专题02 与三角形的角有关的三种题型（解析版）

专题02 与三角形的角有关的三种题型 类型一、与角平分线有关的内角和问题 例．如图， 中， ， 平分 ，若 ， ，则 （ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】设 ，那么 ，然后利用 分别表示 ， ， ，最 后利用三角形内角和定理建立方程解决问题． 【详解】解：∵ 中， ， ∴设 ，那么 ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，同时也利用了角平分线的定义，解题的关键 是熟练使用三角形内角和定理． 【变式训练1】如图，在 ， 、 分别是高和角平分线，点 在 的延长线上， 交 于 ，交 于 ，下列结论：① ；② ； ③ ；④ ，正确的是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【答】D 【分析】①根据 ， ，以及 即可推出 ；②根 据角平分线的定义和三角形外角的性质证明即可；③证明 ，由①知： 即可证明 ；④由同角的余角相等证明 ， 再根据三角形外角的性质及角平分线的性质即可推出 ． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 故①正确； ∵ 平分 ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 故②正确； ∵ 平分 ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 由①知： ， ∴ ． 故③正确； ∵ ， ， ∴ ， ． ∴ ． ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ． 故④正确； 综上可知，正确的有①②③④，共4 个， 故选D． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，同角的余角相等等知 识，正确运用三角形的高、角平分线的概念以及三角形的内角和定理是解题的关键． 【变式训练2】如图， 中， ， ， 平分 ， 于 ， ，则 的度数= 【答】 /70 度 【分析】先求出 ，再根据角平分线的定义得出 ，根据垂直的定义 得出 ，求出 ，进而求出 ，再得出 ，根据三角形内角和定理求出答． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，垂直的定义，掌握这些知识点是 解题的关键． 【变式训练3】如图，在 中，线段 平分 ，交 边于点 ，过点 作 于点 ，若 ，则 度． 【答】 【分析】由三角形内角和定理结合已知条件得出 ，由角平分线的定义 得出 ，进而得出 ，得出 ，由垂线的定义 求出 ，再利用三角形内角和定理即可求出 的度数． 【详解】解： ， ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，角平分线的定义， 垂直的定义是解决问题的关键． 类型二、折叠问题 例．如图，将 沿 折叠，使 、 与边 分别相交于点 、 ，若 ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】可得 ， ，可求 ，从 而可求 ，由 ， ，即可求解． 【详解】解：由翻折得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了翻折的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握性质 及定理是解题的关键． 【变式训练1】如图，将 纸片沿 折叠，使点落在点 处，且 平分 平分 ，若 ，则 ． 【答】 /80 度 【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理可得 ，进而可得 ，再根据三角形的外角性质和折叠的性质可得 ， 即可求解 【详解】解：连接 ． ∵ 平分 平分 ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 故答为 ． 【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线 的定义等知识，熟练掌握折叠的性质、得出 是解题的关键 【变式训练2】在 中， ， ，将 、 按照如图所示折叠，若 ，则 ° 【答】 【分析】先根据折叠的性质求出 ， ， ， 再根据三角形内角和定理求出 ， ，进而求出 ，然后求出四边 形内角和，进而得出 ，即可得出答． 【详解】根据折叠性质得 ， ， ． ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ． 在四边形 中， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故答为：265． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，四边形的内角和等，确定各角 之间的数量关系是解题的关键． 【变式训练3】如图，在 中， ， ，点D 是 上的一点，将 沿 翻折得到 ，边 交 于点F，若 ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据等腰三角形的性质得出 ，根据平行线的性质 得出 ，求出 ，根据 ， 即可得出答． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ， 根据折叠可知， ， ∴ ，故正确． 故选：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是 求出 ． 类型三、多边形角度问题 例．一个多边形的每个外角都等于与它相邻的内角，这个多边形是（ ）边形 ．四 B．五 ．六 D．八 【答】 【分析】先求出多边形的外角度数，再根据多边形的外角和等于 求出边数即可． 【详解】解： 一个多边形的每个外角都等于和它相邻的内角， 这个多边形的每一个外角的度数为 ， 多边形的边数为 ， 即多边形是四边形， 故选：． 【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，能根据多边形的外角和求出多边形的边数是即 此题的关键，注意：边数为 的多边形的内角和 ，多边形的外角和等于 ． 例2（1）如图1 所示， ； （2）如果把图1 称为二环三角形，它的内角和为 ；图2 称 为二环四边形，它的内角和为 ，则二环四边形的 内角和为 ；二环五边形的内角和为 ；二环边形的内角和为 ． 【答】 360° 720° 1080° 【分析】（1）结合题意，根据对顶角和三角形内角和的知识，得 ，再根据四边形内角和的性质计算，即可得到答； （2）连接 ， 交 于点M，根据三角形内角和和对顶角的知识，得 ；结合五边形内角和性质，得 ；结合（1）的结论，根据数字规 律的性质分析，即可得到答． 【详解】（1）如图所示，连接D， 交 于点M ∵ ， ， ∴ ； 故答为：360° （2）如图，连接 ， 交 于点M ∴ ， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴二环四边形的内角和为： ∵二环三角形的内角和为： 二环四边形的内角和为： ∴二环五边形的内角和为： ∴二环边形的内角和为： 故答为： ， ， ． 【点睛】本题考查了多边形内角和、对顶角、数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三 角形内角和、多边形内角和、数字规律的性质，从而完成求解． 【变式训练1】若一个多边形的每个外角都是 ，则这个多边形的边数是 ． 【答】八/8 【分析】利用任何多边形的外角和是 ，用 除以一个外角度数即可求出答． 【详解】解：多边形外角个数： ， 所以多边形的边数为， 故答为：八． 【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容． 外角和定理是解题的关键． 【变式训练2】如图所示，已知 ，试求 的度数． 【答】 【分析】连接D．由四边形BD 的内角和定理可推得 ，然后证明 ，则可证 ． 【详解】解：连接 ．设 与 相交于点． 由四边形的内角和可得： ， ∵ ， ∴ ． 在 与 中， ∴ 即 即 (注： ， ) 【点睛】本题考查了三角形与多边形内角和求法，解题的关键是灵活运用所学的多边形内 角和定理将所求的角集中在一起． 【变式训练3】根据题意解答： (1)如图1，点 、 、 、 在同一直线上， 平分 ， ，若 为 度，求 的度数（用关于 的代数式表示），并说明理由． (2)如图2，某停车场入口大门的栏杆如图所示， 地面 ， 地面 ，求 的度数，并说明理由． (3)如图3，若 ， ， ，则 __________度． 【答】(1) ，理由见解析； (2) ，理由见解析； (3) ． 【分析】（1）根据平角定义表示 ，由角平分线定义得： ，最后根据平行线性质得结论； （2）作平行线，根据平行线的性质得： 和 ，所以 ； （3）作辅助线，根据外角定理和四边形的内角和 列式后可得结论． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． （2）解：过 作 ，如图所示： ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ，∴ ， ∴ ． （3）解：延长图中线段，构建如图所示的三角形和四边形， 由三角形外角定理得： ， ， ∵ ， ，∴ ， ， ∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵ ， ∴ ，∴ ， ∴ ，故答为： ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和多边形的内角和，构建恰当的辅助线是解答本题 的关键；熟练掌握外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知道四 边形的内角和为 ． 课后训练 1．如图，在 中， ，将 绕点按逆时针方向旋转得到 ．若点 恰好落在 边上，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据旋转的性质可得： ， ，从而利用等腰三角形的性 质可得 ，然后利用三角形内角和定理可得 ，即可解答． 【详解】由旋转得： ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选： ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 2．如图，点 在同一平面内，连接 ，若 ，则 （ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】连接 ，根据三角形内角和求出 ，再利用四边形内角和减去 和 的和，即可得到结果． 【详解】解：连接 ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角 形和四边形． 3．如图在五角星中， 的度数是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】利用三角形外角的性质可得 ， ，再根据三角形内角 和的性质求解即可． 【详解】解：利用三角形外角的性质可得 ， ， 再根据三角形内角和的性质可得： ， 故选： 【点睛】此题考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关 基础性质． 4．一副三角板如图方式摆放， 平分 ， 平分 ，则 的度数为 ． 【答】 【分析】首先根据三角板的性质得到 ， ，然后利用角平分线的概 念得到 ， ，最后利用三角形内角和定理求 解即可． 【详解】∵一副三角板如图方式摆放， ∴ ， ， ∵ 平分 ， 平分 ， ∴ ， ∴ ． 故答为： ． 【点睛】此题考查了三角板中角的运算，角平分线的概念，三角形内角和定理的运用等知 识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 5．把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中 ， ， ， ，则 ． 【答】 【分析】根据三角形外角性质得出 ， ，再根据三角形的 内角和定理和解答即可． 【详解】解：如图可知： ， ， ， ， ， 故答为： ． 【点睛】此题考查三角形内角和，关键是根据三角形的内角和定理和三角形外角性质解答． 6．如图，在 中， ， 的平分线交于点 ， 是 与 平分线 的交点， 是 的两外角平分线的交点，若 ，则 的度数 ． 【答】 /10 度 【分析】利用角平分线的定义，可得出 ， ，结合 ，可得出 的度数，再利用三角形的外角性质，即可求出 的度数． 【详解】解： 平分 ， 平分 ， ， ， ， ， 又 ， ． ， ， ∵ ， ∴ ， 又 ， ， ，故答为： ． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质以及角平分线的定义，牢记“三角形的一个外角等 于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 7．如图，在 中 ．若 ， ，则 °． 【答】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出 ， 再根据 整理即可得证 ，最后根据三角形的内角和即可得出答． 【详解】 是 的一个外角 即 是 的一个外角 即 故答为： ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和和外角的定义，根据图形找到角之间的关系是解题的 关键． 8．探究与发现： (1)如图1，在 中， ， 分别平分 和 ． ①若 ，则 ______； ②若 ，用含有 的式子表示 的度数为______； (2)如图2，在四边形 中， ， 分别平分 和 ，试探究 与 的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在六边形 中， ， 分别平分 和 ，请直接写出 与 的数量关系． 【答】(1)① ；② (2) ，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用三角形内角和，可求得 与 度数之和，根据角平分线的定 义，可求得 与 的度数之和，进而可求得 ． （2）利用四边形内角和，可求得 与 度数之和，根据角平分线的定义，可求 得 与 的度数之和，进而可求得 ． （2）利用六边形内角和，可求得 与 度数之和，根据角平分线的定义，可求 得 与 的度数之和，进而可求得 ． 【详解】（1）解① ， ． ， 分别平分 和 ， ， ． ． ． ② ， ． ， 分别平分 和 ， ， ． ． ． 故答为：① ；② ； （2）解： ，理由如下： 根据题意，得 ． ， 分别平分 和 ， ， ． ． ； （3）解： ． 理由如下： 根据题意，得 ． ， 分别平分 和 ， ， ． ． ∴ ． 【点睛】本题主要考查多边形内角和以及角平分线的定义，熟记多边形内角和公式，即 边形内角和等于 ，及角平分线的定义是解题的关键．