九上专题05 相似三角形中的动点问题（学生版）

专题05 相似三角形中的动点问题 例1．(分类讨论)如图，在△B 中，B＝B＝20m，＝30m，点P 从点出发，沿B 以4m/s 的速 度向点B 运动，同时点Q 从点出发，沿以3m/s 的速度向点运动，当其中一点到达终点时， 另一点也停止运动，设运动时间为xs． (1)当 时，求x 的值． (2)△PQ 与△QB 能否相似？若能，求出P 的长；若不能，请说明理由． 例2．(角度相等)已知：如图，在△B 中，B＝＝5m，B＝8m，D⊥B，垂足为D，F 为D 中 点．点P 从点B 出发，沿B 向点匀速运动，速度为1m/s 同时，点Q 从点出发，沿B 向点B 匀速运动，速度为1m/s；点E 为点P 关于D 的对称点．连接PQ、FQ、EF、E．设运动时 间为t(s)(0＜t＜4)，解答下列问题： (1)当PQ∥E 时，求t 的值； (2)设四边形EPQ 的面积为y(m2)，试确定y 与t 的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠DFE＝∠FQ？若存在，求出t 的值；若不存在， 请说明理由． 【变式训练1】如图，Rt△B，∠＝90°，＝10m，B＝8m．点P 从点出发，以2m/s 的速度沿 向点匀速运动，同时点Q 从点B 出发，以1m/s 的速度沿B 向点匀速运动，当一个点到达 终点时，另一个点随之停止． (1)求经过几秒后，△PQ 的面积等于 ？ (2)经过几秒，△PQ 与△B 相似？ 【变式训练2】(一次函数与相似)在平面直角坐标系中，点，B 的坐标分别为 、 ，点P 的坐标为 ．点E 是y 轴上一动点，QP⊥EP 交B 于点Q(保持点Q 在x 轴上方)，EF⊥EQ 交B 于点F． (1)当PQ⊥B 时，求E 的长． (2)当点E 在线段B 上移动时，设Q＝，E＝m，求关于m 的函数表达式． (3)点E 在射线B 上移动过程中，点Q、E、F 构成的三角形与△B 相似，求出点E 的纵坐标． 【变式训练3】如图1，已知矩形 的边长 ， ．某一时刻，动点M 从点出发，沿 以 的速度向点B 匀速运动：同时点从点D 出发，沿 方向以 的速度向点匀速运动，点运动到点时停止运动，运动时间为t． (1)若 是等腰直角三角形，则 ___________(直接写出结果)． (2)是否存在时刻t，使以、M、为顶点的三角形与 相似？若存在，求t 的值，若不存 在，请说明理由． (3)如图2，连接 ，试求 的最小值． 【变式训练4】(二次函数与相似)已知抛物线y＝x2＋bx＋(≠0)与x 轴交于、B 两点(点在点B 的左边)，与y 轴交于点(0，﹣3)，顶点D 的坐标为(1，﹣4)． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，抛物线在第四象限的图象上有一点M，求四边形BM 面积的最大值及此时点M 的坐标； (3)如图2，直线D 交x 轴于点E，若点P 是线段E 上的一个动点，是否存在以点P、E、为 顶点的三角形与△B 相似．若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 课后训练 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形B 的顶点 的坐标是 ，动点P 从点出发，以每 秒1 个单位的速度沿线段B 运动，动点Q 从点出发，以每秒2 个单位的速度沿线段运动， 连接B，连接PQ 与线段B 相交于点D，两点同时出发，当点Q 到达点时，P，Q 同时停止 运动，设运动时间为 ． (1) _____________， _____________(请用含的代数式表示) (2)当 时，求的值． (3)在P，Q 运动的过程中，将矩形B 沿PQ 折叠，点，点的对应点分别是点E，点F． ①当点F 恰好落在线段B 上时，直接写出此时的t 值． ②连接PF，连接F，当 时，直接写出此时点F 的坐标． 2．如图，抛物线 的图象与 轴交于点 ， ，与 轴相交于点 ，顶 点为 ． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点 是 轴右侧抛物线上一点，过点 作 轴于 ，以 ， ， 为顶点的三 角形与 相似，求点 的坐标． 3．在平面直角坐标系中，点的坐标为 ，点B 在直线 上，过点B 作B 的 垂线，过原点作直线l 的垂线，两垂线相交于点． (1)如图，点B，分别在第三、二象限内，B 与相交于点D． ①若 ，求证： ． ②若 ，求四边形 的面积． (2)是否存在点B，使得以 为顶点的三角形与 相似？若存在，求B 的长；若不 存在，请说明理由． 4．如图，在矩形 中， ， 是对角线 的中点， 是线段 上一点，射线 交 于点 ，交 延长线于点 ，连接 ，在 上取点 ，使 ，设 ， (1)连接 ，当 时，判断四边形 是否为平行四边形，并说明理由． (2)当 时，若 平行 的某一边，求 的长． (3)若 ，分别记 和 的面积为 和 ，且 ．求 的值． 5．如图1，四边形BD 是矩形，点P 是对角线上的一个动点(不与、重合)，过点P 作 PE⊥D 于点E，连接PB，已知D＝3，B＝4，设P＝m． (1)当m＝1 时，求PE 的长； (2)连接BE，试问点P 在运动的过程中，能否使得△PB≌△PEB？请说明理由； (3)如图2，过点P 作PF⊥PB 交D 边于点F，设F＝，试判断5m+4 的值是否发生变化，若 不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 6．如图，在平行四边形 中， ，点 是线段 上的一个动点，点 是平行 四边形 边上一点，且 ． (1)如图1，若 ，求证： ； (2)若 ， ． ①如图2，连接 交 于点 ， ，求 的值． ②如图3，点 从点 运动到点 ，求点 的运动的路径长． 7．如图，在矩形 中， ， ，连接 ，点 为 的中点，点 为 边 上的一个动点，连接 ，作 ，交边 于点 ．已知点 从点 开始，以 的速度在线段 上移动，设运动时间为 ．解答下列问题： (1)当为何值时， ？ (2)连接 ，设 的面积为 ，求 与的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使 ？若存在，求出的值； 若不存在，请说明理由； (4)连接 ，在运动过程中，是否存在某一时刻，使 恰好将 分成面积比为 的两部分？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 8．已知，如图，在△B 中，B==10m，B=12m，D⊥B 于点D，直线PM 交B 于点P，交于点 M，直线PM 从点出发沿B 方向匀速运动，速度为1m/s；运动过程中始终保持PM⊥B，过 点P 作PQ⊥B，交B 于点Q，交D 于点，连接QM，设运动时间是t(s)(0＜t＜6)，解答下列 问题： (1)当t 为何值时，QM//B？ (2)设四边形PM 的面积为y(m2)，试求出y 与t 的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使四边形PM 的面积是△B 面积的 ？若存在，求出t 的值；若不存 在，请说明理由； (4)是否存在某一时刻t，使点M 在线段PQ 的垂直平分线上？若存在，求出t 的值；若不存 在，请说明理由．