专题01 三角形边或角关系的三种模型（教师版）

专题01 三角形边或角关系的三种模型 几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明 角的数量关系，或者三角形的三边和差关系等，接来下我们针对这两个版块做出详细分析 与梳理。 类型一、燕尾角模型 例1．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果 ， ，那么 的度数是( )． ． B． ． D． 【答】 【详解】延长BE 交F 的延长线于，连接，如图， ∵ ∴ 同理得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ,故选：． 【变式训练1】如图，若 ，则 ____________． 【答】230° 【详解】解：如图 ∵∠E=∠E+ 2=115° ∠ ，∠2=∠D+∠， ∴∠E+∠D+ =115° ∠ ， ∵∠E= 1+ ∠ ∠F=115°，∠1= + ∠∠B， ∴∠+∠B+∠F=115°， + ∴∠∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F=230°， 故答为：230°． 【变式训练2】如右图，∠+∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F+∠G+∠＝__． 【答】360° 【详解】解：由图形可知：∠BP＝∠＋∠B，∠DPQ＝∠＋∠D，∠FQM＝∠E＋∠F，∠M＝∠G ＋∠， ∵∠BP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠M＝360°， ∴∠＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠＝∠BP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠M＝360°． 故答为：360°． 【变式训练3】如图，求∠+∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F+∠G+ + ∠∠＝__． 【答】900° 【详解】解：连EF，G，如图 ， 6 ∵边形BDEFK 的内角和＝(6－2)×180°＝720°， ∴∠＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－( 1 ∠＋∠2)， 即∠＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F＋( 1 ∠＋∠2)＝720°， 1 ∵∠＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠＝180°， ∴∠＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F∠＋( 3 ∠＋∠4)＝900°， ∴∠＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F( 3 ∠＋∠4)＋∠5＋∠6＋∠＝720°＋180°， ∴∠＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠＋∠＝900°， 故答为：900°． 【变式训练4】模型规律：如图1，延长 交 于点D，则 ．因为凹四边形 形似箭头，其四角具有“ ”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”． 模型应用 (1)直接应用： ①如图2， ，则 __________ ； ②如图3， __________ ； (2)拓展应用： ①如图4， 、 的2 等分线(即角平分线) 、 交于点 ，已知 ， ，则 __________ ； ②如图5， 、 分别为 、 的10 等分线 ．它们的交点从 上到下依次为 、 、 、…、 ．已知 ， ，则 ___ _______ ； ③如图6， 、 的角平分线 、 交于点D，已知 ， 则 __________ ； ④如图7， 、 的角平分线 、 交于点D，则 、 、 之同的数量 关系为__________． 【答】(1)①110；②260；(2)①85；②110；③142；④∠B- +2 ∠ ∠D=0 【详解】解：(1)①∠B= + ∠∠B+ =60°+20°+30°=110° ∠ ； ② + ∠∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F=∠B+∠DE=2×130°=260°； (2)①∠B1=∠B-∠B1-∠1=∠B- (∠B+ )= ∠ ∠B- (∠B- ) ∠ =∠B- (120°-50°)=120°-35°=85°； ②∠B7=∠B- (∠B- )=120°- ∠ (120°-50°)=120°-10°=110°； ③∠DB=180°-(∠BD+∠BD)=180°- (∠B- )=180°- ∠ (120°-44°) =142°； ④∠BD= ∠B=∠B+∠D+ ∠B， ∠B=∠B+ + ∠∠B， 联立得：∠B- +2 ∠ ∠D=0． 类型二、折叠模型 例1 如图，在 中， ，将 沿直线折叠，点落在点D 的位置，则 的度数是( )． ． B． ． D．无法确定 【答】B 【详解】解：由折叠的性质得： ， 根据外角性质得： ， ， 则 ，则 ． 故选：B． 【变式训练1】如图，将△B 纸片沿DE 折叠，使点落在点'处，且'B 平分∠B，'平分∠B，若 ∠B'＝120°，则∠1+ 2 ∠的度数为( ) ．90° B．100° ．110° D．120° 【答】D 【详解】解：如图，连接'，∵'B 平分∠B，'平分∠B， ' ∴∠B= ∠B，∠'B= ∠B， ∵∠B'=120°，∴∠'B+ ' ∠B=180°-120°=60°， ∴∠B+∠B=120°，∴∠B=180°-120°=60°， ∵沿DE 折叠，∴∠D'=∠D'，∠E'=∠E'， 1= ∵∠ ∠D'+∠D'=2∠D'，∠2=∠E'+∠E'=2∠E'， 1+ 2=2 ∴∠ ∠ ∠D'+2∠E'=2∠B=2×60°=120°， 故选：D． 【变式训练2】如图，把△B 沿EF 对折，叠合后的图形如图所示．若∠＝55°，∠1＝95°，则 ∠2 的度数为( )． ． B． ． D． 【答】B 【详解】解：∵∠＝55°， ∴∠EF＋∠FE＝180°－55°＝125°， ∴∠FEB＋∠EF＝360°－125°＝235°， 由折叠可得：∠B′EF＋∠EF′＝∠FEB＋∠EF＝235°，∴∠1＋∠2＝235°－125°＝110°， 1 ∵∠＝95°， 2 ∴∠＝110°－95°＝15°， 故选：B． 【变式训练3】如图,将△B 沿着DE 翻折,使B 点与B'点重合,若∠1+ 2=80°, ∠ 则∠B 的度数为( ) ．20° B．30° ．40° D．50° 【答】 【详解】由折叠的性质可知 ∵ ∴ ∴ 故选 【变式训练4】如图，将矩形纸片 沿 折叠，点 落在边 上的点 处，点 落 在点 处，若 ，则 的度数为( )． ．42° B．69° ．44° D．32° 【答】 【详解】由图形翻折的性质可知， ， ， ， ，利用“8”字模型， ， 故选：． 类型三、“8”字模型 例1 如图， 平分 ，交 于点F， 平分 交 于点E， 与 相交 于点G， ． (1)若 ，求 的度数； (2)若 ，求 的度数． 【答】(1) ；(2) ． 【详解】解：(1) DP ∵ 平分∠D， DP= PDF= ∴∠ ∠ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； (2) BP ∵ 平分∠B，DP 平分∠D， DP= PDF ∴∠ ∠ ，∠BP= PB ∠ ， + DP= P+ BP ∵∠∠ ∠ ∠ ， + BP= P+ PDF ∠∠ ∠ ∠ ， + =2 P ∴∠∠ ∠， =42° ∵∠ ，∠=38°， P= ∴∠ (38°+42°)=40°． 【变式训练1】如图，求∠+∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F+∠G+ + ∠∠K 的度数． 【答】540° 【详解】解：如图所示： 由三角形的外角的性质可知：∠＋∠B＝∠L，∠＋∠D＝∠ML，∠＋∠K＝∠G，∠E＋∠F＝ ∠GML， ∴∠＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠＋∠K＝∠L＋∠ML＋∠GML＋∠G＋∠G＝(5－2)×180° ＝3×180°＝540°． 【变式训练2】(1)已知：如图①的图形我们把它称为“ 字形”，试说明： ． (2)如图②， ， 分别平分 ， ，若 ， ，求 的 度数． (3)如图(3)，直线 平分 ， 平分 的外角 ，猜想 与 、 的数 量关系是__； (4)如图(4)，直线 平分 的外角 ， 平分 的外角 ，猜想 与 、 的数量关系是________． 【答】(1)见解析；(2)26°；(3) ；(4) 【详解】解：(1) 180°， 180°， ． ， ； (2) ， 分别平分 ， ，设 ， ， 则有 ， ， (36°+16°)=26° (3) 直线 平分 ， 平分 的外角 ， ， ，∴ 180°- ， 180° ∴ ∵∠P+∠PD=∠PD+∠D，∠BD+∠B=∠BD+∠D，∴ ∴ 180° ∴ ， 即 90° ． (4)连接PB，PD 直线 平分 的外角 ， 平分 的外角 ， ， ， ∵ 180°， 180° ∴ 360° 同理得到： 360° ∴ 720° ∴ 720° ∵ 180°， 180° ∴ 360°， 180°-