专题10 相似三角形中的动点问题的三种考法（原卷版）

专题10 相似三角形中的动点问题的三种考法 类型一、相似三角形存在性问题 例1．如图，正方形BD 的边长为4，E 是B 的中点，点P 在射线D 上，过点P 作PF⊥E，垂足为F．当点 P 在射线D 上运动时，若以P、F、E 为顶点的三角形与△BE 相似，则P 的值为 ． 例2．如图，在直角 中， ， ， ，点 是 的中点，点 是 边上的动点， 交射线 于点 ． （1）求 的长； （2）连接 ，当 时，求 的长； （3）连接 ，当 和 相似时，请直接写出 的长． 【变式训练1】建立如图所示们平面直角坐标系 中，矩形 的点 以点 为 旋转中心， 为起始边，逆时针方向，直角边 交 射线于点 ，直角边 交 轴于点 ． (1)当 时，求点 的坐标； (2)在旋转过程中，是否存在以 为顶点的三角形与 相似．若存在，诗求出点 的坐标；若不 存在，请说明理由． 【变式训练2】如图， ，（3，0），（ ，0）， ． (1)直接写出线段 的长是___________，点B 的坐标是___________； (2)已知点D 在x 轴上（不与点重合），连接 ，若 与 相似，则点D 坐标是___________； (3)在（2）的条件下，点P、Q 分别是 和 上的动点，连接 ，设 ，是否存在k 的值， 使 与 相似？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由． 类型二、几何图形存在性问题 例1．如图，在 中， ， ， ，E、D 分别是 的中点，连接 ． Q 从点E 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；同时，点P 从点B 出发，沿 方向匀速运动，速度 为 ，当点Q 停止运动时，点P 也停止运动。连接 ，设运动时间为t s．答下列问题： (1)请直接用含t 的代数式表示 的长； (2)当t 为何值时，以点D、P、Q 为顶点的三角形与 相似？ (3)当t 为何值时， 为等腰三角形（直接写出） 例2．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的两边 ， 分别在 轴、 轴的正半轴上， ， ．点 从点 出发，沿 轴以每秒个单位长的速度向点 匀速运动，当点 到达点 时停止运动， 设点 运动的时间是秒．将线段 的中点绕点 按顺时针方向旋转 得点 ，点 随点 的运动而运 动，连接 ， ． (1)当 时，点 的坐标是 ； (2)请用含的代数式表示出点 的坐标 ； (3)在点 从 向 运动的过程中， 能否成为直角三角形？若能，求的值．若不能，请说明理由． 例3．综合与探究：已知：如图①，在 中， ， ， ，点 由 出发沿 方向向点 匀速运动，速度为 ；点 由 出发沿 方向向点 匀速运动，速度为 ；连接 ．若设运动的时间为 ，解答下列问题： (1)当 时，求的值； (2)点 ， 同时出发，为何值时，以 ， ， 为顶点的三角形与 相似； (3)如图②，连接 ，并把 沿 翻折，得到四边形 ，那么是否存在某一时刻，使四边形 为菱形？若存在，直接写出此时的值；若不存在，说明理由，（不写求解过程） 【变式训练1】．如图，在矩形 中， 是对角线， ， ，点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度是 ；点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度是1 ．两点同时出发， 设运动时间为 ，请回答下列问题： (1)当t 为何值时， ? (2)设四边形 的面积为 ，求与之间的函数关系式； (3)当为何值时，四边形 的面积等于矩形 面积的 ？ (4)当为 时， 是等腰三角形． 【变式训练2】如图1，矩形 中， ， ， 为 上一点， 为 延长线上一点， 且 ．点 从 点出发，沿 方向以 的速度向 运动，连结 、 ， 交 于点 ． 设点 运动的时间为 ， 的面积为 ，当 时， 的面积 关于时间 的 函数图象如图2 所示． （1） 的长是 ； （2）当 ， 时，求的值； （3）如图3，将 沿线段 进行翻折，与 的延长线交于点 ，连结 ，当为何值时，四边形 为菱形？ 【变式训练3】已知：在 中， ， ， 于点 ，点 是 边的中 点，动点 在线段 上，将线段 绕点 逆时针旋转90°得到线段 ， 与 交于点 ． （1）如图1，当点 与点 重合时，线段 的长为______； （2）如图2，当点 与 ， 两点均不重合时， ①求证： ； ②问：是否存在点 ，使以 ， ， 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出 的长；若不存 在，请说明理由， 类型三、最值问题 例．如图，在平面直角坐标系中，四边形 的顶点坐标分别为 ， ， ， ． 动点P 从点出发，以每秒3 个单位长度的速度沿边 向终点运动；动点Q 从点B 同时出发，以每秒2 个 单位长度的速度沿边 向终点运动，作 于点G，设运动的时间为t 秒，则G 的最大值是 ． 【变式训练1】如图，△B 中B=， (0，8)， (6，0)，D 为射线上一点，一动点P 从出发，运动路径为 →D→，点P 在D 上的运动速度是在D 上的 倍，要使整个运动时间最少，则点D 的坐标应为 ． 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是 ，点B 在第一象限内， ， 点E 是线段 上的一个动点，连接 ，将射线 绕点E 顺时针旋转 交 于点F，当 最短时点F 的坐标是 ． 【变式训练3】在 中， ，点D 是 内一动点，且满足 ，则 的最小值 ． 的最小值 课后作业 1．如图，矩形 中， ， ，点E 在边 上，且 ，动点P 从点出发，沿 运动到点B 停止，过点E 作 交射线 于点Q，设是线段 的中点，则在点P 运动的整个过程中， 点运动路线的长为 ． 2．如图，正方形BD 的对角线上的两个动点M、，满足 ，点P 是B 的中点，连接、PM，若 ，则当 的值最小时，线段的长度为 ． 3．如图，在 中 ， ，点E 是线段 边上的一动点（不含B、两端点），连 接 ，作 ，交线段 于点D． (1)求证： (2)设 ， ，请求y 与x 之间的函数关系式． (3)E 点在运动的过程中， 能否构成等腰三角形？若能，求出 的长；若不能，请说明理由． 4．如图，平面直角坐标系中，四边形 为矩形，点 坐标分别为 ，动点 分别从 同时出发，以每秒1 个单位的速度运动，其中点 沿 向终点 运动，点 沿 向终点 运动过 动点 作 ，交 于 ，连接 ，设 、 运动时间为秒， (1)当 秒时， 点的坐标为（____，____）， __________； (2)当为何值时，以 为顶点的三角形与 相似； (3)在平面内是否存在一个点 ，使以 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出的值， 若不存在，说明理由． 5．如图，在四边形 中， ， ， ， ， ．点P 从点 出发沿 向点D 匀速运动，速度是 ；同时，点Q 从点出发沿 向点匀速运动，速度是 ，当 一个点到达终点，另一个点立即停止运动．连接 ，设运动时间为 ，解答下列问题： (1)当t 为何值时， ？ (2)设 的面积为 ，求s 与t 之间的函数关系式； (3)连接 ，是否存在某一时刻t，使得 平分 ？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由． 6．如图，在 中， ， ， ，D 是 的中点．动点P 从点出发，沿 以每 秒4 个单位长度的速度向点B 匀速运动．当点P 不与、B 重合时，过点P 作 的垂线交 或 于点 Q，连接 ．设点P 的运动时间为t 秒． (1) __________； (2)求 的长（用含t 的代数式表示）； (3)连接 ，当 是直角三角形时，求t 的值． 7．如图1，已知在 中， ， m， m．点 由 出发沿 向点 匀速运动， 同时点 由 出发沿 方向向点 匀速运动，它们的速度均为 m/s．以 为边作平行四边形 ，连接 ，交 于点 ．设运动的时间为（单位）（ ）．解答下列问题： （1）用含有的代数式表示 ___________ （2）如图1，当为何值时，平行四边形 为矩形？ （3）如图2，当为何值时，平行四边形 为菱形？