最小，当点P 与 点E 重合时， 的值最小，求出点E 的坐标即可． 【详解】（1）解：在直线 中，当 时， ，当 时， ， ∴ ， ， ∵抛物线 经过点 和点 ， ∴ ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为 ． （2）证明：在 中，当 时，则 ， 解得 ， ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ， ， ， ∴ ，即 ． ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是直角三角形； （3）解：∵抛物线解析式为 ， ∴抛物线的顶点 的坐标是 ； 如图1，连接 ， ∴ ， ∴四边形 的面积是 ． （4）解：∵抛物线解析式为 ， ∴抛物线的对称轴为 ． 如图，设抛物线的对称轴 ： 与直线 交于点E， 点P 是直线 上的点，连接 ． ∵ 垂直平分 ， ∴ ， ， ∴ ． ∵ 为定值， ∴当 的值最小时， 的周长最小． ∵ ， ∴当点P 与点E 重合时， ， ∴此时 最小． ∵直线 ， 当 时， ， ∴ ， ∴当 的周长最小时，点P 的坐标为 ． 【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求 函数关系式、勾股定理及其逆定理的应用、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识与方 法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x 轴交于 ， 两点，与y 轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P 是位于直线 上方抛物线上的一个动点，求 面积的最大值； (3)若点D 是y 轴上的一点，且以B、、D 为顶点的三角形与△B 相似，求点D 的坐标； (4)若点E 为抛物线的顶点，点 是该抛物线上的一点，点M 在x 轴、点在y 轴上，是 否存在点M、使四边形 的周长最小，若存在，请直接写出点M、点的坐标；若不存 在，请说明理由． 【答】(1) (2) (3)D 的坐标为 或 (4) ， 【分析】（1）把 ， 分别代入 ，利用待定系数法求解； （2）过点P 作 交 于点，根据 得到 关于点P 的横坐标的 二次函数关系式，进而求出二次函数的最值即可； （3）由 可知：要使 与 相似，则有 或 ， 分别求解即可； （4）作点E 关于y 轴的对称点 ，作点 关于x 轴的对称点 ，由轴对称的性质可 得四边形 的周长 ，可知当 ， ， M，在一条直线上时，四边形 的周长取最小值，直线 与x 轴、y 轴的交点即为 点M、，由此可解． 【详解】（1）解：把 ， 分别代入 得： ， 解得 ， ∴抛物线的表达式为 ． （2）解：如图，过点P 作 交 于点， 令 ，得 ， ∴ ， ∴设直线 的表达式为： ， 将 ， 代入 ， 得 ， 解得 ， ∴直线 的表达式为 ， 设 ，则 ， ∴ ， ∴ ， ∴当 时， 取最大值，最大值为 ， 即 面积的最大值为 ； （3）解：如图， ∵ ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， 要使 与 相似， 则有 或 ， ①当 时， ， 解得 ， 则 ， ∴ ； ② 当 时， ， 则 ， ∴ ， 即D 的坐标为 或 ； （4）解： ， ∵E 为抛物线的顶点， ∴ ， ∵ 在抛物线上， ∴ ， ∴ ， 如图，作点E 关于y 轴的对称点 ，作点F 关于x 轴的对称点 ， 由轴对称的性质可知 ， ， ∴四边形 的周长 ， ∴当 ， ，M，在一条直线上时，四边形 的周长取最小值， 因此，直线 与x 轴、y 轴的交点即为点M、， 设直线 的解析式为： ，将 ， 代入， 得 ， ∴ ， ∴直线 的解析式为： ， 当 时， ； 当 时， ， ∴ ， ． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查一次函数、二次函数、轴对称、相似三角形等知 识点，综合性较强，难度较大，解题的关键是综合运用上述知识点，第四问的关键是利用 轴对称的性质找出点M 和点的位置． 类型三、胡不归最值问题 例．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．已知点 的坐标是 ，抛物线的对称轴是直线 ． (1)直接写出点 的坐标； (2)在对称轴上找一点 ，使 的值最小．求点 的坐标和 的最小值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点 ，过点 作 轴，垂足为 ，连接 交 于点 ．依题意补全图形，当 的值最大时，求点 的坐标． 【答】(1) (2)点 ， 的最小值为 (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可； （2）根据抛物线的对称性，得到 ，得到当 三点共线时， 的值最小，为 的长，求出直线 的解析式，解析式与对称轴的交点即为点 的坐标，两点间的距离公式求出 的长，即为 的最小值； （3）根据题意，补全图形，设 ，得到 ， ，将 的最大值转化为二次函数求最值，即可得解． 【详解】（1）解：∵点 关于对称轴的对称点为点 ，对称轴为直线 ， ∴点 为 ； （2）当 时， ，∴ ，连接 ， ∵ ，∴ ， ∵点 关于对称轴的对称点为点 ，∴ ， ∴当 三点共线时， 的值最小，为 的长， 设直线 的解析式为： ，则： ，解得： ，∴ ， ∵点 在抛物线的对称轴上，∴ ；∴点 ， 的最小值为 ； （3）过点 作 轴，垂足为 ，连接 交 于点 ，如图所示， ∵ ， 设抛物线的解析式为： ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， 设 ，则： ， 由（2）知：直线 ： ，∴ ， ∴ ， ∵ ，∴ ， ， ∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴当 时， 有最大值，此时 ． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以 及数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 【变式训练1】如图，抛物线 的图象经过 ， ， 三点， 且一次函数 的图象经过点 ． (1)求抛物线和一次函数的解析式． (2)点 ， 为平面内两点，若以 、 、 、 为顶点的四边形是正方形，且点 在点 的左侧．这样的 ， 两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点 的坐标： 如果不存在，请说明理由． (3)将抛物线 的图象向右平移个单位长度得到抛物线 ，此抛物线的图象 与 轴交于 ， 两点（ 点在 点左侧）．点 是抛物线 上的一个动点且在直线 下方．已知点 的横坐标为 ．过点 作 于点 ．求 为何值时， 有最大值，最大值是多少？ 【答】(1) ， (2)满足条件的E、F 两点存在， ， ， (3)当 时， 的最大值为 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）①当 为正方形的边长时，分别过 点 点作 ， ，使 ， ，连接 、 ，证明 ，得出 ， ，则 同理可得， ；②以 为正方形的对 角线时，过 的中点 作 ，使 与 互相平分且相等，则四边形 为正方形，过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，证明 ，得出 ，在 中， ，解得 或4，进而即可求解； （3）得出 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形，则 ， 点 在抛物线 上，且横坐标为 得出 ，进而可得 ，则 ， 根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：把 ， ， 代入 得 解得 ∴ 把 代入 得 ∴ （2）满足条件的 、 两点存在， ， ， 解：①当 为正方形的边长时，分别过 点 点作 ， ，使 ， ，连接 、 过点 作 轴于 ∵ ， 又 ， ∴ ， ∴ ， ∴ 同理可得， ②以 为正方形的对角线时，过 的中点 作 ，使 与 互相平分且相 等，则四边形 为正方形， 过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ∵ ， 又 ∴ ∴ ， ∵ ∴ ∴ 在 中， ∴ 解得 或4 当 时， ，此时点 在点 右侧故舍去； 当 时， 综上所述： ， ， （3）∵ 向右平移8 个单位长度得到抛物线 当 ，即 解得： ∴ ， ∵ 过 ， ， 三点 ∴ 在直线 下方的抛物线 上任取一点 ，作 轴交 于点 ，过点 作 轴 于点 ∵ ， ∴ ∴ 是等腰直角三角形 ∵ ， ∴ 又 ∴ 是等腰直角三角形 ∴ ∵点 在抛物线 上，且横坐标为 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当 时， 的最大值为 ． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，正方形的性质，二次函数的性质，分类讨论，熟 练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式训练2】已知抛物线 与x 轴交于 两点，与y 轴交于点 ，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式与顶点D 的坐标； (2)如图1，点P 是抛物线上位于直线 下方的一动点，连接 与 相交于点E，已知 ，求点E 的坐标； (3)如图2，抛物线的对称轴与x 轴交于点，在抛物线对称轴上有一个动点M，连接 ．求 的最小值． 【答】(1) ， (2)点E 的坐标为： 或 (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由 ，则 ，由 ，得到 ，进而求解； （3）过点B 作 于点，则 ，则此时 为最小，进而求解． 【详解】（1）∵抛物线 与x 轴交于 两点， ∴设抛物线的解析式为 ， 把点 代入得， ， 解得， 故抛物线的表达式为： ； （2）连接 , ∵ ，则 ， 过点作 轴交 于点，过点P 作 轴交 于点， 则 ， 则 ， 设直线 的表达式为 ， 把 代入得： ， 解得， ， ∴直线 的表达式为： ， 当 时， ， ， 则 ， 设点 ，则点 ， 则 ， 解得： 或2， 即点 或 ， 同理，由点、P 的坐标得，直线 的表达式为： 或 ， 联立 和 得： ， 解得： ，则点 ； 联立 和 得： ， 解得： ，则点 ， 即点E 的坐标为： 或 ； （3）连接 ， 由点D 的坐标 知， ， 则 ，则 ， 过点B 作 于点， 则 ， 则此时 为最小， 则 ， 则 ，则 ， 即 的最小值为 ． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解直角三角形、三角形相 似、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏 【变式训练3】已知抛物线 过点 ， 两点，与 轴交于点 ， ， (1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标； (2)点 为抛物线上位于直线 下方的一动点，当 面积最大时，求点 的坐标； (3)若点 为线段 上的一动点，问： 是否存在最小值？若存在，求出这个最 小值；若不存在，请说明理由． 【答】(1)解析式为 ，顶点 的坐标为 (2)点 的坐标为 (3)最小值为 【分析】（1）根据题意设抛物线的交点式，然后代入点 的坐标，求解即可； （2）作 轴，交 于点 ，通过设 和 的坐标，利用“割补法”表示出 ， 从而利用二次函数的性质求解最值即可； （3）将直线 绕着 点逆时针旋转 ，并过点 作其垂线，垂足为 ，分别连接 ， ， ，构造出含 角的直角三角形，然后转换为求 得最小值，继而确定当 、 、 三点共线时，满足 取得最小值，此时利用含 角的直角三角形的性 质分段求解再相加即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，设抛物线解析式为 ，其中 ， ∵ ，∴点 的坐标为 ， 将 代入 ，解得： ，∴ ， ∴抛物线的解析式为 ， ∵对称轴为直线 ，∴将 代入 ，得： ， ∴顶点 的坐标为 ； （2）解：∵ ， ，∴直线 的解析式为： ， ∵点 在抛物线上，且位于直线 下方，∴设 ，其中， ， 如图所示，作 轴，交 于点 ，∴ ，∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， 整理可得： ，其中 ， ∵ ，∴当 时， 取得最大值， 将