专题04 三角形中的倒角模型-高分线模型、双（三）垂直模型（解析版）

专题04 三角形中的倒角模型-高分线模型、双（三）垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直 模型、子母型双垂直模型（射影定理模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1：高分线模型 条件：D 是高，E 是角平分线 结论：∠DE= 例1．（2023 秋·浙江·八年级专题练习）如图，在 中， ， ， 为 的平分线， 于点 ，则 度数为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】依据直角三角形，即可得到 ，再根据 , 平分 ,即可得到 的度 数,再根据 进行计算即可． 【详解】解： , , 又 , 平分 , ， ,故选：． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是 是解答此题的关键． 例2．（2023 春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在△B 中，∠1＝∠2，G 为D 的中点，BG 的延长线交于 点E，F 为B 上的一点，F 与D 垂直，交D 于点，则下面判断正确的有（ ） ①D 是△BE 的角平分线；②BE 是△BD 的边D 上的中线； ③是△D 的边D 上的高；④是△F 的角平分线和高 ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】B 【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念，知G 是△BE 的角平分线，故此说法错误； ②根据三角形的中线的概念，知BG 是△BD 的边D 上的中线，故此说法错误； ③根据三角形的高的概念，知为△D 的边D 上的高，故此说法正确； ④根据三角形的角平分线和高的概念，知是△F 的角平分线和高线，故此说法正确．故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、 中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键． 例3．（2023·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知D、E 分别是Rt△B 的高和中线，B＝9m，＝12m，B ＝15m，试求：（1）D 的长度；（2）△E 和△BE 的周长的差． 【答】（1）D 的长度为 m；（2）△E 和△BE 的周长的差是3m． 【分析】（1）利用直角三角形的面积法来求线段D 的长度；（2）由于E 是中线，那么BE＝E，再表示△E 的周长和△BE 的周长，化简可得△E 的周长﹣△BE 的周长＝﹣B 即可． 【详解】解：（1）∵∠B＝90°，D 是边B 上的高，∴S△B= B•＝ B•D， B ∵＝9m，＝12m，B＝15m，∴D＝ ＝ ＝ （m），即D 的长度为 m； （2）∵E 为B 边上的中线，∴BE＝E， E △的周长﹣△BE 的周长＝+E+E﹣（B+BE+E）＝﹣B＝12 9 ﹣＝3（m）， 即△E 和△BE 的周长的差是3m． 【点睛】此题主要考查了三角形的面积，关键是掌握直角三角形的面积求法． 例4．（2023·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， 分别是 的高和角平分线， 若 ， ．(1)求 的度数．(2)试写出 与 关系式，并证明．(3)如图，F 为E 的延长线上的一点， 于D，这时 与 的关系式是否变化，说明理由． 【答】(1) (2) (3)不变，理由见解析 【分析】（1）根据三角形内角和求出 ，根据角平分线的定义得到 ，根据高线的性质得 到 ，从而求出 ，继而根据角的和差得到结果；（2）根据角平分线的定义得到 ，根据三角形内角和求出 ，根据角的和差得到结果；（3）过 作 于 ，结合（2）知 ，证明 ，得到 ，即可证明． 【详解】（1）解：∵ ， ，∴ ， ∵ 平分 ，∴ ， ∵ 是高，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ； （2） ， 证明如下：∵ 平分 ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ； （3）不变，理由是：如图，过 作 于 ，由（2）可知： ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质、直角三角形的性质和平行线的判定与性质， 熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解题的关键． 模型2：双垂直模型 结论：①∠=∠ ；②∠B=∠FD=∠FE；③ 。 例1．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，在 中， 分别是 边上的高，并且 交于 点P，若 ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据题意和直角三角形的两个锐角互余可求得 的度数，再根据三角形的外角即可得． 【详解】解：∵ 是 边上的高，∴ ，∵ ，∴ ， ∵ 是 边上的高，∴ ，∴ ，故选：． 【点睛】本题考查了余角，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点． 例2．（2022 秋·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在 中， 和 分别是 边上的高，若 ， ，则 的值为（ ）． ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据三角形的高的性质，利用等积法求解即可． 【详解】∵ ，∴ ，∴ ．故选B． 【点睛】本题考查与三角形的高有关的计算问题．根据三角形的面积公式得出 是解题关 键． 例3．（2023 春·河南周口·七年级统考期末）如图，在 中， ， ， 于点F， 于点 ， 与 交于点 ， ． (1)求 的度数．(2)若 ，求 的长． 【答】(1) (2) 【分析】（1）数形结合，利用三角形内角和定理求解即可得到答； （2）利用等面积法，由 代值求解即可得到答． 【详解】（1）解：∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ， ∴ ； （2）解：∵ ， ，∴ ， ∵ ， ， ，∴ ． 【点睛】本题考查三角形综合，数形结合，利用等面积法求解是解决问题的关键． 模型3：子母型双垂直模型(射影定理模型) 结论：①∠B=∠D；②∠=∠BD；③ 。 例1．（2023·广东广州·七年级校考阶段练习）如图，在 中， ， 于D，求证： ． 【答】见解析 【分析】根据 可得 ，再根据 ，即可求证． 【详解】证：∵ ， ∴ 又∵ ，∴ 又∵ ，∴ ∴ 【点睛】此题考查了三角形内角和性质的应用，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质． 例2．（2023·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，D，BF 分别是△B 的高线与角平分线，BF，D 交于点 E，∠1＝∠2．求证：△B 是直角三角形． 【答】见解析 【分析】根据D 是△B 的高线，可得∠BED+∠EBD＝90°，根据角平分线的定义可得∠BE＝∠EBD，观察 ∠BED 与∠EF 的位置，可知是一组对顶角，进而进行等量代换可得∠EF+∠BE＝90°，至此结合已知不难得 到∠FE+∠BE＝90°，由此解题． 【详解】证明：由题意得：D⊥B，BF 平分∠B， ∴∠BED+∠EBD＝90°，∠BE＝∠EBD，∴∠BED+∠BE＝90°， 又∵∠EF＝∠BED，∴∠EF+∠BE＝90°， ∵∠EF＝∠FE，∴∠FE+∠BE＝90°，∴∠BF＝90°，即△B 是直角三角形． 【点睛】本题考查了三角形高线、角平分线的定义，对顶角相等，熟记角平分线的定义与直角三角形的定 义是关键． 例3．（2022 秋·北京通州·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，垂足为 ．如 果 ， ，则 的长为（ ） ．2 B． ． D． 【答】D 【分析】先根据勾股定理求出B，再利用三角形面积求出BD 即可． 【详解】解：∵ ， ， ，∴根据勾股定理 ， ∵ ，∴S△B= ，即 ，解得： ．故选择D． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等积式，掌握直角三角形的性质，勾股定理， 三角形面积等积式是解题关键． 例4．（2023 春·江苏苏州·七年级苏州中学校考期中）已知，在 中， ， 是角平分线，D 是 上的点， 、 相交于点F． (1)若 时，如图所示，求证： ；(2)若 时，试问 还成立吗？若成 立说明理由；若不成立，请比较 和 的大小，并说明理由． 【答】(1)见解析；(2)不成立；当 时， ；当 时， ；理由见解析． 【分析】（1）证明 ，由 ，证明 ，由三角形的外角的性质 可得 ， ，从而可得结论． （2）证明 ，结合三角形的内角和定理可得 ，再分两种情况可得结论． 【详解】（1）证明：∵ 是角平分线，∴ ， ∵ ， ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∵ ， ，∴ ． （2）不成立． 理由如下： ∵ ， ， ，∴ ， ∵ ，∴ 当 时， ，∴ ； 当 时， ，∴ ． 【点睛】本题考查的是三角形的角平分线是含义，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，不 等式的性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键． 课后专项训练 1．（2023 秋·江苏·八年级专题练习）如图，在 中， ， ， 的垂直平分线交 于点D，交 于点E， ，则 的长为（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【答】B 【分析】连接 ，由垂直平分线得 ，可求得 ，于是 ，根据 ， 求得 ． 【详解】解：连接 ，∵ 是 的垂直平分线，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ．故选：B． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，30º 角直角三角形性质；添加辅助线，运用垂 直平分线导出角之间关系是解题的关键． 2．（2023 秋·浙江·八年级专题练习）如图， 中， ， 平分 ，若 ， ，则 （ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】设 ，那么 ，然后利用 分别表示 ， ， ，最后利用三角形内 角和定理建立方程解决问题． 【详解】解：∵ 中， ， ∴设 ，那么 ，∴ ， ∵ 平分 ，∴ ， ∵ ， ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ．故选：B． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，同时也利用了角平分线的定义，解题的关键是熟练使用三角 形内角和定理． 3．（2023·绵阳市八年级月考）如图，在 中， 平分 交 于点 、 平分 交 于点 ， 与 相交于点 ， 是 边上的高，若 ， ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据题意证明 ，得出 ，三角形内角和定理得出 ，根据 直角三角形的两个锐角互余求得 ，根据角平分线的定义可得 ，根据 即可求解． 【详解】解： ， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分 ， ， ，故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形的两个锐角互余，三角形的内角和定理，角平 分线的定义，数形结合是解题的关键． 4．（2023 春·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，在 中， ， ， ， 分别是 的中线、角平分线和高线， 交 于点G，交 于点，下面说法中一定正确的是（ ） 的面积等于 的面积； ② ； ③ ； ④ ． ．①②③④ B．①②③ ．②④ D．①③ 【答】B 【分析】①根据三角形中线平分三角形的面积，即可判断 的面积等于 的面积； ②先根据同角的余角相等证得 ，再根据角平分线的定义得出 ，最后根据三 角形外角的性质得出 ， ，即可得证； ③先根据同角的余角相等证得 再根据角平分线的定义得出 ，于是推出 ；④无法证得=B． 【详解】解：∵ 是 的中线，∴ ，∴ 的面积等于 的面积，故①正确； ∵ 是 的角平分线，∴ ， ∵ 是 的高线，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ 是 的一个外角，∴ ， ∵ 是 的一个外角，∴ ，∴ ，故②正确； ∵F 是 的高线，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ 是 的角平分线，∴ ，∴ ，故③正确； 无法证得=B，故④错误；故正确的有①②③ 故选∶B． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形外角的性质，同角的余角相等，角平分线的定义，熟练掌握这 些性质是解题的关键． 5．（2023·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， ， ， 是高， 是中线， 是角平分线， 交 于点G，交 于点，下面结论： 的面积＝ 的面积； ； ； ．其中结论正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定 和 的面积关系以及求出 的长度． 【详解】解： 是 的中线 的面积等于 的面积 故 正确； ， 是 的高 ， 是 的角平分线 又 故 正确； 故 正确； 故 错误；故选： 【点睛】本题考查了三角形的中线、高、角平分线，灵活运用三角形的中线、高、角平分线的性质是解决 本题的关键． 6．（2022 秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图， 是等腰三角形， ， ，在腰 上 取一点D， ，垂足为E，另一腰 上的高 交 于点G，垂足为F，若 ，则 的长 为 ． 【答】6 【分析】过点G 作 交 于点M，过点M 作 ，根据等腰三角形各角之间的关系得出 ，再由垂直及等量代换得出 ，利用等角对等边确定 ， ，再由全等三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：过点G 作 交 于点M，过点M 作 ，如图所示： ∵ ， ， ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ，∴ ， ∴ ， ， ∴ ，∴ ， ， 在 与 中， ，∴ ∴ ，∴ ，故答为：6． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟 练运用等腰三角形的判定和性质是解题关键． 7．（2023 春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在 中， ， 、 分别是 的高和角平分线，点E 为 边上一点，当 为直角三角形时，则 ． 【答】50 或25/25 或50 【分析】根据三角形内角和定理得 ，由角平分线的定义得 ，当 为直角三角 形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵ ，∴ ∵ 平分 ∴ 当 为直角三角形时，有以下两种情况： ①当 时，如图1，∵ ，∴ ； ②当 时，如图2，∴ ， ∵ ，∴ ， 综上， 的度数为 或 ．故答为：50 或25． 【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，熟知“三角形的外角的性质”是解 答此题的关键． 8．（2023 春·江苏泰州·七年级统考期末）已知：如图，在 中， ， 、 分别在边 、 上， 、 相交于点 ． (1)给出下列信息：① ；② 是 的角平分线；③ 是 的高．请你用其中的两 个事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明； 条件：______，结论：______．（填序号） 证明： (2)在（1）的条件下，若 ，求 的度数．（用含 的代数式表示） 【答】(1)①②；③；见解答(2) 【分析】（1）条件：①②，结论：③，由角平分线的性质可得 ，由 和 ，得出 ，利用三角形内角和可得结论； （2）利用（1）的结论和三角形外角性质即可得答． 【详解】（1）条件：①②，结论：③， 证明：∵ 是 的角平分线，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵ ， ∴ ，∴ 是 的高． 条件：①③，结论：②， 证明：∵ 是 的高，∴ ，∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ 是 的角平分线； 条件：②③，结论：①， 证明：∵ 是 的角平分线，∴ ， ∵ 是 的高，∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ； 故答为：①②；③； 证明：见解答； （2）∵ ，∴ ， ∵ 是 的角平分线，∴ ， ∵ ，∴ ． 【点睛】本题考查命题与定理，掌握角分线的定义，三角形内角和定理，外角性质，掌握三角形外角的性 质是解题关键． 9．（2023 秋·浙江·八年级专题练习）如图，在 中， ， 于 ， 平分 交 于 ，交 于F． (1)如果 ，求 的度数；(2)试说明： ． 【答】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据三角形内角和 可得 的度数，根据角平分线的定义可得 的度数，根据直角 三角形的性质可得 的度数； （2）根据直角三角形的两锐角互余可得 ， ，根据角平分线的定 义可得 ，从而可得 ，即可得证． 【详解】（1）解： ， ， ， 平分 交 于 ， ， ； （2）证明： ， ， ， ， ， 平分 交 于 ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的性 质是解题的关键． 10．（2023 秋·浙江·八年级专题练习）对于下列问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学 式）．如图．在直角 中， 是斜边 上的高， ． (1)求 的度数；(2)求 的度数． 解：（1） （已知）， ______° ， （______）， ______° ______°（等量代换）， （2） （______）， _____（等式的性质）， （已知）， ______ ______°（等量代换）． 【答】(1) ；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；90；125 (2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和； ； ；35 【分析】（1）根据三角形外角的性质和等量代换进行作答即可； （2）根据三角形外角的性质和等量代换进行作答即可． 【详解】（1）解： 已知， ， 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和． 等量代换． （2） 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和， 等式的性质． 已知， 等量代换． 【点睛】本题考查三角形的外角．熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题关键． 11．（2023·广东中山·八年级校联考期中）如图，在 中， ， 于点D，E 为 上 一点， (1)求证： 平分 ；(2)若 ，求证： ． 【答】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）证明 ， ，再证明 ，从而可得结论； （2）先证明 ， 可得 ， ， ，从而可得结论． 【详解】（1）证：在 中， 在 中， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴E 平分 ； （2）∵ ， ∴ ∵在 中， ，而 ∴ ∴ ∵在 中， ∴ ∵在 中， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练的证明并 求解 是解本题的关键． 12．（2023·浙江温州·八年级校考阶段练习）如图，在△B 中，∠B＝90°，D⊥B 于点D，E 平分∠DB 交B 于 点E， (1)求证：∠E＝∠E；(2)若∠E＝2∠B，D＝1，求B 的长． 【答】(1)证明见解析(2)B＝4 【分析】（1）依据∠B＝90°，D⊥B，即可得到∠D＝∠B，再根据E 平分∠BD，可得∠BE＝∠DE，进而得出 ∠E＝∠E；（2）依据∠D＝∠BE＝∠DE，∠B＝90°，即可得到∠D＝30°，进而得出Rt△D 中，＝2D＝2， Rt△B 中，B＝2＝4． 【详解】（1）∵∠B＝90°，D⊥B， ∴∠D+∠＝∠B+∠＝90°，∴∠D＝∠B， ∵E 平分∠BD，∴∠BE＝∠DE，