专题19.5 一次函数的应用【八大题型】（解析版）

专题195 一次函数的应用【八大题型】 【人版】 【题型1 行程问题】................................................................................................................................................. 1 【题型2 工程问题】................................................................................................................................................. 5 【题型3 利润最大问题】.........................................................................................................................................9 【题型4 费用最低问题】.......................................................................................................................................14 【题型5 调运问题】............................................................................................................................................... 19 【题型6 体积问题】............................................................................................................................................... 23 【题型7 几何图形问题】.......................................................................................................................................26 【题型8 其他问题】............................................................................................................................................... 29 【题型1 行程问题】 【例1】（2022 春•大足区期末）甲、乙两车分别从，B 两地同时相向匀速行驶，当乙车到 达地后，继续保持原速向远离B 的方向行驶，而甲车到达B 地后立即掉头，并保持原速 与乙车同向行驶，经过12 小时后两车同时到达距地300 千米的地（中途休息时间忽略 不计）．设两车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），y 与x 之间的 函数关系如图所示，则当乙车到达地时，甲车距地 150 千米． 【分析】由图象可知甲车从地到B 地用了4 小时，进而可知甲车的速度，得出、B 两地 的距离是300 千米，进而得出乙车到达地的时间，进而可得答． 【解答】解：由图象可知，甲车从地到B 地用了4 小时， ∵经过12 小时后两车同时到达距地300 千米的地， ∴甲车从B 地到地用12 4 ﹣＝8（小时），乙从B 地到地用了12 小时， ∵、两地的距离是300 千米， ∴甲车的速度是300÷（8 4 ﹣）＝75（千米/时）， 1 ∴、B 两地之间的距离是75×4＝300（千米）， ∴乙车从B 地到达地需要12 2 =¿6（小时）， 此时甲的路程为75×6＝450（千米）， ∴甲车矩地450 300 ﹣ ＝150（千米）， 故答为：150． 【变式1-1】（2022•前进区校级开学）甲、乙两车从佳木斯出发前往哈尔滨，甲车先出发， 1 以后乙车出发，在整个过程中，两车离开佳木斯的距离y（km）与乙车行驶时间x（） 的对应关系如图所示： （1）直接写出佳木斯、哈尔滨两城之间距离是多少km？ （2）求乙车出发多长时间追上甲车？ （3）直接写出甲车在行驶过程中经过多长时间，与乙车相距18km． 【分析】（1）由图象直接得出结论； （2）先求出甲、乙车的速度，设乙出发x 小时追上甲车，再根据路程相等列出方程， 解方程即可； （3）设甲车出发y 与乙车相距18km，分乙车出发前和出发后两种情况，根据路程差＝ 18 列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）由图象可知，佳木斯、哈尔滨两城之间距离是360km； （2）由图象可知，乙车速度为360÷3＝120（km/），甲车速度为360÷（4+1）＝72 （km/）， 设乙出发x 小时追上甲车， 根据题意得：120x＝72（x+1）， 解得x¿ 3 2， 答：乙车出发3 2小时追上甲车； （3）设甲车出发y 与乙车相距18km， ①乙车出发前， 由题意得72y＝18， 1 解得y¿ 1 4 ； ②乙车出发后， 由题意得：|72y 120 ﹣ （y 1 ﹣）|＝18， 解得：y¿ 23 8 或x¿ 51 24 ， 综上所述，甲车在行驶过程中经过1 4 或51 24 或23 8 与乙车相距18km． 【变式1-2】（2022 秋•舞钢市期末）甲、乙两人分别从笔直道路上的、B 两地出发相向匀 速而行，已知甲比乙先出发6 分钟，两人在地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回地， 乙继续向地前行，约定先到地者停止运动就地休息．若甲、乙两人相距的路程y（米） 与甲行走的时间x（分钟）之间的关系如图所示，有下列说法：①甲的速度是60 米/分 钟，乙的速度是80 米/分钟；②甲出发30 分钟时，两人在地相遇；③乙到达地时，甲与 地相距450 米，其中正确的说法有（ ） ．0 个 B．1 个 ．2 个 D．3 个 【分析】根据图象可知、B 两地相距3720 米；利用速度＝路程÷时间可求出甲、乙的速 度，由二者相遇的时间＝6+、B 两地之间的路程÷二者速度和，可求出二者相遇的时间， 再由、两地之间的距离＝甲的速度×二者相遇的时间可求出、两地之间的距离，由、两 地之间的距离结合甲、乙的速度，可求出乙到达地时甲与地相距的路程． 【解答】解：由图象可知，、B 两地相距3720 米， 甲的速度为（3720 3360 ﹣ ）÷6＝60（米/分钟）， 乙的速度为（3360 1260 ﹣ ）÷（21 6 ﹣）﹣60＝80（米/分钟），故①说法正确； 甲、乙相遇的时间为6+3360÷（60+80）＝30（分钟），故②说法正确； 、两地之间的距离为60×30＝1800（米）， 乙到达地时，甲与地相距的路程为1800 1800÷80×60 ﹣ ＝450（米）．故③说法正确． 即正确的说法有3 个． 故选：D． 1 【变式1-3】（2022 春•南川区期末）甲、乙两运动员在直线跑道上同起点、同终点、同方 向匀速跑步560 米，先到终点的运动员原地休息．已知甲先出发1 秒，两运动员之间的 距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的关系如图所示．给出以下结论：①＝7； ②b＝63；③＝80．其中正确的是（ ） ．①②③ B．②③ ．①② D．①③ 【分析】根据题意和函数图象中的数据可以求得、b、的值，从而可以解答本题． 【解答】解：由图象知，甲的速度为7÷1＝7（米/秒）， ∵乙出发70 秒后到达终点， ∴乙的速度为560÷70＝8（米/秒）， ∵乙出发秒时乙追上甲， 8 ∴＝7（+1）， 解得：＝7， 故①正确； 当乙到达终点时，甲走的路程为7×（70+1）＝497（米）， ∴b＝560 497 ﹣ ＝63（米）， 故②正确； 当乙到达终点时，甲还需要走63÷7＝9（秒）， ∴＝70+9＝79（秒）， 故③错误． ∴正确的是①②． 故选：． 【题型2 工程问题】 【例2】（2022•李沧区一模）李沧区海绵工程建设过程中，需要将某小区内两段长度相等 的人行道改造为透水人行道，人行道绿篱改造为下沉式绿篱．现分别交给甲、乙两个施 工队同时进行施工．如图是反映所铺设人行道的长度y（米）与施工时间x（时）之间 关系的部分图象，请解答下列问题： （1）求乙队在2≤x≤6 的时间段内，y 与x 的函数关系式； （2）若甲队施工速度不变，乙队在施工6 小时后，施工速度增加到12 米/时，结果两队 1 同时完成了任务，求甲队从开始施工到完成，所铺设的人行道共是多少米． 【分析】（1）观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出函数关系式； （2）利用待定系数法分别求出甲队在整个改造工程中y 与x 的函数关系式和乙队在x≥6 的时间内y 与x 的函数关系式，再联立两函数关系式成方程组，解方程组即可求出结论． 【解答】解：（1）设乙队在2≤x≤6 的时间段内，y 与x 的函数关系式为y＝kx+b （k≠0）， 将（2，30）、（6，50）代入y＝kx+b，得： { 2k+b=30 6k+b=50，解得：{ k=5 b=20， ∴乙队在2≤x≤6 的时间段内，y 与x 的函数关系式为y＝5x+20， （2）设甲队在整个改造工程中，y 与x 的函数关系式为y＝mx（m≠0）， 将（6，60）代入y＝mx，得： 60＝6m，解得：m＝10， ∴甲队在整个改造工程中，y 与x 的函数关系式为y＝10x； 设乙队在x≥6 的时间内，y 与x 的函数关系式为y＝12x+， 将（6，50）代入y＝12x+，得： 50＝12×6+，解得：＝﹣22， ∴乙队在x≥6 的时间内，y 与x 的函数关系式为y＝12x 22 ﹣ ． 联立两函数关系式成方程组，得： { y=10 x y=12 x−22，解得：{ x=11 y=110． 答：甲队从开始施工到完成，所铺设的人行道共是110 米． 【变式2-1】（2022 春•华容县期末）某乳品公司向某地运输一批牛奶，由铁路运输每千克 需运费060 元，由公路运输，每千克需运费030 元，另需补助600 元． （1）设该公司运输的这批牛奶为x 千克，选择铁路运输时，所需运费为y1元，选择公 路运输时，所需运费为y2元，请分别写出y1、y2与x 之间的关系式； （2）若公司只支出运费1500 元，则选用哪种运输方式运送的牛奶多？若公司运送1500 千克牛奶，则选用哪种运输方式所需用较少？ 1 【分析】（1）由总价＝单价×数量+其他费用，就可以得出y 与x 之间的函数关系式； （2）将y＝1500 或x＝1500 分别代入（1）的解析式就可以求出结论； 【解答】解：（1）y1＝06x， y2＝03x+600． （2）当y1＝1500 时，x＝2500， 当y2＝1500 时，x＝3000， 3000 ∵ ＞2500， ∴公路运输时运送的牛奶多． 当x＝1500 时，y1＝900，y2＝1050， 1050 ∵ ＞900， ∴公司运送1500 千克牛奶，铁路运输方式便宜． 【变式2-2】（2022 春•庐江县期末）甲、乙两工程队维修同一段路面，甲队先清理路面， 乙队在甲队清理后铺设路面．乙队在中途停工了一段时间，然后按停工前的工作效率继 续工作．在整个工作过程中，甲队清理完的路面长y（米）与时间x（时）的函数图象 为线段，乙队铺设完的路面长y（米）与时间x（时）的函数图象为折线B﹣﹣D﹣﹣ DE，如图所示，从甲队开始工作时计时． （1）直接写出乙队铺设完的路面长y（米）与时间x（时）的函数关系式； （2）当甲队清理完路面时，乙队还有多少米的路面没有铺设完？ 【分析】（1）先求出乙队铺设路面的工作效率，计算出乙队完成需要的时间求出E 的 坐标，再由待定系数法就可以求出结论． （2）由（1）的结论求出甲队完成的时间，把时间代入乙的解析式就可以求出结论． 【解答】解：（1）设线段B 所在直线对应的函数关系式为y＝k1x+b1． ∵图象经过（3，0）、（5，50）， ∴{3k1+¿b1=0¿5k1+b1=50， 解得： { k1=25 b1=−75， 1 ∴线段B 所在直线对应的函数关系式为y＝25x 75 ﹣ ． 设线段DE 所在直线对应的函数关系式为y＝k2x+b2． ∵乙队按停工前的工作效率为：50÷（5 3 ﹣）＝25， ∴乙队剩下的需要的时间为：（160 50 ﹣ ）÷25¿ 22 5 ， ∴E（109，160）， ∴{ 50=6.5k2+b2 160=10.9k2+b2 ， 解得：{ k2=25 b2=−112.5， ∴线段DE 所在直线对应的函数关系式为y＝25x 1125 ﹣ ． 乙队铺设完的路面长y（米）与时间x（时）的函数关系式为 { y=25 x−75(3≤x＜5) y=50(5≤x＜6.5) y=25 x−112.5(6.5≤x ≤10.9) ； （2）由题意，得 甲队每小时清理路面的长为 100÷5＝20， 甲队清理完路面的时间，x＝160÷20＝8． 把x＝8 代入y＝25x 1125 ﹣ ，得y＝25×8 1125 ﹣ ＝875． 当甲队清理完路面时，乙队铺设完的路面长为875 米， 160 875 ﹣ ＝725 米， 答：当甲队清理完路面时，乙队还有725 米的路面没有铺设完． 【变式2-3】（2022•无锡模拟）甲，乙两人同时各接受了300 个零件的加工任务，甲比乙 每小时加工的数量多，两人同时开工，其中一人因机器故障停止加工若干小时后又继续 按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量y（个）与加工时 间x（小时）之间的函数关系，观察图象解决下列问题： （1）其中一人因故障，停止加工 1 小时，点表示的实际意义是 甲工作 6 小时完成 1 任务 ．甲每小时加工的零件数量为 60 个； （2）求线段B 对应的函数关系式和D 点坐标； （3）乙在加工的过程中，多少小时时比甲少加工75 个零件？ （4）为了使乙能与甲同时完成任务，现让丙帮乙加工，直到完成．丙每小时能加工80 个零件，并把丙加工的零件数记在乙的名下，问丙应在第多少小时时开始帮助乙？并在 图中用虚线画出丙帮助后y 与x 之间的函数关系的图象． 【分析】（1）根据函数图象可以解答本题； （2）根据题意和函数图象可以求得点的坐标，从而可以求得线段B 对应的函数解析式； （3）根据题意和图象可知它们相差75 个零件在B 段和D 段，从而可以解答本题； （4）根据题意和图象可以求得丙应在第多少小时时开始帮助乙，并在图中用虚线画出 丙帮助后y 与x 之间的函数关系的图象． 【解答】解：（1）由题意可得， 其中一人因故障，停止加工2 1 ﹣＝1 小时，点表示的实际意义是甲工作6 小时完成任务， 甲每小时加工的零件数量为：300÷（6 1 ﹣）＝60 个， 故答为：1、甲工作6 小时完成任务、60； （2）设线段B 对应的函数关系式y＝kx+b， 点的纵坐标是：300 60÷2×6 ﹣ ＝120， ∴点的坐标是（6，120） { 2k+b=0 6k+b=120，得{ k=30 b=−60， 即线段B 对应的函数关系式y＝30x 60 ﹣ ， 点D 的横坐标为：300÷（60÷2）＝10， 故点D 的坐标为（10，0）； （3）当y＝75 时，75＝30x 60 ﹣ ，得x＝45， 当在D 段时，当乙比甲少加工75 个零件时的时间为：（300 75 ﹣ ）÷30＝75（小时）， 即当在45 小时或75 小时时，乙在加工的过程中，比甲少加工75 个零件； （4）由题意可得， 当x＝6 时，y＝30×6 60 ﹣ ＝120， 120÷80＝15， ∴丙应在第45 小时时开始帮助乙，图象如右图所示． 1 【题型3 利润最大问题】 【例3】（2022 春•遵义期末）钓鱼成为越来越多人休闲娱乐的选择，鱼密度大的鱼塘的门 票在300 600 ﹣ 元不等，这让爱好钓鱼的钓友们喜欢到能回鱼的鱼塘垂钓（回鱼是指钓 友钓上的鱼返卖给塘主），如果鱼情和钓鱼技能好的话还能获得一些利润．欢乐鱼塘的 门票为450 元5 小时，回鱼标准为56 斤以内为12 元/斤，超过56 斤的部分7 元/斤：云 门鱼塘门票为320 元5 小时，回鱼标准是律按8 元/斤．（斤是重量单位，1 斤05 千克） 设钓友获得的利润为y 元，鱼的重量为x 斤． （1）求在两家鱼塘钓鱼时y 欢乐、y 云门与x 之间的函数关系式； （2）如图，在平面直角坐标系中，M，为图象的交点，m，分别为点M，的横坐标，写 出图中m，的值分别为 325 、 150 ； （3）钓友会根据自己的钓鱼技能和鱼塘的回鱼标准选择不同的鱼塘垂钓，请帮钓友们 分析选择在哪家鱼塘钓鱼更划算？ 【分析】（1）根据利润＝回鱼金额﹣门票，结合鱼塘的不同回鱼方式列式即可； （2）联立函数解析式求出点M、的坐标即可； （3）根据点M、的坐标，结合函数图象判断即可． 【解答】解：（1）由题意得：当0≤x≤56 时，y 欢乐＝12x 450 ﹣ ， 当x＞56 时，y 欢乐＝12×56+7（x 56 ﹣ ）﹣450＝7x 170 ﹣ ， 1 ∴y 欢乐¿{ 12 x−450(0≤x ≤56) 7 x−170( x＞56) ； y 云门＝8x 320 ﹣ ； （2）联立{ y 欢乐=12 x−450(0≤x ≤56) y 云门=8 x−320( x ≥0) ， 解得：{ x=32.5 y=−56； 联立{ y 欢乐=7 x−170( x＞56) y 云门=8 x−320( x ≥0) ， 解得：{ x=150 y=880， ∴M（325，﹣60），（150，880）， ∴m＝325，＝150， 故答为：325，150； （3）∵M （325，﹣60）， （150，880）， ∴由函数图象可得：当0≤x＜325 时，y 欢乐＜y 云门，即在云门门鱼塘垂钓更划算； 当x＝325 时，y 欢乐＝y 云门，即在欢乐鱼塘和云门鱼塘垂钓一样划算； 当325＜x＜150 时，y 欢乐＞y 云门，即在欢乐鱼塘垂钓更划算； 当x＝150 时，y 欢乐＝y 云门，即在欢乐鱼塘和云门鱼塘垂钓一样划算； 当x＞150，y 欢乐＜y 云门，即在云门鱼塘垂钓更划算； 综上，当0≤x＜325，x＞150 时，在云门鱼塘垂钓更划算；当x＝325，x＝150 时，在欢 乐鱼塘和云门鱼塘垂钓一样划算；当325＜x＜150 时，在欢乐鱼塘垂钓更划算． 【变式3-