专题17.2 勾股定理的应用【八大题型】（原卷版）

专题172 勾股定理的应用【八大题型】 【人版】 【题型1 勾股定理之大树折断模型】.....................................................................................................................1 【题型2 勾股定理之风吹荷花模型】.....................................................................................................................3 【题型3 勾股定理之蚂蚁行程模型】.....................................................................................................................4 【题型4 勾股定理之方向角问题】.........................................................................................................................5 【题型5 勾股定理之梯子问题】.............................................................................................................................7 【题型6 勾股定理之范围影响问题】.....................................................................................................................9 【题型7 勾股定理之选址使到两地距离相等】....................................................................................................13 【题型8 勾股定理应用之其他问题】.................................................................................................................... 14 【题型1 勾股定理之大树折断模型】 【例1】（2022 春•上杭县期中）为了美化环境，净化城市的天空，某市要将建在西里（城 中村）的一座高50m 的烟囱拆除，由于烟囱附近的房子密集，拆除只能采取分段拆除， 若烟囱折断时，顶端下来正好砸在距烟囱底部10m 的地方最安全，那么按以上要求该烟 囱应从底部向上 米处折断． 【变式1-1】（2022 春•高安市月考）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中 于离地面6 米B 处折断倒下，倒下后的树顶与树根的距离为8 米，则这棵大树在折断前 的高度为（ ） ．10 米 B．12 米 ．14 米 D．16 米 【变式1-2】（2022 春•乾安县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高 度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离B＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF ＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索D 的长度． 1 【变式1-3】（2022 春•赤壁市期中）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点处拦腰折断，如 图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部处，已知B＝4 米，B＝13 米，两棵树的 水平距离为12 米，求这棵树原来的高度． 【题型2 勾股定理之风吹荷花模型】 【例2】（2022 春•邹城市校级月考）如图，一个池塘，其底面是边长为10 尺的正方形， 一棵芦苇B 生长在它的中央，高出水面的部分B 为1 尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂 直的方向拉向岸边，芦苇的顶端与岸齐，则芦苇高度是 尺． 1 【变式2-1】（2022 春•乾安县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高 度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离B＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF ＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索D 的长度． 【变式2-2】（2022•晋州市期末）如图，淇淇在离水面高度为5m 的岸边处，用绳子拉船靠 岸，开始时绳子B 的长为13m． （1）开始时，船距岸的距离是 m； （2）若淇淇收绳5m 后，船到达D 处，则船向岸移动 m． 1 【变式2-3】（2022•朝阳区期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直 径是9m，内壁高12m．若这支铅笔长为18m，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能 的是（ ） ．3m B．5m ．6m D．8m 【题型3 勾股定理之蚂蚁行程模型】 【例3】（2022 春•璧山区期中）如图，一圆柱体的底面周长为10m，高B 为12m，B 是直 径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬行到点的最短路程为（ ） ．17m B．13m ．12m D．14m 【变式3-1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5m，3m 和1m， 和B 是这个台阶的两个相对的端点，点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物．请你 想一想，这只蚂蚁从点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？ 【变式3-2】如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高1的端点到达1，若圆柱底面半径为 6 π ，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为 ． 1 【变式3-3】（2022 春•东湖区校级期中）如图是一块长，宽，高分别是6m，4m 和3m 的 长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ） ．（3+❑ √13） m B．❑ √97 m ．❑ √85 m D．❑ √109 m 【题型4 勾股定理之方向角问题】 【例4】（2022•未央区校级期中）如图，在灯塔的东北方向8 海里处有一轮船，在灯塔的 东南方向6 海里处有一渔船B，则B 间的距离为（ ） ．9 海里 B．10 海里 ．11 海里 D．12 海里 【变式4-1】（2022 春•白水县期末）如图，两艘海舰在海上进行为时2 小时的军事演习， 一海舰以120 海里/时的速度从港口出发，向北偏东60°方向航行到达B，另一海舰以90 海里/时的速度同时从港口出发，向南偏东30°方向航行到达，则此时两艘海舰相距多少 海里？ 1 【变式4-2】（2022 春•合肥期末）某船从港口出发沿南偏东32°方向航行15 海里到达B 岛， 然后沿某方向航行20 海里到达岛，最后沿某个方向航行了25 海里回到港口，判断此时 △B 的形状，该船从B 岛出发到是沿哪个方向航行的，请说明理由． 【变式4-3】（2022 春•潮南区期中）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、 “海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 海 里，“海天”号每小时航行12 海里． 1 （1）若它们离开港口一个半小时后分别位于、B 处，且相距30 海里．如果知道“远 航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？说明理由． （2）若“远航”号沿北偏东60°方向航行，经过两个小时后位于F 处，此时船上有一名 乘客需要紧急回到PE 海岸线上，若他从F 处出发，乘坐的快艇的速度是每小时80 海里． 他能在半小时内回到海岸线吗？说明理由． 【题型5 勾股定理之梯子问题】 【例5】（2022 春•淮南期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时， 梯子底端到左墙角的距离为07 米，顶端距离地面24 米．如果保持梯子底端位置不动， 将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 米，则小巷的宽度为 米． 【变式5-1】（2022•花溪区校级期末）一个长度为5 米的梯子的底端距离墙脚2 米，这个 梯子的顶端能达到45 米的墙头吗？ 【变式5-2】（2022•广南县校级期中）某同学不小心把衣服从学楼4 楼掉落在离地面高为 1 23 米的树上．其中一位同学赶快搬来一架长为25 米的梯子，架在树干上，梯子底端离 树干15 米远，另一位同学爬上梯子去拿衣服．问这位同学能拿到衣服吗？如果再把梯 子底端向树干靠近08 米，问此时这位同学能拿到衣服吗？ 【变式5-3】（2022•泉港区期末）一架方梯长25 米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离 墙7 米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4 米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【题型6 勾股定理之范围影响问题】 【例6】（2022 春•雁塔区校级期末）如图，有一台环卫车沿公路B 由点向点B 行驶，已知 点为一所学校，且点与直线B 上两点，B 的距离分别为150m 和200m，又B＝250m，环 卫车周围130m 以内为受噪声影响区域． （1）学校会受噪声影响吗？为什么？ （2）若环卫车的行驶速度为每分钟50 米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分 钟？ 1 【变式6-1】（2022 春•孝南区月考）如图，有两条公路M，相交成30°，沿公路M 方向离 点80 米处有一所学校，当重型运输卡车P 沿道路的方向行驶时，以P 为圆心，50 米长 为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校的距离越近噪声影响越 大，若重型运输卡车P 沿道路方向行驶的速度为5 米/秒． （1）求卡车P 对学校的噪声影响最大时，卡车P 与学校的距离； （2）求卡车P 沿道路方向行驶一次，它给学校带来噪声影响的总时间． 1 【变式6-2】（2022 春•岳麓区校级期中）如图所示，甲渔船以8 海里/时的速度离开港口向 东北方向航行，乙渔船以6 海里/时的速度离开港口向西北方向航行，他们同时出发，一 个半小时后，甲、乙两渔船相距（ ） ．12 海里 B．13 海里 ．14 海里 D．15 海里 【变式6-3】（2022 春•綦江区期末）今年第6 号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强， 累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向B 由向B 移动，已知点为一海港，且点与直线B 上的两点、B 的距离分别为＝300km，B＝ 400km，又B＝500km，经测量，距离台风中心260km 及以内的地区会受到影响． （1）求∠B 的度数； （2）海港受台风影响吗？为什么？ （3）若台风中心的移动速度为28 千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 1 【题型7 勾股定理之选址使到两地距离相等】 【例7】（2022 春•启东市期中）如图，在笔直的高速路旁边有、B 两个村庄，村庄到公路 的距离＝8km，B 村庄到公路的距离BD＝14km，测得、D 两点的距离为20km，现要在 D 之间建一个服务区E，使得、B 两村庄到E 服务区的距离相等，求E 的长． 【变式7-1】（2022•市北区期末）如图，某学校（点）到公路（直线l）的距离为300 米， 到公交车站（D 点）的距离为500 米，现要在公路边上建一个商店（点），使之到学校 及到车站D 的距离相等，则商店与车站D 之间的距离是 米． 【变式7-2】（2022•牡丹区期末）在一棵树的5 米高B 处有两个猴子为抢吃池塘边水果， 一只猴子爬下树跑到处（离树10 米）的池塘边．另一只爬到树顶D 后直接跃到处，距 离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米． 1 【变式7-3】（2022•和平区三模）如图，某校距离笔直的公路l 为3km，与该公路上某车站 D 的距离为5km，现要在公路旁建一个小商店，使之与学校及车站D 的距离相等，则B ＝ ． 【题型8 勾股定理应用之其他问题】 【例8】（2022•龙岗区校级月考）如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是以B 为直径的半圆，下方是长方形的仿古通道，已知D＝23 米，D＝2 米；现有一辆卡车装 满家具后，高25 米，宽16 米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？请说出你的 理由． 【变式8-1】（2022•洛宁县期末）为整治城市街道的汽车超速现象，交警大队在某街道旁 进行了流动测速．如图，一辆小汽车在某城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到离车速 检测仪60m 的处，过了4s 后，小汽车到达离车速检测仪100m 的B 处，已知该段城市街 道的限速为60km/，请问这辆小汽车是否超速？ 1 【变式8-2】（2022 春•合肥期中）如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在 平坦的操场上进行走展示．输入指令后，机器人从出发点先向东走10 米，又向南走40 米，再向西走20 米，又向南走40 米，再向东走70 米到达终止点B．求终止点B 与原出 发点的距离B． 1 【变式8-3】（2022•广陵区二模）如图①，老旧电视机屏幕的长宽比为4：3，但是多数电 影图象的长宽比为24：1，故在播放电影时电视机屏幕的上方和下方会有两条等宽的黑 色带子． （1）若图①中电视机屏幕为20 寸（即屏幕对角线长度）： ①该屏幕的长＝ 16 寸，宽＝ 12 寸； ②已知“屏幕浪费比¿ 黑色带子的总面积 电视机屏幕的总面积”，求该电视机屏幕的浪费比． （2）为了兼顾电影的收视需求，一种新的屏幕的长宽比诞生了．如图②，这种屏幕 （矩形BD）恰好包含面积相等且长宽比分别为4：3 的屏幕（矩形EFG）与24：1 的屏 幕（矩形MPQ）．求这种屏幕的长宽比．（参考数据：❑ √5≈22，结果精确到01） 1