专题04 三角形中的倒角模型-高分线模型、双（三）垂直模型（原卷版）

专题04 三角形中的倒角模型-高分线模型、双（三）垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直 模型、子母型双垂直模型（射影定理模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1：高分线模型 条件：D 是高，E 是角平分线 结论：∠DE= 例1．（2023 秋·浙江·八年级专题练习）如图，在 中， ， ， 为 的平分线， 于点 ，则 度数为（ ） ． B． ． D． 例2．（2023 春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在△B 中，∠1＝∠2，G 为D 的中点，BG 的延长线交于 点E，F 为B 上的一点，F 与D 垂直，交D 于点，则下面判断正确的有（ ） ①D 是△BE 的角平分线；②BE 是△BD 的边D 上的中线； ③是△D 的边D 上的高；④是△F 的角平分线和高 ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 例3．（2023·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知D、E 分别是Rt△B 的高和中线，B＝9m，＝12m，B ＝15m，试求：（1）D 的长度；（2）△E 和△BE 的周长的差． 例4．（2023·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， 分别是 的高和角平分线， 若 ， ．(1)求 的度数．(2)试写出 与 关系式，并证明．(3)如图，F 为E 的延长线上的一点， 于D，这时 与 的关系式是否变化，说明理由． 模型2：双垂直模型 结论：①∠=∠ ；②∠B=∠FD=∠FE；③ 。 例1．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，在 中， 分别是 边上的高，并且 交于 点P，若 ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 例2．（2022 秋·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在 中， 和 分别是 边上的高，若 ， ，则 的值为（ ）． ． B． ． D． 例3．（2023 春·河南周口·七年级统考期末）如图，在 中， ， ， 于点F， 于点 ， 与 交于点 ， ．(1)求 的度数．(2)若 ，求 的长． 模型3：子母型双垂直模型(射影定理模型) 结论：①∠B=∠D；②∠=∠BD；③ 。 例1．（2023·广东广州·七年级校考阶段练习）如图，在 中， ， 于D，求证： ． 例2．（2023·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，D，BF 分别是△B 的高线与角平分线，BF，D 交于点 E，∠1＝∠2．求证：△B 是直角三角形． 例3．（2022 秋·北京通州·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，垂足为 ．如 果 ， ，则 的长为（ ） ．2 B． ． D． 例4．（2023 春·江苏苏州·七年级苏州中学校考期中）已知，在 中， ， 是角平分线，D 是 上的点， 、 相交于点F． (1)若 时，如图所示，求证： ；(2)若 时，试问 还成立吗？若成 立说明理由；若不成立，请比较 和 的大小，并说明理由． 课后专项训练 1．（2023 秋·江苏·八年级专题练习）如图，在 中， ， ， 的垂直平分线交 于点D，交 于点E， ，则 的长为（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 2．（2023 秋·浙江·八年级专题练习）如图， 中， ， 平分 ，若 ， ，则 （ ） ． B． ． D． 3．（2023·绵阳市八年级月考）如图，在 中， 平分 交 于点 、 平分 交 于点 ， 与 相交于点 ， 是 边上的高，若 ， ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 4．（2023 春·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，在 中， ， ， ， 分别是 的中线、角平分线和高线， 交 于点G，交 于点，下面说法中一定正确的是（ ） 的面积等于 的面积； ② ； ③ ； ④ ． ．①②③④ B．①②③ ．②④ D．①③ 5．（2023·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， ， ， 是高， 是中线， 是角平分线， 交 于点G，交 于点，下面结论： 的面积＝ 的面积； ； ； ．其中结论正确的是（ ） ． B． ． D． 6．（2022 秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图， 是等腰三角形， ， ，在腰 上 取一点D， ，垂足为E，另一腰 上的高 交 于点G，垂足为F，若 ，则 的长 为 ． 7．（2023 春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在 中， ， 、 分别是 的高和角平分线，点E 为 边上一点，当 为直角三角形时，则 ． 8．（2023 春·江苏泰州·七年级统考期末）已知：如图，在 中， ， 、 分别在边 、 上， 、 相交于点 ． (1)给出下列信息：① ；② 是 的角平分线；③ 是 的高．请你用其中的两 个事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明； 条件：______，结论：______．（填序号） 证明： (2)在（1）的条件下，若 ，求 的度数．（用含 的代数式表示） 9．（2023 秋·浙江·八年级专题练习）如图，在 中， ， 于 ， 平分 交 于 ，交 于F．(1)如果 ，求 的度数；(2)试说明： ． 10．（2023 秋·浙江·八年级专题练习）对于下列问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学 式）．如图．在直角 中， 是斜边 上的高， ． (1)求 的度数；(2)求 的度数． 解：（1） （已知）， ______° ， （______）， ______° ______°（等量代换）， （2） （______）， _____（等式的性质）， （已知）， ______ ______°（等量代换）． 11．（2023·广东中山·八年级校联考期中）如图，在 中， ， 于点D，E 为 上 一点， (1)求证： 平分 ；(2)若 ，求证： ． 12．（2023·浙江温州·八年级校考阶段练习）如图，在△B 中，∠B＝90°，D⊥B 于点D，E 平分∠DB 交B 于 点E，(1)求证：∠E＝∠E；(2)若∠E＝2∠B，D＝1，求B 的长． 13．（2022 秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图，在 中， 分别是 的角平分线和高 线， ， ． (1)若 ，则 _______； (2)小明说：“无需给出 的具体数值，只需确定 与 的差值，即可确定 的度数．”请通过计 算验证小明的说法是否正确． 14．（2023·安徽安庆·八年级校考期中）如图，在 中， ， ， 是 边上的高， 是 的平分线．(1)求 的度数；(2)若 ，试探求 、 、 之间的数量关 系． 15．（2023·福建莆田·八年级校考期中）规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角， 那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分 割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形是“等角三角形”， 我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． (1)如图1，在 中， ， ，请写出图中两对“等角三角形”； (2)如图2，在 中， 为 的平分线， ， ．求证： 为 的“等角分割 线”； (3)在 中，若 ， 是 的“等角分割线”，请求出所有可能的 的度数． 16．（2023·安徽安庆·八年级统考期末）如图，在 中， 和 的平分线相交于点 ，过点 作 交 于 ，交 于 ，过点 作 于 （1）求证： ；（2）求证： ；（3）若 ， ，请用含 ， 的代数式表示 的面积， ___________（直接写出结果） 17．（2023 春·江苏徐州·七年级校考阶段练习）在 中， ， 平分 ． (1)如图①，若 于D，求 的度数．(2)如图②若点P 为 上一点， ，求 的 度数． 18．（2023 春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，在 中， ， 于点D， 平分 交 于点E，交 于点F，求证： ． 19．（2022 秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图所示，在 中， ， 平分 ． (1)求 的度数；(2)求 的度数；(3)直接写出 ， ， 三个角之间的数量关系． 20．（2022 秋·广东东莞·八年级校考期中）如图，在 中， 为 的高， 为 的角平分 线， 交 于点G， 比 大 ， ，求 的大小．