重难点突破09 相似三角形8种模型（A字、8字、射影定理、一线三等角、线束模型、三角形内接矩形、三平行模型、旋转相似模型）（原卷版）

重难点突破09 相似三角形8 种模型 （字、8 字、射影定理、一线三等角、线束模型、三角形内接矩形、三平行模型、 手拉手模型） 目 录 题型01 字模型 题型02 8 字模型 题型03 射影定理 题型04 一线三等角模型 题型05 线束模型 题型06 三角形内接矩形模型 题型07 三平行模型 题型08 手拉手模型（旋转模型） 相似三角形的判定方法： 1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2）两个三角形相似的判定定理： ①三边成比例的两个三角形相似； ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③两角分别相等的两个三角形相似． ④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似 题型01 字模型 已知 图示 结论（性质） 若DE∥B ①∆DE~∆B ②AD AB = AE AC = DE BC 若∠1=∠2 或∠3=∠4 或AD AB = AE AC ①∆DE~∆B ②2=B•D 若∠1=∠2 1 2 共边反A字模型 D A B C ①∆DE~∆B ②2=B•D [补充]该模型也被称为子母模型，即子母模型 可以看作一组公共边的反模型 E D A B C 4 3 2 1 反A字模型 E C B A D [双反字模型] 若∠1=∠2=∠3 ①∆EB~∆DE~∆D B•=BE•D ② ( ③AE AD )2= BE CD 1．（2020·湖北武汉·统考一模）如图，在Rt △ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D 是AB上一点， 点E 在BC上，连接CD，AE交于点F，若∠CFE=45°，BD=2 AD，则CE＝ ． 2．（2020·浙江杭州·统考中考真题）如图是一张矩形纸片，点E 在B 边上，把△BCE沿直线E 对折，使 点B 落在对角线上的点F 处，连接DF．若点E，F，D 在同一条直线上，E＝2，则DF＝ ，BE＝ ． 3．（2020·山东济宁·中考真题）如图,在四边形BD 中，以B 为直径的半圆经过点,D．与BD 相交于点E， D2=E·,分别延长B,D 相交于点P，PB=B，D=2❑ √2．则B 的长是 ． 4．（2020·上海浦东新·统考三模）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，∠B＝60°，＝6，D 平分∠B，交边B 于点 D，过点D 作的平行线，交边B 于点E． 3 2 1 E D B C A (1)求线段DE 的长； (2)取线段D 的中点M，连接BM，交线段DE 于点F，延长线段BM 交边于点G，求EF DF 的值． 5．（2021 上·辽宁丹东·九年级统考期中）如图，△BD 中，∠＝90°，B＝6m，D＝12m．某一时刻，动点M 从点出发沿B 方向以1m/s 的速度向点B 匀速运动；同时，动点从点D 出发沿D 方向以2m/s 的速度向点匀 速运动，运动的时间为ts． （1）求t 为何值时，△M 的面积是△BD 面积的2 9； （2）当以点，M，为顶点的三角形与△BD 相似时，求t 值． 6．（2020 上·河南郑州·九年级校考阶段练习）如图，已知D 是B 的中点，M 是D 的中点．求AN : NC的 值． 7．（2022 下·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）定义：如图，若点P 在三角形的一条边上，且满足 ∠1=∠2，则称点P 为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D 是△ABC的边B 的中点，AC=2❑ √2，AB=4，试判断点D 是不是△ABC的“理想 点”，并说明理由； (2)如图②，在Rt △ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若点D 是△ABC的“理想点”，求D 的长． 8．（2021 上·浙江绍兴·九年级统考期末）如果两个相似三角形的对应边存在2 倍关系，则称这两个相似三 角形互为母子三角形． （1）如果△≝¿与△ABC互为母子三角形，则DE AB 的值可能为（ ） ．2 B．1 2 ．2 或1 2 （2）已知：如图1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=2 AD , ∠ADE=∠B． 求证：△ABD与△ADE互为母子三角形． （3）如图2，△ABC中，AD是中线，过射线CA上点E作EG/¿ BC，交射线DA于点G，连结BE，射线 BE与射线DA交于点F，若△AGE与△ADC互为母子三角形．求AG GF 的值． 9．（2020 上·全国·九年级专题练习）已知，如图，D 是直角三角形B 斜边上的中线，E D ⊥，E 交B 的延 长线于点E． （1）求证：△BE E ∽△； （2）F BD ⊥ ，垂足为点F，且BE•E＝9，求EF•DE 的值． 题型02 8 字模型 已知 图示 结论（性质） 若B∥D C O B A D ①∆B~∆D ②AO CO = BO DO = AB CD 若∠1=∠2 或∠3=∠4 或AO DO = BO CO 4 3 2 1 反8字模型 C A D O B ①∆B~∆D 10．（2021·四川广元·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，E 为DC边的中点，连接AE，若 AE的延长线和BC的延长线相交于点F． （1）求证：BC=CF； （2）连接AC和BE相交于点为G，若△GEC的面积为2，求平行四边形ABCD的面积． 11．（2020·四川遂宁·统考中考真题）如图，在平行四边形BD 中，∠B 的平分线交于点E，交D 于点F， 交D 的延长线于点G，若F＝2FD，则BE EG 的值为（ ） ．1 2 B．1 3 ．2 3 D．3 4 12．（2020·浙江杭州·统考一模）如图，点是△B 边B 上一点，过点的直线分别交B，所在直线于点M，， 且AB AM ＝m，AC AN ＝． （1）若点是线段B 中点． ①求证：m+＝2； ②求m 的最大值； （2）若CO OB ＝k（k≠0）求m，之间的关系（用含k 的代数式表示）． 13．（2021·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，抛物线y=−1 2 x 2+2 x+6与x轴交于，B 两点（点在点B 的左 侧），与y轴交于点，直线y=x−2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线B 交于点F． （1）点F 的坐标是________； （2）如图1，点P 为第一象限抛物线上的一点，PF 的延长线交B 于点Q，PM⊥B 于点M，Q⊥B 于点， PM QN =11 4 ，求点P 的坐标； （3）如图2，点S 为第一象限抛物线上的一点，且点S 在射线DE 上方，动点G 从点E 出发，沿射线DE 方向以每秒4 ❑ √2个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG=1 2 时，求点G 的运动时间． 14．（2020·云南·统考中考真题）抛物线y=x 2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标 为(−1,0)，点C的坐标为(0,−3)．点P为抛物线y=x 2+bx+c上的一个动点．过点P作PD⊥x轴于点D， 交直线BC于点E． （1）求b、c的值； （2）设点F在抛物线y=x 2+bx+c的对称轴上，当△ACF的周长最小时，直接写出点F的坐标； （3）在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5 倍？若存在，求出 点P所有的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（2021 上·安徽合肥·九年级合肥寿春中学校考期末）如图1，在Rt△B 中，∠B＝90°，＝B＝1，D 为B 上一点，连接D，分别过点、B 作⊥D，BM⊥D． （1）求证：＝M； （2）若点D 满足BD：D＝2：1，求DM 的长； （3）如图2，若点E 为B 中点，连接EM，设s∠D＝k，求证：EM＝k． 16．（2022·山西吕梁·统考三模）综合与实践： 数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答． 问题情境：在□ABCD中，点P 是边AD上一点．将△PDC沿直线PC折叠，点D 的对应点为E． “兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P 与点重合，过点E 作EF ∥AD，与PC交于点F，连接DF， 则四边形AEFD是菱形． (1)数学思考：请你证明“兴趣小组”提出的问题； (2)拓展探究：“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P 为AD的中点时，延长CE交AB于点F，连接 PF．试判断PF与PC的位置关系，并说明理由． 请你帮助他们解决此问题． (3)问题解决：“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E 恰好落在AB边上时， AP=3，PD=4，DC=10．则AE的长为___________．（直接写出结果） 17．（2023·江苏南通·统考一模）正方形ABCD中，AB=2，点E是对角线BD上的一动点， ∠DAE=α (α ≠45° ).将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线BF交射线DC于点G． (1)当0°<α<45°时，求∠DBG的度数(用含α的式子表示)； (2)点E在运动过程中，试探究DG DE 的值是否发生变化？若不变，求出它的值.若变化，请说明理由； (3)若BF=FG，求α的值． 18．（2021·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α （0°<α<180° ）， 过点作射线M 交射线B 于点D，将M 绕点逆时针旋转α得到，过点作CF/¿ AM交直线于点F，在M 上取 点E，使∠AEB=∠ACB． （1）当M 与线段B 相交时， ①如图1，当α=60°时，线段E，E 和F 之间的数量关系为 ． ②如图2，当α=90°时，写出线段E，E 和F 之间的数量关系，并说明理由． （2）当tan α= 4 3 ，AB＝5时，若△CDE是直角三角形，直接写出F 的长． 19．（2023 下·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，记 △COD的面积为S1, △AOB的面积为S2． (1)问题解决：如图①，若AB∥CD，求证：S1 S2 =OC ⋅OD OA ⋅OB (2)探索推广：如图②，若AB与CD不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说 明理由． (3)拓展应用：如图③，在OA上取一点E，使OE=OC，过点E作EF ∥CD交OB于点F，点H为AB的中 点，OH交EF于点G，且OG=2GH，若OE OA = 3 4 ，求S1 S2 值． 题型03 射影定理 已知 图示 结论（性质） 若∠B=∠DB=90° ①∆B~∆DB~∆BD B ② 2=•D,BD2=D•D B2=•D （口诀：公共边的平方=共线边的乘积） B•B=BD• ③ （面积法） 20．（2020·山西·统考中考真题）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD⊥AB， 垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为 ． 21．（2021 上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考阶段练习）如图，在 Rt△B 中，∠B＝90°，D⊥B 于点D，已知D＝9 5 ,BD= 4 5 ，那么B＝ ． 22．（2022 上·江苏南京·九年级统考期末）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，点D 在B 上，且AD AC ＝AC AB ． （1）求证 △D∽△B； （2）若D＝3，BD＝2，求D 的长． 23．（2021·湖北武汉·统考一模）在Rt△B 中，∠B=90°，点D 为B 上一点． （1）如图1，若D⊥B，求证：2=D·B； （2）如图2，若=B，EF⊥D 交D 于，交于F，且FH HE = 4 9 ，求AD BD 的值； D B C A （3）如图3，若=B，点在D 上，∠D=45°，=3D，则t∠的值为________． 题型04 一线三等角模型 已知 图示 结论（性质） 若 ∠B=∠D=∠E=9 0° ①∆B~∆DE ②AB CD = BC DE = AC CE 或 B•D=B•DE(可看作底*底=腰*腰) ③当点为BD 中点时， ∆B~∆DE~∆E 若 ∠B=∠D=∠E=α 3 2 1 3 2 1 已知：∠B=∠D=∠ACE=α E E B D D B A C C A ①∆B~∆DE ②AB CD = BC DE = AC CE ③当点为BD 中点时， ∆B~∆DE~∆E 24．（2022·湖北襄阳·统考一模）如图，△ABC为等边三角形，点D，E 分别在边B，上，BD=3，将 △ADE沿直线DE 翻折得到△FDE，当点F 落在边B 上，且BF=4CF时，DE⋅AF的值为 ． 4 3 2 1 3 2 1 E E B D D B A C A C 25．（2020·四川乐山·中考真题）如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF ⊥DE于点F，AB=3， AD=2，CE=1．求DF的长度． 26．（2020·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D 、E分别在边BC 、AC上，连接 AD 、DE，且∠B=∠ADE=∠C． （1）证明：△BDA ∽△CED； （2）若∠B=45° ,BC=2，当点D 在BC上运动时（点D 不与B 、C重合），且△ADE是等腰三角形， 求此时BD的长． 27．（2021 上·山东济南·九年级统考期中）（1）问题 如图1，在四边形ABCD中，点P 为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=90°时，求证： AD⋅BC=AP⋅BP． （2）探究 若将90°角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在△ABC中，AB=2❑ √2，∠B=45°，以点为直角顶点作等腰Rt △ADE．点D 在BC上，点E 在AC上，点F 在BC上，且∠EFD=45°，若CE=❑ √5，求CD的长． 28．（2021 上·吉林长春·九年级统考期末）【感知】如图①，在四边形BD 中，点P 在边B 上（点P 不与 点、B 重合），∠A=∠B=∠DPC=90°．易证△DAP∽△PBC．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形BD 中，点P 在边B 上（点P 不与点、B 重合），∠A=∠B=∠DPC．若 PD=4，PC=8，BC=6，求P 的长． 【拓展】如图③，在△ABC中，AC=BC=8，AB=12，点P 在边B 上（点P 不与点、B 重合），连结 P，作∠CPE=∠A，PE 与边B 交于点E，当△CPE是等腰三角形时，直接写出P 的长． 29．（2020·四川雅安·中考真题）如图，已知边长为10 的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B 、C 不重合），连结AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若 FG⊥BG． （1）求证：△ABE∽△EGF； （2）若EC=2，求△CEF的面积； （3）请直接写出EC为何值时，△CEF的面积最大． 30．（2020·浙江杭州·统考一模）如图，在等边三角形B 中，B＝8，过B 边上一点P，作∠DPE＝60°，分 别与边B，相交于点D 与点E． （1）在图中找出与∠EP 始终相等的角，并说明理由； （2）若△PDE 为正三角形时，求BD+E 的值； （3）当DE∥B 时，请用BP 表示BD，并求出BD 的最大值． 31．（2021·江苏南通·南通田家炳中学校考二模）在矩形ABCD中，点E是CD边上一点，将△ADE沿AE 折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处． （1）如图1，若tan∠EFC= 3 4 ，求AB:BC的值； （2）如图2，在线段BF上取一点G，使AG平分∠BAF，延长AG，EF交于点H，若FG=BG+CF， 求AB:BC的值． 32．（2020·江苏宿迁·统考中考真题）【感知】（1）如图①，在四边形BD 中，∠= D=90° ∠ ，点E 在边D 上，∠EB=90°，求证：AE EB = DE CB ． 【探究】（2）如图②，在四边形BD 中，∠= D=90° ∠ ，点E 在边D 上，点F 在边D 的延长线上， ∠FEG= EB=90° ∠ ，且EF EG = AE EB ，连接BG 交D 于点．求证：B=G． 【拓展】（3）如图③，点E 在四边形BD 内，∠EB+ DE=180° ∠ ，且AE EB = DE EC ，过E 作EF 交D 于点F，若 ∠EF= EB ∠ ，延长FE 交B 于点G．求证：BG=G． 33．（2021·浙江衢州·统考中考真题）【推理】 如图1，在正方形BD 中，点E 是D 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点落在点F 处，连结BE，F，延长 F 交D 于点G． （1）求证：△BCE≌△CDG． 【运用】 （2）如图2，在【推理】条件下，延长BF 交D 于点．若HD HF = 4 5 ，CE=9，求线段DE 的长． 【拓展】 （3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结F，延长F，BF 交直线D 于G，两点，若AB BC =k， HD HF = 4 5 ，求DE EC 的值（用含k 的代数式表示）． 34．（2020·四川成都·统考中考真题）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将ΔBCE沿BE翻折，使点C恰 好落在AD边上点F处． （1）如图1，若BC=2BA，求∠CBE的度数； （2）如图2，当AB=5，且AF ⋅FD=10时，求BC的长； （3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN +FD时，求AB BC 出的值． 35．（2020·山东济南·校考二模）矩形B 中，B＝4，＝3．分别以B、所在直线为x 轴、y 轴，建立如图1 所示的平面直角坐标系．F 是B 边上一个动点（不与B、重合）．过点F 的反比例函数y＝k x （k＞0）的图 象与边交于点E． (1)当点F 运动到边B 的中点时，点E 的坐标为__________； (2)连接EF，求∠FE 的正切值； (3)如图2，将△EF 沿EF 折叠，点恰好落在边B 上的点G 处，求BG 的长度． 题型05 线束模型 已知 图示 结论（性质） 若DE∥B ①DF EF = BG CG （左图） ②DF : FG: EG=BH : HI :CI（右图） 若B∥D ①AE BE = DF CF （左图） ②AE: EF :BF=DH : HG:CG（右图） 36．（2022 上·浙江宁波·九年级校考期中）【基础巩固】 【进阶】 【基础】 E G F D E F D A B C G A B C H I 【进阶】 【基础】 H G D O F D O A B C E A B C E F (1)如图1， 在△ABC中， D，E，F分别为AB，AC ，BC上的点， DE∥BC , AF交DE 于点G， 求证： DG EG = BF CF ． 【尝试应用】 (2)如图2