重难点突破09 相似三角形8种模型（A字、8字、射影定理、一线三等角、线束模型、三角形内接矩形、三平行模型、手拉手模型）（解析版）

重难点突破09 相似三角形8 种模型 （字、8 字、射影定理、一线三等角、线束模型、三角形内接矩形、三平行模型、 手拉手模型） 目 录 题型01 字模型 题型02 8 字模型 题型03 射影定理 题型04 一线三等角模型 题型05 线束模型 题型06 三角形内接矩形模型 题型07 三平行模型 题型08 手拉手模型（旋转模型） 相似三角形的判定方法： 1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2）两个三角形相似的判定定理： ①三边成比例的两个三角形相似； ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③两角分别相等的两个三角形相似． ④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似 题型01 字模型 已知 图示 结论（性质） 若DE∥B ①∆DE~∆B ②AD AB = AE AC = DE BC 若∠1=∠2 或∠3=∠4 或AD AB = AE AC ①∆DE~∆B ②2=B•D 若∠1=∠2 1 2 共边反A字模型 D A B C ①∆DE~∆B ②2=B•D [补充]该模型也被称为子母模型，即子母模型 可以看作一组公共边的反模型 E D A B C 4 3 2 1 反A字模型 E C B A D [双反字模型] 若∠1=∠2=∠3 ①∆EB~∆DE~∆D B•=BE•D ② ( ③AE AD )2= BE CD 1．（2020·湖北武汉·统考一模）如图，在Rt △ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D 是AB上一点， 点E 在BC上，连接CD，AE交于点F，若∠CFE=45°，BD=2 AD，则CE＝ ． 【答】2 【分析】过D 作DH垂直AC于点，过D 作DG∥AE交B 于G 点，先利用解直角三角形求出CD的长，其 次利用△CDG∽△CBD，求出CG的长，得出BG的长，最后利用△BDG∽△BAE，求出BE的长，最 后得出答． 【详解】解：如图：过D 作DH垂直AC于点，过D 作DG∥AE交BC于G 点， ∵在Rt △ABC中，AC=BC=6， ∴AB= ❑ √A C 2+BC 2=6 ❑ √2， 又∵BD=2 AD， ∴AD=2❑ √2 ， ∴在等腰直角三角形AHD中，AH=DH=2， ∴CH=6−2=4， 在Rt △CHD中，CD= ❑ √C H 2+D H 2=2❑ √5， 3 2 1 E D B C A ∵DG∥AE， ∴∠CFE=∠CDG=45°，∠B=45°， ∴∠CDG=∠B， 又∵∠DCG=∠BCD， ∴△CDG∽△CBD， ∴CD CB =CG CD ， ∴C D 2=CG⋅CB， 即20=6CG， ∴CG=¿ 10 3 ， ∴BG=BC−CG=¿ 6−10 3 =8 3， 又∵DG∥AE， ∴△BDG∽△BAE， 又∵BD＝2 AD， ∴BD BA = BG BE =2 3， 又BG=8 3， ∴BE=BG× 3 2=4， ∴CE=6−4=2， 故答为：2． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做 出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答． 2．（2020·浙江杭州·统考中考真题）如图是一张矩形纸片，点E 在B 边上，把△BCE沿直线E 对折，使 点B 落在对角线上的点F 处，连接DF．若点E，F，D 在同一条直线上，E＝2，则DF＝ ，BE＝ ． 【答】 2 ❑ √5 1 ﹣ 【分析】先根据矩形的性质得到AD=BC，∠ADC=∠B=∠DAE=90°，再根据折叠的性质得到 CF=BC，∠CFE=∠B=90°，EF=BE，然后根据全等三角形的性质得到DF=AE=2；最后根据相 似三角形的性质即可得BE 的值． 【详解】∵四边形BD 是矩形 ∴AD=BC，∠ADC=∠B=∠DAE=90° ∵把△BCE沿直线E 对折，使点B 落在对角线上的点F 处 ∴CF=BC，∠CFE=∠B=90°，EF=BE ∴CF=AD，∠CFD=90° ∴∠ADE+∠CDF=∠FCD+∠CDF=90° ∴∠ADE=∠FCD 在△ADE和△FCD中，¿ ∴△ADE≅△FCD( ASA ) ∴DF=AE=2 ∵∠AFE=∠CFD=90° ∴∠AFE=∠DAE=90° ∵∠AEF=∠DEA ∴△AEF ∼△DEA ∴AE DE = EF AE ，即 AE DF+EF = EF AE ∴ 2 2+EF = EF 2 解得EF=❑ √5−1或EF=−❑ √5−1<0（不符题意，舍去） 则BE=EF=❑ √5−1 故答为：2，❑ √5−1． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质 等知识点，根据矩形与折叠的性质，正确找出两个相似三角形是解题关键． 3．（2020·山东济宁·中考真题）如图,在四边形BD 中，以B 为直径的半圆经过点,D．与BD 相交于点E， D2=E·,分别延长B,D 相交于点P，PB=B，D=2❑ √2．则B 的长是 ． 【答】4 【分析】连接，设⊙的半径为r，由D2=E•和∠D= DE ∠ ，可判断△D DE ∽△ ，得到∠D= DE ∠ ，再根据圆周角 定理得∠D= BD ∠ ，所以∠DB= BD ∠ ，利用等腰三角形的判定得B=D，证明∥D，利用平行线分线段成比例 定理得到PC CD = PO OA =2，则PC=2CD=4 ❑ √2，然后证明△PCB∽△PAD，利用相似比得到 4 ❑ √2 3r = r 6 ❑ √2 ，再利用比例的性质可计算出r 的值即可． 【详解】解：连接OC，如图，设⊙O的半径为r， ∵DC 2=CE·CA， ∴ DC CE = CA DC ， 而∠ACD=∠DCE， ∴△CAD∽△CDE， ∴∠CAD=∠CDE， ∵∠CAD=∠CBD， ∴∠CDB=∠CBD， ∴BC=DC， ∴ ´ CD= ´ CB， ∴∠BOC=∠BAD， ∴OC/¿ AD， ∴ PC CD = PO OA =2r r =2， ∴PC=2CD=4 ❑ √2， ∵∠PCB=∠PAD，∠CPB=∠APD， ∴△PCB∽△PAD， ∴ PC PA = PB PD ，即4 ❑ √2 3r = r 6 ❑ √2 ， ∴r=4， 即B=4 故答为：4 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两 个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻 找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作 辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还 是综合运用，都要具备应有的条件方可．也考查了圆周角定理． 4．（2020·上海浦东新·统考三模）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，∠B＝60°，＝6，D 平分∠B，交边B 于点 D，过点D 作的平行线，交边B 于点E． (1)求线段DE 的长； (2)取线段D 的中点M，连接BM，交线段DE 于点F，延长线段BM 交边于点G，求EF DF 的值． 【答】(1)4 (2)2 3 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可； （2）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可． 【详解】（1）解：∵D 平分∠B，∠B＝60°， ∴∠D＝30°， 在Rt△D 中，∠D＝90°， ∠D＝30°，＝6， ∴D＝2❑ √3， 在Rt△B 中，∠B＝90°，∠B＝60°，＝6， ∴B＝6 ❑ √3， ∴BD＝B－D＝4 ❑ √3， ∵DE∥， ∴DE CA ¿ BD BC =2 3， ∴DE＝4； （2）解：如图． ∵点M 是线段D 的中点， DM ∴ ＝M， ∵DE∥， ∴DF AG ＝DM AM ． ∴DF＝G． ∵DE∥， ∴EF AG ＝BF BG ，BF BG ＝BD BC ． ∴EF AG ＝BD BC ． ∵BD＝4❑ √3， B＝6❑ √3， DF＝G， ∴EF DF =2 3． 【点睛】考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系． 5．（2021 上·辽宁丹东·九年级统考期中）如图，△BD 中，∠＝90°，B＝6m，D＝12m．某一时刻，动点M 从点出发沿B 方向以1m/s 的速度向点B 匀速运动；同时，动点从点D 出发沿D 方向以2m/s 的速度向点匀 速运动，运动的时间为ts． （1）求t 为何值时，△M 的面积是△BD 面积的2 9； （2）当以点，M，为顶点的三角形与△BD 相似时，求t 值． 【答】（1）t1=4，t2=2；（2）t＝3 或24 5 【分析】（1）由题意得D＝2t（m），＝（12 2 ﹣t）m，M＝tm，根据三角形的面积公式列出方程可求出答； （2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t 的值． 【详解】解：（1）由题意得D＝2t（m），＝（12 2 ﹣t）m，M＝tm， ∴△M 的面积＝1 2•M＝1 2×（12 2 ﹣t）×t＝6t﹣t2， ∵∠＝90°，B＝6m，D＝12m ∴△BD 的面积为1 2B•D＝1 2×6×12＝36， ∵△M 的面积是△BD 面积的2 9， 6 ∴t﹣t2＝2 9 ×36， ∴t2 6 ﹣t+8＝0， 解得t1＝4，t2＝2， 答：经过4 秒或2 秒，△M 的面积是△BD 面积的2 9； （2）由题意得D＝2t（m），＝（12 2 ﹣t）m，M＝tm， 若△M∽△BD， 则有AM AB = AN AD ，即t 6=12−2t 12 ， 解得t＝3， 若△M∽△DB， 则有AM AD = AN AB ，即t 12=12−2t 6 ， 解得t＝24 5 ， 答：当t＝3 或24 5 时，以、M、为顶点的三角形与△BD 相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是 解题的关键． 6．（2020 上·河南郑州·九年级校考阶段练习）如图，已知D 是B 的中点，M 是D 的中点．求AN : NC的 值． 【答】1 2 【分析】解法1：过点D 作的平行线交B 于点，构造“”型和“8”型，得出△BDH ∽△BCN和 △DHM ∽△ANM，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答； 解法2：过点作D 的平行线交B 的延长线于点，构造“”型和“8”型，得出△BDM ∽BCH和 △AMN ∽△CHN，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答； 解法3：过点作B 的平行线交B 的延长线于点，构造“”型和“8”型，得出△AHM ∽△DBM和 △AHN ∽△CBN，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答； 解法4：过点D 作B 的平行线交于点，根据三角形中位线定理得出AN=NH=CH， 即可得出答； 【详解】解法1：如图2，过点D 作的平行线交B 于点． 因为DH /¿ AC． 所以△BDH ∽△BCN， 所以DH CN = BD BC ． 因为D 为B 的中点，所以DH CN = BD BC =1 2． 因为DH /¿ AN，所以△DHM ∽△ANM， 所以DH AN = DM AM ． 因为M 为D 的中点，所以DH AN = DM AM =1． 所以DH=AN， 所以AN CN =1 2． 解法2：如图3，过点作D 的平行线交B 的延长线于点． 因为DM /¿CH，所以△BDM ∽BCH， 所以DM CH = BD BC ． 因为D 为B 的中点，所以DM CH = BD BC =1 2． 因为M 为D 的中点，所以AM=DM， 所以AM CH =1 2． 因为DM /¿CH， 所以△AMN ∽△CHN， 所以AN CN = AM CH =1 2． 解法3：如图4，过点作B 的平行线交B 的延长线于点． 因为AH /¿ BD，所以△AHM ∽△DBM， 所以AH BD = AM DM ． 因为M 为D 的中点，所以AM=DM，所以AH=BD． 因为AH /¿ BD，所以△AHN ∽△CBN， 所以AN CN = AH BC ． 因为D 为B 的中点，且AH=BD， 所以AN CN = BD BC =1 2． 解法4：如图5，过点D 作B 的平行线交于点． 在△ADH中， 因为M 为D 的中点，MN /¿ DH， 所以为的中点，即AN=NH． 在△CBN中，因为D 为B 的中点，DH /¿ BN，所以为的中点，即CN=HN， 所以AN=NH=CH． 所以AN CN =1 2． 7．（2022 下·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）定义：如图，若点P 在三角形的一条边上，且满足 ∠1=∠2，则称点P 为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D 是△ABC的边B 的中点，AC=2❑ √2，AB=4，试判断点D 是不是△ABC的“理想 点”，并说明理由； (2)如图②，在Rt △ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若点D 是△ABC的“理想点”，求D 的长． 【答】(1)D为△ABC的理想点,理由见解析 (2)12 5 或9 4 【分析】（1）由已知可得AC AD = AB AC ，从而Δ ACD∽Δ ABC，∠ACD=∠B，可证点D是Δ ABC的 “理想点”； （2）由D是Δ ABC的“理想点”，分三种情况：当D在AB上时，CD是AB边上的高，根据面积法可求 CD长度；当D在AC上时，Δ BDC ∽Δ ABC，对应边成比例即可求CD长度；D不可能在BC上． 【详解】（1）解：点D是Δ ABC的“理想点”，理由如下： ∵D是AB中点，AB=4， ∴AD=BD=2，AD⋅AB=8， ∵AC=2❑ √2， ∴A C 2=8， ∴A C 2=AD⋅AB， ∴ AC AD = AB AC ， ∵∠A=∠A， ∴Δ ACD∽Δ ABC， ∴∠ACD=∠B， ∴点D是Δ ABC的“理想点”； （2）①D在AB上时，如图： ∵D是Δ ABC的“理想点”， ∴∠ACD=∠B或∠BCD=∠A， 当∠ACD=∠B时， ∵∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠BCD+∠B=90°， ∴∠CDB=90°，即CD是AB边上的高， 当∠BCD=∠A时，同理可证∠CDB=90°，即CD是AB边上的高， 在Rt Δ ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4， ∴BC= ❑ √A B 2−A C 2=3， ∵S Δ ABC=1 2 AB⋅CD=1 2 AC ⋅BC， ∴CD=12 5 ， ②∵AC=4，BC=3， ∴AC>BC有∠B>∠A， ∴ “理想点” D不可能在BC边上， ③D在AC边上时，如图： ∵D是Δ ABC的“理想点”， ∴∠DBC=∠A， 又∠C=∠C， ∴Δ BDC ∽Δ ABC， ∴ CD BC = BC AC ，即CD 3 = 3 4 ， ∴CD= 9 4 ， 综上所述，点D是Δ ABC的“理想点”， CD的长为12 5 或9 4 ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义． 8．（2021 上·浙江绍兴·九年级统考期末）如果两个相似三角形的对应边存在2 倍关系，则称这两个相似三 角形互为母子三角形． （1）如果△≝¿与△ABC互为母子三角形，则DE AB 的值可能为（ ） ．2 B．1 2 ．2 或1 2 （2）已知：如图1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=2 AD , ∠ADE=∠B． 求证：△ABD与△ADE互为母子三角形． （3）如图2，△ABC中，AD是中线，过射线CA上点E作EG/¿ BC，交射线DA于点G，连结BE，射线 BE与射线DA交于点F，若△AGE与△ADC互为母子三角形．求AG GF 的值． 【答】（1）；（2）见解析；（3）AG GF =1 3或3． 【分析】（1）根据互为母子三角形的定义即可得出结论； （2）根据两角对应相等两三角形相似得出△ABD∽△ADE，再根据AB=2 AD从而得出结论； （3）根据题意画出图形，分当G , E分别在线段AD , AC上时和当G , E分别在射线DA ,CA上时两种情况 加以讨论； 【详解】（1）∵△≝¿与△ABC互为母子三角形， ∴DE AB = 1 2或2 故选： （2）∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD， ∵∠ADE=∠B， ∴△ABD∽△ADE． 又∵AB=2 AD， ∴△ABD与△ADE互为母子三角形． （3）如图，当G , E分别在线段AD , AC上时， ∵△AGE与△ADC互为母子三角形， ∴CD ¿ = AD AG =2， ∴AG=DG， ∵AD是中线， ∴BD=CD， 又∵≥¿/BC， ∴△GEF ∽△DBF． ∴DF GF = DB ¿ =CD ¿ =2， ∴DG=3GF， ∴AG GF =3． 如图，当G , E分别在射线DA ,CA上时， ∵△AGE与△ADC互为母子三角形， ∴CD ¿ = AD AG =2， ∴AG=1 2 AD=1 3 DG， ∵AD是中线， ∴BD=CD， 又∵≥¿/BC， ∴△GEF ∽△DBF． ∴DF GF = DB ¿ =CD ¿ =2， ∴DG=GF， ∴AG GF =1 3． 综上所述，AG GF =1 3或3 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力． 准确理解题设条件中互为母子三角形的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要考虑 全面，进行分类讨论，避免漏解． 9．（2020 上·全国·九年级专题练习）已知，如图，D 是直角三角形B 斜边上的中线，E D ⊥，E 交B 的延 长线于点E． （1）求证：△BE E ∽△； （2）F BD ⊥ ，垂足为点F，且BE•E＝9，求EF•DE 的值． 【答】（1）证明见解析；（2）DE•EF＝9． 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质和等腰三角形的性质可得∠＝∠D，由余角的性质可得∠EB ＝∠D，进而可得∠EB＝∠，进一步即可证得结论； （2）由（1）可得AE EC = BE AE ，进而可得E2＝BE•E＝9，易证△EF ED ∽△ ，从而得AE DE = EF AE ，进一步即可 求出结果． 【详解】解：（1）∵D 是直角三角形B 斜边上的中线， D ∴＝BD＝D， ∴∠＝∠D， E D ∵⊥，