专题10 相似三角形中的动点问题的三种考法（解析版）

专题10 相似三角形中的动点问题的三种考法 类型一、相似三角形存在性问题 例1．如图，正方形BD 的边长为4，E 是B 的中点，点P 在射线D 上，过点P 作PF⊥E，垂足为F．当点 P 在射线D 上运动时，若以P、F、E 为顶点的三角形与△BE 相似，则P 的值为 ． 【答】2 或5 【分析】分两种情况讨论，由相似三角形的判定和矩形的性质可求解． 【详解】解：∵E 是B 的中点，∴BE=2， 如图，若△EFP∽△BE，则∠PEF=∠EB． ∴PE∥B． ∴四边形BEP 为矩形． ∴P=EB=2， 如图，若△PFE∽△BE，则∠PEF=∠EB． ∵∠PF=∠EB， ∴∠PEF=∠PF． ∴PE=P． ∵PF⊥E， ∴点F 为E 的中点． ∵ ， ∴ ． ∵ ，即 ， ∴PE=5， 综上所述：P 的值为2 或5， 故答为：2 或5． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关 键． 例2．如图，在直角 中， ， ， ，点 是 的中点，点 是 边上的动点， 交射线 于点 ． （1）求 的长； （2）连接 ，当 时，求 的长； （3）连接 ，当 和 相似时，请直接写出 的长． 【答】（1） ；（2） ；（3） 或 【分析】（1）直接根据勾股定理求出 的长度即可； （2）过 点作 ,垂足为 ，容易证得 ,设 ，根据相似的性 质可求出 的值即可得出结果； （3）由（2）得 ，设 ，根据相似的性质可求出 的值，在解题时要注意分类讨 论． 【详解】解：（1）∵在直角 中， ， ， ， ∴ ； （2）过 点作 ,垂足为 ， ∵ , ∴ , ∴ ， 设 ， ∵ , ∴ , ∵ , ∴ , ∴ , ∴ , ∵ , ∴ ， 化简，得 ， 解得： (负值舍去), ∴ ； （3）由（2）得 ，设 ， ∵ ,∴ , ∵ ,∴ ,∴ , 当 和 相似时，有两种情况： ① ,∴ ,即 ，解得 ，∴ ； ② ,∴ ,即 ，解得 ，∴ ， 综上： 当 和 相似时， 的长为 或 ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，题目难度不小，具有一定的综合性．特别是三角形相似的 判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等 隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或 依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使 用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 【变式训练1】建立如图所示们平面直角坐标系 中，矩形 的点 以点 为 旋转中心， 为起始边，逆时针方向，直角边 交 射线于点 ，直角边 交 轴于点 ． (1)当 时，求点 的坐标； (2)在旋转过程中，是否存在以 为顶点的三角形与 相似．若存在，诗求出点 的坐标；若不 存在，请说明理由． 【答】(1) ， ；(2) 或 【分析】（1）证 ，则 ，得 ，即可得出点 的坐标． （2）设 ，本题需先证出 ，求出 ，再分两种情况讨论，求出的值即可． 【详解】（1） ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 即 ， ， ， 点 的坐标为 ， ； （2）存在，理由如下： 设 ， ， ， ， ， ， ， ， 解得： ， 当点 在点 上方时，如图， 若 时， ， ， ， ， 解得： ， （不合题意舍去）， ； ∴ ， ∴ 当点 在点 下方时，如图， ①若 ，则 ， ， 解得： ， （不合题意舍去）， ， ； ②若 ，则 ， ，整理得： ， 这种情况不成立； 综上所述，在运动的过程中，存在以 、 、 为顶点的三角形与 相似， 或 ． 【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、坐标与图形、等腰直角 三角形的判定以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的判定与性质， 证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 【变式训练2】如图， ，（3，0），（ ，0）， ． (1)直接写出线段 的长是___________，点B 的坐标是___________； (2)已知点D 在x 轴上（不与点重合），连接 ，若 与 相似，则点D 坐标是___________； (3)在（2）的条件下，点P、Q 分别是 和 上的动点，连接 ，设 ，是否存在k 的值， 使 与 相似？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由． 【答】(1)3，（ ，3） (2) (3)存在， 或 【分析】（1）根据（3，0），（ ，0），得到 的长，利用勾股定理求出 的长，即可得到 点的 坐标； （2）根据点D 在x 轴上（不与点重合）， 与 相似，推出 ，进而得到 ，求出 的长度，即可得到 点的坐标； （3）分 和 ，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答为： ． （2）解：∵ ， ∴当 和 相似时，点 在点 的左侧， 或 ， ∵点 与点 不重合， ∴ ，即： ， 如图，过点 作 交 轴于点 ， ∵ ，∴ ，即： ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ；故答为： ； （3）解：存在； ①当 时， 则： ，∵ ， ， ∴ ，∴ ，解得： ， ②当 时， 则： ，即： 解得： ； 综上所述， 或 时， 与 相似． 【点睛】本题考查坐标与图形，勾股定理，以及相似三角形的性质．熟练中掌握，勾股定理，相似三角形 的对应边相等，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 类型二、几何图形存在性问题 例1．如图，在 中， ， ， ，E、D 分别是 的中点，连接 ． Q 从点E 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；同时，点P 从点B 出发，沿 方向匀速运动，速度 为 ，当点Q 停止运动时，点P 也停止运动。连接 ，设运动时间为t s．答下列问题： (1)请直接用含t 的代数式表示 的长； (2)当t 为何值时，以点D、P、Q 为顶点的三角形与 相似？ (3)当t 为何值时， 为等腰三角形（直接写出） 【答】(1) ； (2) 或 (3) 或3 或 或 【分析】（1）根据勾股定理求出 ，根据三角形中位线定理求出 ，根据题意用含t 的代数式表示 的长； （2）分 、 两种情况，根据相似三角形的性质列式计算即可； （3）分 、 、 三种情况，根据等腰三角形的性质列式计算即可． 【详解】（1）由勾股定理得， ， ∵E、D 分别是 的中点， ， ∴ ， 由题意得， ， ∴ ， （2）在 中， ， ∴ ． ∵D、E 分别是 的中点． 且 ， ① 时， ∵ ， ∴ ， ∴ ，由题意得： ， 即 ， 解得 ； ②如图2 中，当 时， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴当t 为 或 时，以点E、P、Q 为顶点的三角形与 相似． （3）如图3 中，当点Q 在线段 上时，由 ， 可得 ， 解得 ， 如图4 中，当点Q 在线段 上时， ， 可得 ， 解得 ， 如图5 中，当点Q 在线段 上时，由 ， 过点Q 作 于M， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得 ． 如图6 中，当点Q 在线段 上时，由 ， 同理可得 ， 解得 ． 综上所述， 或3 或 或 时， 是等腰三角形． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理的应用，解题的 关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想． 例2．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的两边 ， 分别在 轴、 轴的正半轴上， ， ．点 从点 出发，沿 轴以每秒个单位长的速度向点 匀速运动，当点 到达点 时停止运动， 设点 运动的时间是秒．将线段 的中点绕点 按顺时针方向旋转 得点 ，点 随点 的运动而运 动，连接 ， ． (1)当 时，点 的坐标是 ； (2)请用含的代数式表示出点 的坐标 ； (3)在点 从 向 运动的过程中， 能否成为直角三角形？若能，求的值．若不能，请说明理由． 【答】(1) (2) (3)当为2 秒或3 秒时， 能成为直角三角形． 【分析】（1）求得 ，得到 ，推出 ，利用等腰直角三角形的性质即可 求解； （2）设出 点坐标，再求出 的中点坐标，根据相似的性质即可求出 点坐标； （3）先判断出可能为直角的角，再根据勾股定理求解； 【详解】（1）解：∵ ，∴ ，∴ ， ， 设 的中点为 ，过 点作 ，垂足为 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴点 坐标为 ； 故答为： ； （2）解：∵点 从点 出发，沿 轴以每秒1 个单位长的速度向点 匀速运动， ，而 ， ， 设 的中点为 ，过 点作 ，垂足为 ， 则 点的坐标为 ， 点绕点 按顺时针方向旋转 得点 ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， ， 点坐标为 ， 故答为： ； （3）解：能构成直角三角形． ①当 时， ， 由勾股定理得， ， ， ， 即 ， 解得， 或 （舍去）． 秒． ②当 时，此时点 在 上， 可知， ， ， ， ， 即 ， 秒 ． 综上，可知当为2 秒或3 秒时， 能成为直角三角形． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质相似三角形的判定和性质，是动点问题在实际生活中 的运用，结合了直角三角形的相关性质，具有一定的综合性． 例3．综合与探究：已知：如图①，在 中， ， ， ，点 由 出发沿 方向向点 匀速运动，速度为 ；点 由 出发沿 方向向点 匀速运动，速度为 ；连接 ．若设运动的时间为 ，解答下列问题： (1)当 时，求的值； (2)点 ， 同时出发，为何值时，以 ， ， 为顶点的三角形与 相似； (3)如图②，连接 ，并把 沿 翻折，得到四边形 ，那么是否存在某一时刻，使四边形 为菱形？若存在，直接写出此时的值；若不存在，说明理由，（不写求解过程） 【答】(1) (2) 或 (3)存在， 【分析】（1）利用勾股定理求出 ，再结合 以及两点的速度列出方程，解之即可； （2）利用勾股定理求出 ，再根据题意知： ， ，当 ，则 ，利用其对应边成比例即可求得，当 ，则 ，利用其对应边成比例即 可求得． （3）过点 作 、 ，分别交 于 、交 于 ，则四边形 是矩形，证明 ，得出比例式，由题意得出方程，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：∵ ， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）由题意知： ， ， 当 ，则 ， ， ， ， ； 当 ，则 ， ， ， ， 当 或 时，以 、 、 为顶点的三角形与 相似， 故答为： 或 ； （3）过点 作 、 ，分别交 于 、交 于 ，如图所示： ， 四边形 是矩形， 当 时，即 时， 为等腰三角形， 此时把 沿 翻折得到四边形 是菱形， ， ， ， 即 ， 解得： ， ， ， 解得： ， 当 时，四边形 是菱形． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形 的性质、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过三角形相 似才能得出结果． 【变式训练1】．如图，在矩形 中， 是对角线， ， ，点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度是 ；点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度是1 ．两点同时出发， 设运动时间为 ，请回答下列问题： (1)当t 为何值时， ? (2)设四边形 的面积为 ，求与之间的函数关系式； (3)当为何值时，四边形 的面积等于矩形 面积的 ？ (4)当为 时， 是等腰三角形． 【答】(1) (2) (3) (4) 或 【分析】（1）勾股定理求得 ，进而根据题意得出 ， ，当 时， ，根据相似三角形的性质得出比例式，代入数据计算即可求解； （2）过点 作 ，证明 ，得出 ，根据 即可得出结论； （3）根据（2）的结论建立方程，解方程即可求解． （4）根据等腰三角形的定义，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形 是矩形， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∵点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度是 ；点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度是 1 ，设运动时间为 ， ∴ ， ∴ ， 当 时， ∴ ， ∴ ， 即 ， 解得 ； （2）如图，过点 作 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ； （3）解：依题意， 解得 （不合题意，舍去） （4）解：∵ 是等腰三角形 ①当 时， 即 ， 解得 ； ②当 时，如图，过点 作 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 解得 ， ③若 如图，过点 作 ∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ∴ 解得 ∵ ∴不存在 的情形， 综上所述，当 或 时， 是等腰三角形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的定义，综合运用以 上知识是解题的关键． 【变式训练2】如图1，矩形 中， ， ， 为 上一点， 为 延长线上一点， 且 ．点 从 点出发，沿 方向以 的速度向 运动，连结 、 ， 交 于点 ． 设点 运动的时间为 ， 的面积为 ，当 时， 的面积 关于时间 的 函数图象如图2 所示． （1） 的长是 ； （2）当 ， 时，求的值； （3）如图3，将 沿线段 进行翻折，与 的延长线交于点 ，连结 ，当为何值时，四边形 为菱形？ 【答】（1）05；（2） ；（3） 【分析】（1）根据题意可知，y= ×4t×E，由图2 可知，当t=05 时，y=05，进而得出05= ×4×05×E，即可 求出E； （2）当=2m，BF=2m．F=B+BF=6m，由△PE∽△FP，根据相似三角形的性质即可求解； （3）根据菱形的性质以及轴对称的性质，即可证明∠MB=∠PF=30°，根据等腰三角形的性质，可得 BF=4m，设P=x，则PF=2x，根据勾股定理可得，PF2=P2+F2，即可得出方程（2x）2=x2+82，求得x 的值即 可得到点P 的运动时间t． 【详解】解：（1）由题意可知，y= ×4t×E， 由图2 可知，当t=05 时，y=05， 05= ∴ ×4×05×E， ∴E=05m， 故答分别为：05； （2）当=2m，BF=2m．F=B+BF=6m， ∵△PE∽△FP， ∴ ， ∵P=4t， 16 ∴ t2=6×05， ∴t= 负值不合题意，舍去）， ∴t= s； （3）如图3，∵四边形PM 是菱形， ∴M=M=2BM，M∥PF， ∵∠BM=90°，BM= M， ∴∠MB=30°， ∴∠PF=MF=∠MB=30°， ∴M=MF， ∵MB⊥F， ∴B=BF=4m， ∴F=B+BF=8m， 令P=x，则PF=2x， 根据勾股定理可得，PF2=P2+F2， 即（2x）2=x2+82， 解得x= ，（负值已舍去） ∴P 的运动时间为 （秒）． ∴t= s 时，四边形PM 为菱形． 【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了矩形的性质，菱形的性质，相似三角形的性质，等腰三角形 的性质，一次函数的应用以及勾股定理的运用，解题的关键是掌握菱形的性质以及相似三角形的性质．解 题时注意方程思想的运用． 【变式训练3】已知：在 中， ， ， 于点 ，点 是 边的中 点，动点 在线段 上，将线段 绕点 逆时针旋转90°得到线段 ， 与 交于点 ． （1）如图1，当点 与点 重合时，线段 的长为______； （2）如图2，当点 与 ， 两点均不重合时， ①求证： ； ②问：是否存在点 ，使以 ， ， 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出 的长；若不存 在，请说明理由， 【答】（1）2；（2）①见解析；②存在， 或3 【分析】（1）首先连接DE，证明D,E,Q 三点共线，再证明 即可求得； （2）①首先连接 ， ，证明 ，再证明 是 的中位线，即可证明；②分三种 情况讨论，当 时，证明 ，即可求出P；当 时，证明 ，且 ，即可求出P；当点 在线段 上时，因为 不符合题意． 【详解】解：（1）连接DE， ∵B=,∠B=90°， ∴△B 为等腰直角三角形， ∴ 又∵D⊥B, ∴D 为Rt△B 的中线，D 为中点， ∴ , 又∵E 为的中点， ∴DE∥B, , , ∴ , ∴△DE 为直角三角形，∠DE=90°， 又∵∠EQ=90°， ∴∠DE=∠EQ， ∴D,E,Q 三点共线， ∵∠DE=∠B=90°， ∴DQ∥B， ∴∠Q=∠BF， 又∵ , , ∴ , ∴ ∴在△BF 和△DQF 中， ∴ , ∴DF=F= ； （2）①证明：如图2，连接 ， ， ∵ 是等腰 斜边 上的高， 是 边的中点， ∴ 是等腰 斜边 上的高，即 ，且 ， ∵ ，且 ， ∴ , ∴ ， 在△PED 和△QE 中： ∴ ， ∴ ， ， 又 ， ∴ ， ∴ ， 又 是 的中点， ∴ 是 的中位线， ∴ ． ②存在． ∵ 中， ， 于点 ，则 ， 若经过点 作 于 ， ∴D∥E， ∴ 又∵点 是 边的中点， ∴ 是 的中位线， ， ∴ , ∵D=D, ∴ ． （）如图2（），当 时， ∵ ，∴ , ，∴ 经过点 ， 又∵ ,∴ , ∴ ，得 ，从而 ， ∴ ，则 ； （）如图2（b），当 时， 同理得： ，且 ， ∴ ， ∴ ，则 ． （）当点 在线段 上时，由于 ，即 ， 若将等腰直角 沿 折叠，可得 ， ∴ ，则 ． 综上，存在符合条件的 ，且 或3． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角 形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题,属于 中考压轴题． 类型三、最值问题 例．如图，在平面直角坐标系中，四边形 的顶点坐标分别为 ， ， ， ． 动点P 从点出发，以每秒3 个单位长度的速度沿边 向终点运动；动点Q 从点B 同时出发，以每秒2 个 单位长度的速度沿边 向终点运动，作 于点G，设运动的时间为t 秒，则G 的最大值是 ． 【答】 【分析】如图，连接 交 于 ，由题意知 ， ，证明 ，则 ，可得 过定点 ， ， ，如图，过 作 于 ，过 作 于 ，证明 ，则 ，即 ，解得 ， ， ，由 ， 过定点 ，可知当 与 重合时， 有最 大值，为 ，在 中，由勾股定理求 的值，进而可得最大的 值． 【详解】解：如图，连接 交 于 ，由题意知 ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 过定点 ， ， ， 如图，过 作 于