九上专题05 相似三角形中的动点问题（教师版）

专题05 相似三角形中的动点问题 例1．(分类讨论)如图，在△B 中，B＝B＝20m，＝30m，点P 从点出发，沿B 以4m/s 的速 度向点B 运动，同时点Q 从点出发，沿以3m/s 的速度向点运动，当其中一点到达终点时， 另一点也停止运动，设运动时间为xs． (1)当 时，求x 的值． (2)△PQ 与△QB 能否相似？若能，求出P 的长；若不能，请说明理由． 【答】(1) (2)能，P＝ m 或20m 【解析】(1) 解：当 时，P：B＝Q：， ∵P＝4x，Q＝30－3x， ∴ ， 解得：x＝ ； (2) 解：∵B＝B ∴ ， ①当△PQ∽△QB 时，有 ， 即： ， 解得： ， ∴ (m)， ②当△PQ∽△BQ 时，有 ， 即： ， 解得：x＝5 或x＝－10(舍去)， ∴P＝4x＝20(m)， 综上所述，当P＝ m 或20m 时，△PQ 与△QB 相似． 例2．(函数与相似)已知：如图，在△B 中，B＝＝5m，B＝8m，D⊥B，垂足为D，F 为D 中点．点P 从点B 出发，沿B 向点匀速运动，速度为1m/s 同时，点Q 从点出发，沿B 向 点B 匀速运动，速度为1m/s；点E 为点P 关于D 的对称点．连接PQ、FQ、EF、E．设运 动时间为t(s)(0＜t＜4)，解答下列问题： (1)当PQ∥E 时，求t 的值； (2)设四边形EPQ 的面积为y(m2)，试确定y 与t 的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠DFE＝∠FQ？若存在，求出t 的值；若不存在， 请说明理由． 【答】(1) ；(2) ；(3)存在， 【详解】解：(1)当 时， ， ， ， ， ， ， 点E 与点P 关于D 对称， ， ， ， ， ， 即 ， 解得： ， 舍去，故 ， (2)过点 作 于点 ，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得 ， ， 由(1)可知 ， ， 四边形 ， ， ， (3)存在，理由如下： 当 时， 三点共线，过点 作 ，如图， ， ， ， ， 即 ， 解得 ， ， F 为D 中点， ， ， ， ， ， ，即 ， 解得 (舍去， )． 当 时， ． 【变式训练1】如图，Rt△B，∠＝90°，＝10m，B＝8m．点P 从点出发，以2m/s 的速度沿 向点匀速运动，同时点Q 从点B 出发，以1m/s 的速度沿B 向点匀速运动，当一个点到达 终点时，另一个点随之停止． (1)求经过几秒后，△PQ 的面积等于 ？ (2)经过几秒，△PQ 与△B 相似？ 【答】(1)经过4 秒后， 的面积等于 (2)经过 秒或 秒， 与 相似． 【解析】(1) 解：设经过秒后， 的面积的面积等于 ，则 ， ， ， ， 整理得 ， 解得： ， ， 经过4 秒后， 的面积等于 ． (2) 解：①设经过 秒后 ， ， ， 解得 ； ②设经过 秒后 ， ， ， 解得 ； 经过 秒或 秒， 与 相似． 【变式训练2】在平面直角坐标系中，点，B 的坐标分别为 、 ，点P 的坐标为 ．点E 是y 轴上一动点，QP⊥EP 交B 于点Q(保持点Q 在x 轴上方)，EF⊥EQ 交B 于点F． (1)当PQ⊥B 时，求E 的长． (2)当点E 在线段B 上移动时，设Q＝，E＝m，求关于m 的函数表达式． (3)点E 在射线B 上移动过程中，点Q、E、F 构成的三角形与△B 相似，求出点E 的纵坐标． 【答】(1) (2) (3) ， ， 【解析】(1) ∵PQ⊥B，QP⊥EP， ∴EP∥B， ∴∠EP＝∠B，∠PE＝∠B， ∴△EP∽△B， ∴ ，即 ， 解得 ． (2) 如图1，过点Q 作Q⊥． ∵ ，B＝1， ∴B＝3． ∴ ， ， 在Rt△Q 中， ， ． ∵ ， ∴ ． ∵Q⊥，QP⊥EP， 1 ∴∠＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°， 1 ∴∠＝∠3， ∴△QP∽△PE， ∴ ，即 ， 整理得 ． (3) ①如图2，∠EFQ＝∠B 时． 过点E，Q 分别作EM⊥FQ 于点M，Q⊥于点， 则有△EBM∽△B， ∴ 设BM＝m，BE＝3m． ∵∠EBF＝∠B， ∴∠EFQ＝∠EBF， ∴EF＝EB＝3m． ∵EM⊥FQ， ∴BF＝2BM＝2m， ∵ ， ∴FQ＝9m， ∴BQ＝7m， ∴点Q 的坐标为 同理可得△EP∽△PQ，则 ，即 ， 整理得 ， 解得 ， (不合题意，舍去)． ∴ ， ∴点E 的纵坐标为 ． ②如图3，点B，F 重合，∠FQE＝∠F 时． 设BE＝m，则Q＝E＝1－m， ， 同理可得△EP∽△PQ，则 ， 即 ，整理得 ， 解得 ， (不合题意，舍去)． ∴ ， ∴点E 的纵坐标为 ． ③如图4，∠FQE＝∠B 时． 过点E，Q 分别作EM⊥FQ 于点M，Q⊥于点，则有△EBM∽△B， ∴ ．设BM＝m，BE＝3m． ∵∠FQE＝∠B， ∴EQ＝EB＝3m ∵EM⊥FQ， ∴BQ＝2BM＝2m， 同理可得△EP∽△PQ， 则 ，即 ， 整理得 ， 解得 ， (不合题意，舍去)． ∴ ， ∴点E 的纵坐标为 ． 综上所述，点E 的纵坐标为 ， ， 【变式训练3】如图1，已知矩形 的边长 ， ．某一时刻，动点M 从点出发，沿 以 的速度向点B 匀速运动：同时点从点D 出发，沿 方向以 的速度向点匀速运动，点运动到点时停止运动，运动时间为t． (1)若 是等腰直角三角形，则 ___________(直接写出结果)． (2)是否存在时刻t，使以、M、为顶点的三角形与 相似？若存在，求t 的值，若不存 在，请说明理由． (3)如图2，连接 ，试求 的最小值． 【答】(1)2；(2)存在，理由见解析；(3)15 【解析】(1)∵ ，∴若 是等腰直角三角形时，只有 ． 根据题意可知 ， ，则 ，∴ ，解得 ，故答 为：2． (2) ∵ ， ∴以、M、为顶点的三角形与 相似分为两种情况， ①当 时，有 ，即 ，解得： ； ②当 时，有 ，即 ，解得： ． 当 或 时，以、M、为顶点的三角形与 相似； (3) 如图，取中点E，作E 点关于D 的对称点 ，连接 ．作M 点关于B 的对称点 ，连 接 ， ． 根据作图可知 ， ， ∴ ，∴当 最小时 最小， ∵ ， ∴ 的最小值为 的长，即 的最小值为2 的长． 如图，连接 并延长，交D 于点F，B 于点G． ∵作E 点关于D 的对称点 ，∴ ， ． 又∵E 为中点， ∴ ，G 为B 中点， ∴ ， ． ∵作M 点关于B 的对称点 ， ∴ ，∴ ． 在 中， ， ∵ ， ∴ 时， 最小，即 ． ∴ ． 【变式训练4】已知抛物线y＝x2＋bx＋(≠0)与x 轴交于、B 两点(点在点B 的左边)，与y 轴 交于点(0，﹣3)，顶点D 的坐标为(1，﹣4)． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，抛物线在第四象限的图象上有一点M，求四边形BM 面积的最大值及此时点M 的坐标； (3)如图2，直线D 交x 轴于点E，若点P 是线段E 上的一个动点，是否存在以点P、E、为 顶点的三角形与△B 相似．若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】(1)y＝(x﹣1)2﹣4 (2)点M 坐标( ，﹣ )时，四边形BM 面积的最大值 (3)存在，点P 坐标为(﹣1，﹣2)或(﹣ ，﹣ ) 【解析】(1) 设抛物线的表达式为y＝(x﹣1)2﹣4，将点(0，﹣3)代入得： 4﹣4＝0，解得＝1， ∴抛物线表达式为：y＝(x﹣1)2﹣4； (2) 连接B，作M∥y 轴交B 于点，交B 于点E，作F⊥M 于点F，如图， 由(1)知，抛物线表达式为y＝(x﹣1)2﹣4＝x2﹣2x﹣3， 令y＝0，可解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴点坐标(﹣1，0)，点B 坐标(3，0)， 设直线B 的表达式为y＝kx+b，将点B (3，0)，(0，﹣3)代入得： ， ∴ ， ∴直线B 表达式为y＝x﹣3， 设M 点(m，m2﹣2m﹣3)，则点(m，m﹣3)， ∴S 四边形BM＝S△B+S△BM ＝S△B+S△M+S△BM ＝ + ＝ ＝6+ ＝ 当 时，即点M 坐标 时，四边形BM 面积的最大值 ； (3) 如图，作PQ 垂直x 轴， 设直线D：y＝px+q，将点，D 分别代入得， ， 解得 ， ∴直线B：y＝﹣x﹣3， 当y＝0 时，解得x＝﹣3， ∴点E 坐标为(﹣3，0)， ∵E＝＝B＝3， ∴∠E＝∠B＝45°， 在Rt△B 中， B＝ ＝ ， ①当△B∽△EP 时， ，即 ，解得EP＝ ， 在Rt△EPQ 中，∠E＝45°， ∴s45°＝ ，解得PQ＝2，∴EQ＝PQ＝2， 此时点P 坐标(﹣1，﹣2)； ②当△B∽△EP 时， ，即 ，解得EP＝ ， 在Rt△EPQ 中，∠E＝45°， ∴s45°＝ ，解得 ∴ ， 此时点P 坐标 ； 综上所述，当点P 坐标为(﹣1，﹣2)或 时，点P、E、为顶点的三角形与△B 相似． 课后训练 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形B 的顶点 的坐标是 ，动点P 从点出发，以每 秒1 个单位的速度沿线段B 运动，动点Q 从点出发，以每秒2 个单位的速度沿线段运动， 连接B，连接PQ 与线段B 相交于点D，两点同时出发，当点Q 到达点时，P，Q 同时停止 运动，设运动时间为 ． (1) _____________， _____________(请用含的代数式表示) (2)当 时，求的值． (3)在P，Q 运动的过程中，将矩形B 沿PQ 折叠，点，点的对应点分别是点E，点F． ①当点F 恰好落在线段B 上时，直接写出此时的t 值． ②连接PF，连接F，当 时，直接写出此时点F 的坐标． 【答】(1)t，6-2t；(2) ；(3)① ； ② 【详解】解：(1)根据题意得：P=t，Q=2t， ∵矩形B 的顶点 的坐标是 ， = ∴B=6， ∴Q=6-2t； (2)∵四边形B 是矩形， ∴B∥，即BP∥Q， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∵P=t， ∴BP=6-t， ∴ ， 解得： ； (3)①如图，过点P 作PM⊥于点M，则M=P=t， ∵将矩形B 沿PQ 折叠，点，点的对应点分别是点E，点F． ∴PQ⊥B，即∠DQ=90°， ∴∠DQ+∠QD=90°， 在矩形B 中，顶点 的坐标是 ， ∠B=90°，B∥，⊥，B⊥，B==4， ∴∠DQ+∠B=90°，PM==4， ∴∠B=∠QD， ∵PM⊥， ∴∠PMQ=∠B=90°， ∴ ， ∴ ， ∵Q=6-2t， ∴MQ=6-2t-t=6-3t， ∴ ， 解得： ； ②如图，设F 交PQ 于点，过点F 作G⊥B 于点交于点G，则G⊥， 在矩形B 中，∠=90°， = ∴∠∠F=∠FGQ=90°， ∴四边形G 是矩形， = ∴G，G==4， ∵将矩形B 沿PQ 折叠，点，点的对应点分别是点E，点F． ∴PQ 垂直平分F， ∴P=FP， FQ=Q=6-2t， ∴∠PF=∠PF， ∵ ， ∴∠PF=∠PF=45°， ∴∠PF=90°， ∴∠P+∠FP=90°， ∵∠P+∠P=90°， ∴∠FP=∠P， = ∵∠∠PF=90°， ∴ ， ∴F=P=t，P==4，∴G==4+t， FG=G-F=4-t， ∴QG=G-Q=(4+t)-(6-2t)=3t-2， 在 中，由勾股定理得： ，解得： 或 (舍去)， ∴ ， ∴点F 的坐标为 ． 2．如图，抛物线 的图象与 轴交于点 ， ，与 轴相交于点 ，顶 点为 ． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点 是 轴右侧抛物线上一点，过点 作 轴于 ，以 ， ， 为顶点的三 角形与 相似，求点 的坐标． 【答】(1) ；(2) 或 或 ． 【详解】解：(1)∵抛物线的顶点为 ， ∴设抛物线解析式为 ， ∵抛物线 经过点 ， ∴ ， 解得=-1， ∴抛物线解析式为 即 ， (2)把x=0 代入 ，得y=0， ∴点坐标为(0,2)， 把y=0 代入 得 ， 解得 ， ∴点坐标为(-1,0)， =1 ∴ ，=2； 设点M 坐标为( ) ∵点M 是 轴右侧抛物线上一点， ∴MP=x， ①如图1，当点M 在点下方，△MP∽△时， 则 ， 即 ， 解得 ，其中x=0 不合题意，舍去， 此时点M 坐标为 ； ②如图2，当点M 在点下方，△MP∽△时， 则 ， 即 ， 解得 ，其中x=0 不合题意，舍去， 此时点M 坐标为 ； ③如图3 当点M 在点上方，△MP∽△时， 则 ，即 ，解得 ，其中x=0 不合题意，舍去， 此时点M 坐标为 ； ④当点M 在点上下方，△MP∽△时， 则 ， 即 ， 解得 ，均不合题意，舍去； 综上所述，符合条件的M 坐标分别是 或 或 ． 3．在平面直角坐标系中，点的坐标为 ，点B 在直线 上，过点B 作B 的 垂线，过原点作直线l 的垂线，两垂线相交于点． (1)如图，点B，分别在第三、二象限内，B 与相交于点D． ①若 ，求证： ． ②若 ，求四边形 的面积． (2)是否存在点B，使得以 为顶点的三角形与 相似？若存在，求B 的长；若不 存在，请说明理由． 【答】(1)①见解析；② ；(2)存在， ，4，9，1 【详解】解：(1)①证明：如图1， ∵ ，∴ ． ∴ ，∴ ．而 ，∴ ． ∵ ，∴ ．∴ ，∴ ． ②如图1，过点作 于点．由题意可知 ， 在 中， ．设 ， ． ∵ ，∴ ，解得 ． ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ： ∴ ． (2)过点作 于点，则有 ． ①如图2，当点在第二象限内， 时，设 ∵ ，∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ，整理得 ，解得 ． ∴ ． ②如图3，当点在第二象限内， 时，延长 交于点G， 则 ，∴ ． 又∵ ， ∴ ， 而 ， ∴ ， ∴ ③当点在第四象限内， 时， 与 相交于点E，则有 ． ()如图4，点B 在第三象限内． 在 中， ，∴ ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 而 ∴ ， ∴ ∴ ， ∴ ， ∴ (b)如图5，点B 在第一象限内． 在 中 ∴ ，∴ ． 又∵ ，∴ 而 ，∴ ，∴ ∴ ，∴ ，∴ 综上所述， 的长为 ，4，9，1． 4．如图，在矩形 中， ， 是对角线 的中点， 是线段 上一点，射线 交 于点 ，交 延长线于点 ，连接 ，在 上取点 ，使 ，设 ， (1)连接 ，当 时，判断四边形 是否为平行四边形，并说明理由． (2)当 时，若 平行 的某一边，求 的长． (3)若 ，分别记 和 的面积为 和 ，且 ．求 的值． 【答】(1)四边形EDB 是平行四边形，理由见详解；(2) 或 ；(3) ． 【详解】解：(1)四边形EDB 是平行四边形，理由如下： ∵四边形 是矩形， ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是对角线 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形EDB 是平行四边形； (2)由(1)及题意得： ， ①当 时，则 ，如图所示： ∴∠FQ=45°， ∴△FQ、△ED 都为等腰直角三角形， ∴ED=D=8， , ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴D=24-8=16； ②当 时，如图所示： 作D∥F 交于点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，DQ=D-Q=8-6=2， ∴ ， ∵D∥E， ∴ ， =24 ∴ ， ∴ ， 综上所述： 或 ； (3)过点Q 作Q⊥F 于点，如图所示： ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴E 是∠E 的角平分线， ∴ ， ∴ ， 在Rt△Q 中， ，即 ， 解得： ， ， ∴ ， ∴ ． 5．如图1，四边形BD 是矩形，点P 是对角线上的一个动点(不与、重合)，过点P 作 PE⊥D 于点E，连接PB，已知D＝3，B＝4，设P＝m． (1)当m＝1 时，求PE 的长； (2)连接BE，试问点P 在运动的过程中，能否使得△PB≌△PEB？请说明理由； (3)如图2，过点P 作PF⊥PB 交D 边于点F，设F＝，试判断5m+4 的值是否发生变化，若 不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 【答】(1)PE＝ ；(2)不能，理由见解析；(3)不变，5m+4＝16． 【详解】解：(1)连接BE， 由已知：在Rt△D 中，＝ ， 当P＝m＝1 时，P＝﹣P＝5 1 ﹣＝4， ∵PE⊥D， ∴∠PE＝∠D＝90°， ∵∠D＝∠PE， ∴△D∽△PE， ∴ ， 即 ， ∴PE＝ ； (2)如图1，当△PB≌△PEB 时， ∴P＝PE， ∵P＝m，则P＝5﹣m， 由(1)得：△D∽△PE， ∴ ， ∴PE＝ ， 由P＝PE，即 ， 解得：m＝ ， ∴E＝ ， ∴BE＝ ， ∴△PB 与△PEB 不全等， ∴不能使得△PB≌△PEB； (3)如图2，延长EP 交B 于G， ∵BP⊥PF， ∴∠BPF＝90°， ∴∠EPF+∠BPG＝90°， ∵EG⊥B， ∴∠PGB＝90°， ∴∠BPG+∠PBG＝90°， ∴∠PBG＝∠EPF， ∵∠PEF＝∠PGB＝90°， ∴△BPG∽△PFE， ∴ ， 由(1)得：△PE∽△D，PE＝ ， ∴ ， 即 ， ∴E＝ ， ∴BG＝E＝ ， ∴ ， 5 ∴m+4＝16． 6．如图，在平行四边形 中， ，点 是线段 上的一个动点，点 是平行 四边形 边上一点，且 ． (1)如图1，若 ，求证： ； (2)若 ， ． ①如图2，连接 交 于点 ， ，求 的值． ②如图3，点 从点 运动到点 ，求点 的运动的路径长． 【答】(1)见详解；(2)① ；②28−16 【详解】解：(1)如图1 中， ∵四边形BD 是平行四边形，B＝B， ∴四边形BD 是菱形， ∴B＝B＝D＝D，∠B＝∠D＝60°， ∴△B，△D 都是等边三角形， ∴∠D＝∠D＝60°， ∵∠DPK＝∠B＝60°，∠PD＝∠PK＋∠DPK＝∠D＋∠DP， ∴∠DP＝∠PK， ∴△DP∽△PK， ∴ ； (2)①如图2 中，过点P 作PM⊥D 于M，P⊥B 于，连接PB． ∵四边形BD 是菱形，∠B＝90°， ∴四边形BD 是正方形， ∴∠PD＝∠PB， ∵P＝P，D＝B， ∴△PD≌△PB(SS)， ∴PB＝PD，∠PBK＝∠DP， ∵∠DPK＝90°，∠DK＝90°， ∴∠PK＋∠DP＝180°， ∵∠PK＋∠PKB＝180°， ∴∠PKB＝∠DP，