专题09 几何中动角问题的两种考法 类型一、判断角的数量之间的关系 例．如图所示，是直线 上的一点， 是直角， 平分 ． (1)如图①，若 ，求 的度数； (2)在图①，若 ，直接写出 的度数_________(用含的代数式表示)； (3)将图①中的 绕顶点顺时针旋转至图②的位置． ①探究 和 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在 的内部有一条射线 ，满足 ，试确定 与 的度数是______；(直接写出答) (2)将(1)中的条件“∠＝30°”改为“∠是锐角”，猜想∠DE 与∠的关系，并说明理由； (3)若∠是钝角，请先画出图形，再探索∠DE 与∠之间的数量关系．(不用写探索过程，将结论直接写在你画 的图的下面) 【变式训练2】如图，以直线B 上一点为端点作射线，使 ，将一个直角三角形的直角顶点放在 点处．(注： ) (1)如图①，若直角三角板DE 的一边D 放在射线B 上，则 上，则 ________ ； (2)如图②，将直角三角板DE 转到如图位置，当恰好平分 时，求 的度数； (3)如图③，将直角三角板DE 绕点转动，如果D 始终在 的内部，直接写出 和 的数量关 系_________． 【变式训练3】已知 ， ， ， 分别平分 ， ． (1)如图1，当 ， 重合时， 度； (2)若将 的从图1 的位置绕点 顺时针旋转，旋转角 ，满足 且

专题09 几何中动角问题的两种考法 类型一、判断角的数量之间的关系 例．如图所示，是直线 上的一点， 是直角， 平分 ． (1)如图①，若 ，求 的度数； (2)在图①，若 ，直接写出 的度数_________(用含的代数式表示)； (3)将图①中的 绕顶点顺时针旋转至图②的位置． ①探究 和 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在 的内部有一条射线 ，满足 ，试确定 与 ∠F＋180°−2∠DE＝90°． 化简，得2∠DE− ∠F＝90°． 【变式训练1】已知∠B＝∠D＝90°，E 平分∠B． (1)如图，若∠＝30°，则∠DE 的度数是______；(直接写出答) (2)将(1)中的条件“∠＝30°”改为“∠是锐角”，猜想∠DE 与∠的关系，并说明理由； (3)若∠是钝角，请先画出图形，再探索∠DE 与∠之间的数量关系．(不用写探索过程，将结论直接写在你画 的图的下面) 【答】(1)60°；(2) 或∠+2∠DE=450°或∠-2∠DE=90°． 【变式训练2】如图，以直线B 上一点为端点作射线，使 ，将一个直角三角形的直角顶点放在 点处．(注： ) (1)如图①，若直角三角板DE 的一边D 放在射线B 上，则 ________ ； (2)如图②，将直角三角板DE 转到如图位置，当恰好平分 时，求 的度数； (3)如图③，将直角三角板DE 绕点转动，如果D 始终在 的内部，直接写出 和 的数量关 系_________．

专题10 几何图形中动角问题的三种考法 类型一、定值问题 例．如图1，把一副三角板拼在一起，边 与直线 重合，其中 ， ．此时易得 ． (1)如图2，三角板 固定不动，将三角板 绕点 以每秒 的速度顺时针开始旋转， 在转动过程中，三角板 一直在 的内部，设三角尺 运动时间为秒． ①当 时， ； ②求当为何值时，使得 ； (2)如图3，在（1）的条件下，若 平分 ， 平分 ． ①当 ①当 时， ； ②请问在三角板 的旋转过程中， 的度数是否会发生变化？如果发生变化，请 叙述理由；如果不发生变化，请求出 的度数． 【答】(1)① ；② (2)① ；②不变化， 【分析】（1）①根据题意和角的和差进行求解即可； ②由 ，结合题意可得 ，从而得出 ， ，进而求出时间； （2）①根据 平分 ， 平分 ，可得 ，则可以将 整理为 ，进而得出答； ②根据 平分 ， 平分 ， ， ∵ ， ∴ ， ． 【点睛】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义，读懂题意，能准确得出相 应角的数量关系是解本题的关键． 【变式训练1】已知 与 互补，将 绕点逆时针旋转． (1)若 ①如图1，当 时， ； ②将 绕点逆时针旋转至 ，求 与 的度数； (2)将 绕点逆时针旋转 ，在旋转过程中， 的度数是否随 之的改变而改变？若不改变，请求出这个度数；若改变，请说明理由．

专题10 几何图形中动角问题的三种考法 类型一、定值问题 例．如图1，把一副三角板拼在一起，边 与直线 重合，其中 ， ．此时易得 ． (1)如图2，三角板 固定不动，将三角板 绕点 以每秒 的速度顺时针开始旋转， 在转动过程中，三角板 一直在 的内部，设三角尺 运动时间为秒． ①当 时， ； ②求当为何值时，使得 ； (2)如图3，在（1）的条件下，若 平分 ， 平分 ． ①当 ①当 时， ； ②请问在三角板 的旋转过程中， 的度数是否会发生变化？如果发生变化，请 叙述理由；如果不发生变化，请求出 的度数． 【变式训练1】已知 与 互补，将 绕点逆时针旋转． (1)若 ①如图1，当 时， ； ②将 绕点逆时针旋转至 ，求 与 的度数； (2)将 绕点逆时针旋转 ，在旋转过程中， 的度数是否随 之的改变而改变？若不改变，请求出这个度数；若改变，请说明理由． ． 【变式训练2】已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点 放置于直线 上，直角边 与直线 重合，其中 ，然后将三角板 绕点 顺时针旋转，设 ，从点 引射线 和 ， 平分 ， ． (1)如图2，填空：当 时， ______ ． (2)如图2，当 时，求 的度数（用含 的代数式表示）； (3)如图3，当 时，请判断 的值是否为定值，若为定值，求 出该定值，若不是定值，请说明理由． 类型二、数量关系问题

专题05 相似三角形中的动点问题 例1．(分类讨论)如图，在△B 中，B＝B＝20m，＝30m，点P 从点出发，沿B 以4m/s 的速 度向点B 运动，同时点Q 从点出发，沿以3m/s 的速度向点运动，当其中一点到达终点时， 另一点也停止运动，设运动时间为xs． (1)当 时，求x 的值． (2)△PQ 与△QB 能否相似？若能，求出P 的长；若不能，请说明理由． 例2．(角度相等)已知：如图，在△B 例2．(角度相等)已知：如图，在△B 中，B＝＝5m，B＝8m，D⊥B，垂足为D，F 为D 中 点．点P 从点B 出发，沿B 向点匀速运动，速度为1m/s 同时，点Q 从点出发，沿B 向点B 匀速运动，速度为1m/s；点E 为点P 关于D 的对称点．连接PQ、FQ、EF、E．设运动时 间为t(s)(0＜t＜4)，解答下列问题： (1)当PQ∥E 时，求t 的值； (2)设四边形EPQ 的面积为y(m2)，试确定y 的面积为y(m2)，试确定y 与t 的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠DFE＝∠FQ？若存在，求出t 的值；若不存在， 请说明理由． 【变式训练1】如图，Rt△B，∠＝90°，＝10m，B＝8m．点P 从点出发，以2m/s 的速度沿 向点匀速运动，同时点Q 从点B 出发，以1m/s 的速度沿B 向点匀速运动，当一个点到达 终点时，另一个点随之停止． (1)求经过几秒后，△PQ 的面积等于

专题05 相似三角形中的动点问题 例1．(分类讨论)如图，在△B 中，B＝B＝20m，＝30m，点P 从点出发，沿B 以4m/s 的速 度向点B 运动，同时点Q 从点出发，沿以3m/s 的速度向点运动，当其中一点到达终点时， 另一点也停止运动，设运动时间为xs． (1)当 时，求x 的值． (2)△PQ 与△QB 能否相似？若能，求出P 的长；若不能，请说明理由． 【答】(1) (2)能，P＝ 或20m 时，△PQ 与△QB 相似． 例2．(函数与相似)已知：如图，在△B 中，B＝＝5m，B＝8m，D⊥B，垂足为D，F 为D 中点．点P 从点B 出发，沿B 向点匀速运动，速度为1m/s 同时，点Q 从点出发，沿B 向 点B 匀速运动，速度为1m/s；点E 为点P 关于D 的对称点．连接PQ、FQ、EF、E．设运 动时间为t(s)(0＜t＜4)，解答下列问题： (1)当PQ∥E 时，求t 时，求t 的值； (2)设四边形EPQ 的面积为y(m2)，试确定y 与t 的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠DFE＝∠FQ？若存在，求出t 的值；若不存在， 请说明理由． 【答】(1) ；(2) ；(3)存在， 【详解】解：(1)当 时， ， ， ， ， ， ， 点E 与点P 关于D 对称， ， ， ， ， ， 即 ， 解得： ， 舍去，故

专题46 动角问题专项训练（40 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共40 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了动角的综合问题的 所有类型！ 一．解答题（共40 小题） 1．（2022·吉林白山·七年级期末）如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为 垂角，例如：∠1＝120°，| 1 2| ∠﹣∠ ＝90°，则∠1 和∠2 互为垂角．(本题中所有角都是指大 于0°且小于180°的角) (1)如图1 所示，为直线B 上一点，∠＝90°，则∠D 垂角为 和 ； (2)如果一个角的垂角等于这个角的补角的2 3 ，求这个角的度数； (3)如图2 所示，为直线B 上一点，∠＝90°，∠BD＝30°，且射线绕点以9°/s 的速度逆时针旋 转，射线D 绕点以6°/s 的速度顺时针旋转，两条射线、D 同时运动，运动时间为ts(0＜t＜ 同时运动，运动时间为ts(0＜t＜ 20)，试求当t 为何值时，∠AOC和∠AOD互为垂角． 【答】(1)∠D，∠E (2)18°或126° (3)2s 或14s 【分析】（1）根据互为垂角的定义即可求解； （2）利用题中的“一个角的垂角等于这个角的补角的2 3”作为等量关系列方程求解； ( 3 )根据所有角都是指大于0 且小于180°的角，可分0＜t＜5，5＜t＜10，10＜t＜20 三种情 况讨论，并建立相应的方程求解后可得符合题意的t

专题10 相似三角形中的动点问题的三种考法 类型一、相似三角形存在性问题 例1．如图，正方形BD 的边长为4，E 是B 的中点，点P 在射线D 上，过点P 作PF⊥E，垂足为F．当点 P 在射线D 上运动时，若以P、F、E 为顶点的三角形与△BE 相似，则P 的值为 ． 【答】2 或5 【分析】分两种情况讨论，由相似三角形的判定和矩形的性质可求解． 【详解】解：∵E 是B ， ∴ ． ∵ ，即 ， ∴PE=5， 综上所述：P 的值为2 或5， 故答为：2 或5． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关 键． 例2．如图，在直角 中， ， ， ，点 是 的中点，点 是 边上的动点， 交射线 于点 ． （1）求 的长； （2）连接 ，当 时，求 的长； （3）连接 ，当 和 相似时，请直接写出 的长． 点作 ,垂足为 ，容易证得 ,设 ，根据相似的性 质可求出 的值即可得出结果； （3）由（2）得 ，设 ，根据相似的性质可求出 的值，在解题时要注意分类讨 论． 【详解】解：（1）∵在直角 中， ， ， ， ∴ ； （2）过 点作 ,垂足为 ， ∵ , ∴ , ∴ ， 设 ， ∵ , ∴ , ∵ , ∴ , ∴ , ∴ , ∵ , ∴ ， 化简，得 ， 解得：

专题10 相似三角形中的动点问题的三种考法 类型一、相似三角形存在性问题 例1．如图，正方形BD 的边长为4，E 是B 的中点，点P 在射线D 上，过点P 作PF⊥E，垂足为F．当点 P 在射线D 上运动时，若以P、F、E 为顶点的三角形与△BE 相似，则P 的值为 ． 例2．如图，在直角 中， ， ， ，点 是 的中点，点 是 边上的动点， 交射线 于点 ． （1）求 的长； （3）连接 ，当 和 相似时，请直接写出 的长． 【变式训练1】建立如图所示们平面直角坐标系 中，矩形 的点 以点 为 旋转中心， 为起始边，逆时针方向，直角边 交 射线于点 ，直角边 交 轴于点 ． (1)当 时，求点 的坐标； (2)在旋转过程中，是否存在以 为顶点的三角形与 相似．若存在，诗求出点 的坐标；若不 存在，请说明理由． 【变式训练2】如图， ，（3，0），（ 轴上（不与点重合），连接 ，若 与 相似，则点D 坐标是___________； (3)在（2）的条件下，点P、Q 分别是 和 上的动点，连接 ，设 ，是否存在k 的值， 使 与 相似？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由． 类型二、几何图形存在性问题 例1．如图，在 中， ， ， ，E、D 分别是 的中点，连接 ． Q 从点E 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；同时，点P 从点B 出发，沿

专题46 动角问题专项训练（40 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共40 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了动角的综合问题的 所有类型！ 一．解答题（共40 小题） 1．（2022·吉林白山·七年级期末）如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为 垂角，例如：∠1＝120°，| 1 2| ∠﹣∠ ＝90°，则∠1 和∠2 互为垂角．(本题中所有角都是指大 于0°且小于180°的角) (1)如图1 所示，为直线B 上一点，∠＝90°，则∠D 垂角为 和 ； (2)如果一个角的垂角等于这个角的补角的2 3 ，求这个角的度数； (3)如图2 所示，为直线B 上一点，∠＝90°，∠BD＝30°，且射线绕点以9°/s 的速度逆时针旋 转，射线D 绕点以6°/s 的速度顺时针旋转，两条射线、D 同时运动，运动时间为ts(0＜t＜ 同时运动，运动时间为ts(0＜t＜ 20)，试求当t 为何值时，∠AOC和∠AOD互为垂角． 2．（2022·四川成都·七年级期末）如图1，点D、、共线且∠D＝20°，∠B＝80°，射线M， 分别平分∠B 和∠BD． 如图2，将射线D 以每秒6°的速度绕点顺时针旋转一周，同时将∠B 以每秒4°的速度绕点顺 时针旋转，当射线与射线重合时，∠B 停止运动．设射线D 的运动时间为t． (1)运动开始前，如图1，∠M＝