专题01 三角形边或角关系的三种模型 几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明 角的数量关系，或者三角形的三边和差关系等，接来下我们针对这两个版块做出详细分析 与梳理。 类型一、燕尾角模型 例1．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果 ， ，那么 的度数是( )． ． B． ． D． 【变式训练1】如图，若 ，则 ____________． ．40° D．50° 【变式训练4】如图，将矩形纸片 沿 折叠，点 落在边 上的点 处，点 落 在点 处，若 ，则 的度数为( )． ．42° B．69° ．44° D．32° 类型三、“8”字模型 例1 如图， 平分 ，交 于点F， 平分 交 于点E， 与 相交 于点G， ． (1)若 ，求 的度数； (2)若 ，求 的度数． 【变式训练1】如图，求∠+∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F+∠G+

专题02 与三角形的角有关的三种题型 类型一、与角平分线有关的内角和问题 例．如图， 中， ， 平分 ，若 ， ，则 （ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】设 ，那么 ，然后利用 分别表示 ， ， ，最 后利用三角形内角和定理建立方程解决问题． 【详解】解：∵ 中， ， ∴设 ，那么 ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，同时也利用了角平分线的定义，解题的关键 是熟练使用三角形内角和定理． 【变式训练1】如图，在 ， 、 分别是高和角平分线，点 在 的延长线上， 交 于 ，交 于 ，下列结论：① ；② ； ③ ；④ ，正确的是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【答】D 【分析】①根据 ， ，以及 即可推出 ；②根 据角平分线的定义和三角形外角的性质证明即可；③证明 据角平分线的定义和三角形外角的性质证明即可；③证明 ，由①知： 即可证明 ；④由同角的余角相等证明 ， 再根据三角形外角的性质及角平分线的性质即可推出 ． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 故①正确； ∵ 平分 ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 故②正确； ∵ 平分 ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 由①知： ， ∴ ． 故③正确； ∵ ， ， ∴

专题01 三角形边或角关系的三种模型 几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明 角的数量关系，或者三角形的三边和差关系等，接来下我们针对这两个版块做出详细分析 与梳理。 类型一、燕尾角模型 例1．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果 ， ，那么 的度数是( )． ． B． ． D． 【答】 【详解】延长BE 交F 处，若 ，则 的度数为( )． ．42° B．69° ．44° D．32° 【答】 【详解】由图形翻折的性质可知， ， ， ， ，利用“8”字模型， ， 故选：． 类型三、“8”字模型 例1 如图， 平分 ，交 于点F， 平分 交 于点E， 与 相交 于点G， ． (1)若 ，求 的度数； (2)若 ，求 的度数． 【答】(1) ；(2) ． 【详解】解：(1) ，∠=38°， P= ∴∠ (38°+42°)=40°． 【变式训练1】如图，求∠+∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F+∠G+ + ∠∠K 的度数． 【答】540° 【详解】解：如图所示： 由三角形的外角的性质可知：∠＋∠B＝∠L，∠＋∠D＝∠ML，∠＋∠K＝∠G，∠E＋∠F＝ ∠GML， ∴∠＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠＋∠K＝∠L＋∠ML＋∠GML＋∠G＋∠G＝(5－2)×180°

专题02 与三角形的角有关的三种题型 类型一、与角平分线有关的内角和问题 例．如图， 中， ， 平分 ，若 ， ，则 （ ） ． B． ． D． 【变式训练1】如图，在 ， 、 分别是高和角平分线，点 在 的延长线上， 交 于 ，交 于 ，下列结论：① ；② ； ③ ；④ ，正确的是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【变式训练2】如图， 中， ， ， 平分 ， 于 ， 上的一点，将 沿 翻折得到 ，边 交 于点F，若 ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 类型三、多边形角度问题 例．一个多边形的每个外角都等于与它相邻的内角，这个多边形是（ ）边形 ．四 B．五 ．六 D．八 例2（1）如图1 所示， ； （2）如果把图1 称为二环三角形，它的内角和为 ；图2 称 为二环四边形，它的内角和为 ，则二环四边形的 内角和为 在同一平面内，连接 ，若 ，则 （ ） ． B． ． D． 3．如图在五角星中， 的度数是（ ） ． B． ． D． 4．一副三角板如图方式摆放， 平分 ， 平分 ，则 的度数为 ． 5．把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中 ， ， ， ，则 ． 6．如图，在 中， ， 的平分线交于点 ， 是 与 平分线 的交点， 是

重难点突破09 相似三角形8 种模型 （字、8 字、射影定理、一线三等角、线束模型、三角形内接矩形、三平行模型、 手拉手模型） 目 录 题型01 字模型 题型02 8 字模型 题型03 射影定理 题型04 一线三等角模型 题型05 线束模型 题型06 三角形内接矩形模型 题型07 三平行模型 题型08 手拉手模型（旋转模型） 相似三角形的判定方法： 1）平行于三角形一边 1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2）两个三角形相似的判定定理： ①三边成比例的两个三角形相似； ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③两角分别相等的两个三角形相似． ④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似 题型01 字模型 已知 图示 结论（性质） 若DE∥B ①∆DE~∆B ②AD AB = AE AC = DE BC 若∠1=∠2 反A字模型 E C B A D [双反字模型] 若∠1=∠2=∠3 ①∆EB~∆DE~∆D B•=BE•D ② ( ③AE AD )2= BE CD 1．（2020·湖北武汉·统考一模）如图，在Rt △ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D 是AB上一点， 点E 在BC上，连接CD，AE交于点F，若∠CFE=45°，BD=2 AD，则CE＝ ． 2．（

专题04 三角形中的倒角模型-高分线模型、双（三）垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直 模型、子母型双垂直模型（射影定理模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1：高分线模型 条件：D 是高，E ， 为 的平分线， 于点 ，则 度数为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】依据直角三角形，即可得到 ，再根据 , 平分 ,即可得到 的度 数,再根据 进行计算即可． 【详解】解： , , 又 , 平分 , ， ,故选：． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是 是解答此题的关键． 例2．（2023 春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在△B 中，∠1＝∠2，G 【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念，知G 是△BE 的角平分线，故此说法错误； ②根据三角形的中线的概念，知BG 是△BD 的边D 上的中线，故此说法错误； ③根据三角形的高的概念，知为△D 的边D 上的高，故此说法正确； ④根据三角形的角平分线和高的概念，知是△F 的角平分线和高线，故此说法正确．故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、

专题10 相似三角形中的动点问题的三种考法 类型一、相似三角形存在性问题 例1．如图，正方形BD 的边长为4，E 是B 的中点，点P 在射线D 上，过点P 作PF⊥E，垂足为F．当点 P 在射线D 上运动时，若以P、F、E 为顶点的三角形与△BE 相似，则P 的值为 ． 【答】2 或5 【分析】分两种情况讨论，由相似三角形的判定和矩形的性质可求解． 【详解】解：∵E 是B ∴∠PEF=∠PF． ∴PE=P． ∵PF⊥E， ∴点F 为E 的中点． ∵ ， ∴ ． ∵ ，即 ， ∴PE=5， 综上所述：P 的值为2 或5， 故答为：2 或5． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关 键． 例2．如图，在直角 中， ， ， ，点 是 的中点，点 是 边上的动点， 交射线 于点 ． （1）求 的长； （2）连接 的长为 或 ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，题目难度不小，具有一定的综合性．特别是三角形相似的 判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等 隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或 依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使 用，

重难点突破09 相似三角形8 种模型 （字、8 字、射影定理、一线三等角、线束模型、三角形内接矩形、三平行模型、 手拉手模型） 目 录 题型01 字模型 题型02 8 字模型 题型03 射影定理 题型04 一线三等角模型 题型05 线束模型 题型06 三角形内接矩形模型 题型07 三平行模型 题型08 手拉手模型（旋转模型） 相似三角形的判定方法： 1）平行于三角形一边 1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2）两个三角形相似的判定定理： ①三边成比例的两个三角形相似； ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③两角分别相等的两个三角形相似． ④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似 题型01 字模型 已知 图示 结论（性质） 若DE∥B ①∆DE~∆B ②AD AB = AE AC = DE BC 若∠1=∠2 )2= BE CD 1．（2020·湖北武汉·统考一模）如图，在Rt △ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D 是AB上一点， 点E 在BC上，连接CD，AE交于点F，若∠CFE=45°，BD=2 AD，则CE＝ ． 【答】2 【分析】过D 作DH垂直AC于点，过D 作DG∥AE交B 于G 点，先利用解直角三角形求出CD的长，其 次利用△CDG∽△CBD，求出C

44 三角形 例 2023 年河北省中考第5 题 四边形BD 的边长如图1 所示，对角线的长度随四边形 形状的改变而变化．当△B 为等腰三角形时，对角线的长为 （ ）． ．2 B．3 ．4 D．5 图1 例 2023 年重庆市中考卷第9 的长为__________． 图1 例 2023 年江西省中考第12 题 如图1，在平行四边形BD 中，∠B＝60°，B＝2B，将B 绕点逆时针旋转角α（0°＜α＜ 360°）得到P，连结P、PD．当△PD 为直角三角形时，旋转角α 的度数为__________． 图1 例 2023 年重庆市中考B 卷第9 题 如图1，在正方形BD 中，为对角线的中点，E 为正方形内一点，连结BE，BE＝B，连 结E 并延长，与∠BE 图1 例 2023 年杭州市中考第10 题 第二十届国际数学家大会会徽的设计基础是1700 多年前中国古代数学家赵爽的“弦 图”．如图1，在由四个全等的直角三角形（△DE，△BF，△BG，△D）和中间一个小正方 形EFG 拼成的大正方形BD 中，∠BF＞∠BF，连结BE．设 ∠BF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFG 与正方形BD 的面积比 为1∶，tα＝t2β，则＝（

专题04 三角形中的倒角模型-高分线模型、双（三）垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直 模型、子母型双垂直模型（射影定理模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1：高分线模型 条件：D 是高，E 为E 的延长线上的一点， 于D，这时 与 的关系式是否变化，说明理由． 模型2：双垂直模型 结论：①∠=∠ ；②∠B=∠FD=∠FE；③ 。 例1．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，在 中， 分别是 边上的高，并且 交于 点P，若 ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 例2．（2022 秋·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在 中， 和 分别是 边上的高，若 段练习）如图，在 中， ， 于D，求证： ． 例2．（2023·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，D，BF 分别是△B 的高线与角平分线，BF，D 交于点 E，∠1＝∠2．求证：△B 是直角三角形． 例3．（2022 秋·北京通州·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，垂足为 ．如 果 ， ，则 的长为（ ） ．2 B． ． D． 例4．（2023 春·江苏苏州·七年级苏州中学校考期中）已知，在