专题13.2 轴对称的性质【八大题型】（解析版）

专题132 轴对称的性质【八大题型】 【人版】 【题型1 游戏中的轴对称】.....................................................................................................................................1 【题型2 利用轴对称的性质求角度】.....................................................................................................................4 【题型3 利用轴对称的性质求线段长度】.............................................................................................................7 【题型4 在格点中作轴对称图形】.........................................................................................................................9 【题型5 利用轴对称的性质解决折叠问题】.......................................................................................................13 【题型6 利用轴对称的性质解决最短路径问题】................................................................................................18 【题型7 利用轴对称的性质解决探究性问题】....................................................................................................25 【题型8 轴对称图的设计】...................................................................................................................................33 【知识点1 轴对称的性质】 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对 称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线， 就可以得到这 两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 【题型1 游戏中的轴对称】 【例1】（2022 春•余姚市校级月考）小王设计了一“对称跳棋”题：如图，在作业本上画 一条直线l，在直线l 两边各放一粒围棋子、B，使线段B 长8m，并关于直线l 对称，在 图中P1处有一粒跳棋子，P1距点6m、与直线l 的距离为3m，按以下程序起跳：第1 次， 从P1点以为对称中心跳至P2点；第2 次，从P2点以l 为对称轴跳至P3点；第3 次，从 P3点以B 为对称中心跳至P4点；第4 次，从P4点以l 对称轴跳至P5点；…． （1）棋子跳至P6点时，与点P1的距离是 12 m ； （2）棋子按上述程序跳跃2014 次后停下，这时它与点B 的距离是 6 m ． 1 【分析】（1）根据题意作出图形，P6与P2重合，然后利用勾股定理列式计算即可得解； （2）根据图形，每跳动4 次为一个循环组依次循环，用2014 除以4，根据商和余数的 情况解答即可． 【解答】解：（1）如图，P6与P2重合， ∵P1距点6m， ∴P1P2＝2×6＝12m， ∴跳至P6点时，与点P1的距离是12m； （2）∵每跳动4 次为一个循环组依次循环，2014÷4＝503 余2， ∴跳跃2014 次为第504 次循环的第2 次，停在P3， 它与点B 的距离是6m． 故答为：12m；6m． 【变式1-1】（2022•云梦县一模）甲和乙下棋，甲执白子，乙执黑子．如图，已共下了7 枚棋子，棋盘中心黑子的位置用（﹣1，0）表示，其右下角黑子的位置用（0，﹣1）表 示．甲将第4 枚白子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．他放的位置是（ ） ．（﹣1，1） B．（﹣2，1） ．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2） 【分析】首先确定原点位置，再利用轴对称图形的性质得出答． 【解答】解：如图所示：甲将第4 枚白子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形， 他放的位置是：（﹣1，1）． 故选：． 1 【变式1-2】（2022•潍坊）甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子， 黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5 个棋子组成轴对称图形，白棋的5 个棋子也成 轴对称图形．则下列下子方法不正确的是（ ），[说明：棋子的位置用数对表示， 如点在（6，3）]． ．黑（3，7）；白（5，3） B．黑（4，7）；白（6，2） ．黑（2，7）；白（5，3） D．黑（3，7）；白（2，6） 【分析】分别根据选项所说的黑、白棋子放入图形，再由轴对称的定义进行判断即可得 出答． 【解答】解：、若放入黑（3，7）；白（5，3），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是 轴对称图形，故本选项不符合题意； B、若放入黑（4，7）；白（6，2），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形， 故本选项不符合题意； 、若放入黑（2，7）；白（5，3），则此时黑棋不是轴对称图形，白棋是轴对称图形， 故本选项正确； D、若放入黑（3，7）；白（2，6），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形， 故本选项不符合题意； 故选：． 【变式1-3】（2022•绥棱县校级模拟）如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余 的格点上没有棋子．我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内，沿着棋子对称 跳行，跳行一次称为一步．已知点为己方一枚棋子，欲将棋子跳进对方区域（阴影部分 的格点），则跳行的最少步数为 3 步． 1 【分析】根据题意：分别计算出两种跳法所需要的步数，比较就可以了． 【解答】解：如图中红棋子所示，根据规则： ①点从右边通过3 次轴对称后，位于阴影部分内； ②点从左边通过4 次轴对称后，位于阴影部分内． 所以跳行的最少步数为3 步． 【题型2 利用轴对称的性质求角度】 【例2】（2022 秋•河东区期末）如图，△B 中，∠B＝58°，∠＝55°，点D 为B 边上一动点． 分别作点D 关于B，的对称点E，F，连接E，F．则∠EF 的度数等于 134° ． 【分析】利用轴对称的性质解答即可． 【解答】解：∵点E 和点F 分别是点D 关于B 和的对称点， ∴∠EB＝∠BD，∠F＝∠D， ∵∠B＝58°，∠＝55°， ∴∠B＝∠BD+∠D＝180° 58° 55° ﹣ ﹣ ＝67°， ∴∠EF＝2∠B＝134°， 故答为：134°． 【变式2-1】（2022 春•寿阳县期末）如图，△B 中，∠B＝60°，∠＝50°，点D 是B 上任一点， 点E 和点F 分别是点D 关于B 和的对称点，连接E 和F，则∠EF 的度数是（ ） 1 ．140° B．135° ．120° D．100° 【分析】利用轴对称的性质解答即可． 【解答】解：如图，∵点E 和点F 分别是点D 关于B 和的对称点， ∴∠EB＝∠BD，∠F＝∠D， ∵∠B＝60°，∠＝50°， ∴∠B＝∠BD+∠D＝180° 60° 50° ﹣ ﹣ ＝70°， ∴∠EF＝2∠B＝140°， 故选：． 【变式2-2】（2022 秋•台江区期中）如图，四边形BD 中，B＝D，△B 沿着翻折，点B 关 于的对称点E 恰好落在D 上，若∠B＝α 度，则∠D 的度数是 （ 180 α ﹣ ） 度． 【分析】直接利用翻折变换的性质得出B＝E，∠B＝∠E＝α，再结合等腰三角形的性质 得出答． 【解答】解：∵△B 沿着翻折，点B 关于的对称点E 恰好落在D 上， ∴B＝E，∠B＝∠E＝α， ∵B＝D， ∴D＝E， 1 ∴∠D＝∠ED＝180°﹣∠E＝180 α ﹣． 故答为：（180 α ﹣）． 【变式2-3】（2022 秋•房山区期末）如图，点P 是∠B 外的一点，点Q 是点P 关于的对称 点，点R 是点P 关于B 的对称点，直线QR 分别交∠B 两边，B 于点M，，连接PM， P，如果∠PM＝33°，∠P＝70°，求∠QP 的度数． 【分析】先根据点P 与点Q 关于直线对称可知M 是线段PQ 的垂直平分线，故PM＝ MQ，∠PMQ＝2∠PM，根据三角形内角和定理求出∠PQM 的度数，同理可得出P＝R， 故可得出∠PR＝2∠P，再由平角的定义得出∠PQ 的度数，由三角形外角的性质即可得出 结论． 【解答】解：∵点Q 和点P 关于的对称， 点R 和点P 关于B 的对称 ∴直线、B 分别是PQ、PR 的中垂线， ∴MP＝MQ，P＝R， ∴∠PM＝∠QM，∠P＝∠R， ∵∠PM＝3 3°，∠P＝70° ∴∠PM＝∠QM＝33°，∠P＝∠R＝70° ∴∠PMQ＝66°，∠PR＝140° ∴∠MQP＝57°， ∴∠PQ＝123°，∠PQ＝40°， 1 ∴∠QP＝17°． 【题型3 利用轴对称的性质求线段长度】 【例3】（2022 秋•土默特左旗期中）如图，点P 在∠B 内，点M、分别是点P 关于、B 的 对称点，若△PEF 的周长为15，求M 的长． 【分析】根据轴对称的性质可知EP＝EM，PF＝F，结合△PEF 的周长为15，利用等量 代换可知M＝EP+EF+PF＝15． 【解答】解：∵点M 是点P 关于，的对称点， ∴垂直平分MP， ∴EP＝EM． 同理PF＝F． ∵M＝ME+EF+F， ∴M＝EP+EF+PF， ∵△PEF 的周长为15， ∴M＝EP+EF+PF＝15． 【变式3-1】（2022 春•洛宁县期末）如图，点P 在∠B 内，点M、分别是P 点关于、B 的对 称点，且M 交、B 相交于点E，若△PEF 的周长为20，求M 的长． 【分析】根据轴对称的性质可知：EP＝EM，PF＝F，所以线段M 的长＝△PEF 的周长， 再根据△PEF 的周长为20，即可得出M 的长． 【解答】解：∵点M 是P 点关于的对称点， ∴EP＝EM， ∵是P 点关于B 的对称点， ∴PF＝F， 1 ∴M＝ME+EF+F＝PE+EF+PF＝△PEF 的周长， ∵△PEF 的周长为20， ∴M＝20m． 【变式3-2】（2022 春•驿城区期末）如图，点P 是∠B 外的一点，点M，分别是∠B 两边上 的点，点P 关于的对称点Q 恰好落在线段M 上，点P 关于B 的对称点R 落在M 的延长 线上．若PM＝3m，P＝4m，M＝45m，则线段QR 的长为 55 m ． 【分析】根据轴对称的性质得到垂直平分PQ，B 垂直平分PR，则利用线段垂直平分线 的性质得QM＝PM＝3m，R＝P＝4m，然后计算Q，再计算Q+R 即可． 【解答】解：∵点P 关于的对称点Q 恰好落在线段M 上， ∴垂直平分PQ， ∴QM＝PM＝3m， ∴Q＝M﹣QM＝45m 3 ﹣m＝15m， ∵点P 关于B 的对称点R 落在M 的延长线上， ∴B 垂直平分PR， ∴R＝P＝4m， ∴QR＝Q+R＝15m+4m＝55m． 故答为55m． 【变式3-3】（2022 秋•淮安月考）如图，在△B 中，B＝12m，＝6m，B＝10m，点D，E 分 别在，B 上，且△BD 和△BED 关于BD 对称． （1）求E 的长； （2）求△DE 的周长． 【分析】（1）先根据△BD 和△BED 关于BD 对称，得出△BD≌△BED，故BE＝B，由此可 1 得出E 的长， （2）由△DE 的周长＝E+D+DE＝E+即可得出结论． 【解答】解：（1）∵△BD 和△BED 关于BD 对称， ∴△BD≌△BED， ∴BE＝B＝10m， ∴E＝12 10 ﹣ ＝2m， （2）∵△BD≌△BED， ∴D＝DE， ∴△DE 的周长＝E+D+DE＝E+＝8m． 【题型4 在格点中作轴对称图形】 【例4】（2022 秋•密山市校级期末）如图所示， （1）写出顶点的坐标； （2）作△B 关于y 轴对称的△1B11，并写出B1的坐标； （3）若点2（，b）与点关于x 轴对称，求﹣b 的值． 【分析】（1）根据点的坐标的定义写出坐标即可； （2）作出、B、三点关于y 轴的对称点1、B1、1即可； （3）根据轴对称的性质求出、b 的值即可； 【解答】解：（1）（﹣2，﹣1）． （2）△B 关于y 轴对称的△1B11如图所示； 1 如图，B1（﹣3，1）． （3）∵（1，2）与2（，b）关于x 轴对称， 可得：＝1，b＝﹣2， ∴﹣b＝3． 【变式4-1】（2022 秋•自贡期末）如图，在直角坐标系中，、B、、D 各点的坐标分别为 （﹣7，7）、（﹣7，1）、（﹣3，1）、（﹣1，4）． （1）在给出的图形中，画出四边形BD 关于y 轴对称的四边形1B11D1； （不写作法） （2）写出点1和1的坐标； （3）求四边形1B11D1的面积． 【分析】（1）根据格结构找出点、B、、D 关于y 轴对称点1、B1、1、D1的位置，然后 顺次连接即可； （2）根据平面直角坐标系写出点1和1的坐标； （3）利用四边形1B11D1所在的矩形的面积减去两个直角三角形的面积列式计算即可得 解． 【解答】解：（1）四边形1B11D1如图所示； （2）由（1）可得1（7，7），1（3，1）； 1 （3）S 四边形1B11D1＝6×6−1 2 ×2×3−1 2 ×6×3， ＝36 3 9 ﹣﹣， ＝36 12 ﹣ ， ＝24． 【变式4-2】（2022 秋•嵊州市期末）在如图的正方形格中，每一个小正方形的边长为1， 格点三角形B（顶点是格线交点的三角形）的顶点，B 的坐标分别是（﹣6，7），（﹣ 4，3）． （1）请你根据题意在图中的格平面内作出平面直角坐标系． （2）请画出△B 关于y 轴对称的△1B11 【分析】（1）根据点B 的坐标可确定原点位置，然后画出坐标系即可； （2）首先确定、B、三点关于y 轴对称的对称点位置，再连接即可． 【解答】解：（1）如图： （2）如图所示：△1B11即为所求． 【变式4-3】（2022 春•铜仁市期末）如图，已知点（4，3），B（3，1），（1，2），请 解决下列问题： （1）若把△B 向下平移1 个单位，再向左平移5 个单位得到△1B11，请画出平移后的图形 并写出1，B1，1的坐标； 1 （2）若△2B22是△B 关于x 轴对称的图形，请画出△2B22并写出2，B2，2的坐标． 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，B，的对应点1，B1，1即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出，B，的对应点2，B2，2即可． 【解答】解：（1）如图，△1B11即为所求，1（﹣1，2），B1（﹣2，0），1（﹣4，1）； （2）如图，△2B22即为所求，2（4，﹣3），B2（3，﹣1），2（1，﹣2）． 【题型5 利用轴对称的性质解决折叠问题】 【例5】（2022 春•广陵区校级期中）发现（1）如图1，把△B 沿DE 折叠，使点落在点’ 处，请你判断∠1+ 2 ∠与∠有何数量关系，直接写出你的结论，不必说明理由 思考（2）如图2，B 平分∠B，平分∠B，把△B 折叠，使点与点重合，若∠1+ 2 ∠＝100°， 1 求∠B 的度数； 拓展（3）如图3，在锐角△B 中，BF⊥于点F，G⊥B 于点G，BF、G 交于点，把△B 折 叠使点和点重合，试探索∠B 与∠1+ 2 ∠的关系，并证明你的结论． 【分析】（1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可； （2）根据三角形角平分线的性质得出∠B+∠B＝90°−1 2 ∠，得出∠B 的度数即可； （3）根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，∠F+∠G＝90°+90°＝180°，进而求出∠ ¿ 1 2（∠1+ 2 ∠），即可得出答． 【解答】解：（1）∠1+ 2 ∠＝2∠； 理由：根据翻折的性质，∠DE¿ 1 2（180° 1 ﹣∠），∠ED¿ 1 2（180° 2 ﹣∠）， + ∵∠∠DE+∠ED＝180°， ∴∠+1 2 （180 1 ﹣∠）+1 2 （180 2 ﹣∠）＝180°， 整理得2∠＝∠1+ 2 ∠； （2）由（1）∠1+ 2 ∠＝2∠，得2∠＝100°， ∴∠＝50° ∵B 平分∠B，平分∠B， ∴∠B+∠B¿ 1 2（∠B+∠B）¿ 1 2（180°﹣∠）＝90°−1 2 ∠， ∴∠B＝180°﹣（∠B+∠B）＝180°﹣（90°−1 2 ∠）＝90°+1 2 ×50°＝115°； （3）∵BF⊥，G⊥B， ∴∠F+∠G＝90°+90°＝180°， ∠FG+∠＝180°， ∴∠B＝∠FG＝180°﹣∠， 由（1）知∠1+ 2 ∠＝2∠， ∴∠¿ 1 2（∠1+ 2 ∠）， ∴∠B＝180°−1 2 （∠1+ 2 ∠）． 【变式5-1】（2022 春•杜尔伯特县期中）如图，将边长为8m 的正方形BD 折叠，使点D 落在B 边的中点E 处，点落在F 处，折痕为M． （1）求线段长． （2）连接F，并求F 的长． 1 【分析】（1）设＝x，则D＝8﹣x，由翻折的性质可知E＝D＝8﹣x，在Rt△E 中，由勾 股定理列方程求解即可； （2）连接，由翻折的性质可知F＝，然后在Rt△D 中由勾股定理求得的长即可． 【解答】解：（1）设＝x，则D＝8﹣x．由翻折的性质可知：E＝D＝8﹣x． 在Rt△E 中，由勾股定理可知：E2＝E2+2，（8﹣x）2＝42+x2， 解得：x＝3，即＝3m． （2）如图所示，连接． 在Rt 三角形D 中，¿ ❑ √A D 2+N D 2= ❑ √8 2+5 2=❑ √89． 由翻折的性质可知F＝¿ ❑ √89． 【变式5-2】（2022 秋•成都期末）如图，四边形BD 中，B∥D，D⊥B，B＝6，D＝D＝3， 点E、F 分别在线段B、D 上，将△EF 沿EF 翻折，点的落点记为P．当P 落在四边形 BD 内部时，PD 的最小值等于 3 ❑ √5−¿6 ． 【分析】当沿DE 折叠，且点落在BD 上，有DP 最小，由勾股定理求得BD 的长，则 DP＝BD﹣BP＝BD﹣B． 【解答】