专题4.7 线段与角中的常见思想方法的应用【八大题型】（解析版）

专题47 线段与角中的常见思想方法的应用【八大题型】 【人版】 【题型1 线段中的整体思想】.................................................................................................................................1 【题型2 线段中的方程思想】.................................................................................................................................5 【题型3 线段中的分类讨论思想】.......................................................................................................................11 【题型4 线段中的数形结合思想】.......................................................................................................................17 【题型5 角中的整体思想】...................................................................................................................................22 【题型6 角中的方程思想】...................................................................................................................................30 【题型7 角中的分类讨论思想】...........................................................................................................................37 【题型8 角中的数形结合思想】...........................................................................................................................43 【题型1 线段中的整体思想】 【例1】（2022·全国·七年级专题练习）线段B＝16，，D 是线段B 上的两个动点（点在点 D 的左侧），且D＝2，E 为B 的中点． (1)如图1，当＝4 时，求DE 的长． (2)如图2，F 为D 的中点．点，D 在线段B 上移动的过程中，线段EF 的长度是否会发生变 化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF 的长． 【答】(1)DE=4 (2)EF=7 【分析】（1）首先根据题意求出B 的长度，然后由E 为B 的中点求出BE 的长度，最后即 可求出DE 的长； （2）由题意可得AD+BC=AB+CD，由F 为D 的中点和E 为B 的中点表示出 FD+CE=1 2 ( AD+BC )，代入EF=FD+CE−CD，即可求出EF 长． 【详解】（1）∵B＝16，D＝2，＝4， ∴BC=AB−AC=16−4=12，AD=AC+CD=6, ∵E 为B 的中点， 1 ∴BE=1 2 BC=6， ∴DE=AB−AD−BE=16−6−6=4； （2）线段EF 的长度不会发生变化，EF=7， ∵B＝16，D＝2， ∴AD+BC=AB+CD=16+2=18， ∵F 为D 的中点，E 为B 的中点， ∴FD+CE=1 2 ( AD+BC )=1 2 ×18=9， ∴EF=FD+CE−CD=9−2=7． 【点睛】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分 析题目中线段之间的数量关系． 【变式1-1】（2022·黑龙江大庆·期末）如图1，已知点在线段B 上，且AM=1 3 AC， BN=1 3 BC． (1)若AC=12，CB=6，求线段M 的长． (2)若为线段B 上任意一点，且满足AC+BC=a，其他条件不变，求线段M 的长． 【答】(1)12 (2)2 3 a 【分析】（1）若=12，B=6，求线段M 的长； （2）若点为线段B 上任意一点，且满足+B=，请直接写出线段M 的长； （1） 解：因为AM=1 3 AC，BN=1 3 BC，AC=12，CB=6， 所以AM=1 3 ×12=4，BN=1 3 ×6=2． AB=AC+BC=12+6=18． 所以MN=AB−AM−NB=18−4−2=12． （2） 1 解：因为AM=1 3 AC，BN=1 3 BC，AC+BC=a， 所以：AM +BN=1 3 ( AC+BC )=1 3 a， 所以MN=AB−( AM +BN )=AC+BC−( AM +BN )=a−1 3 a=2 3 a． 【点睛】本题考查了两点间的距离，利用M=1 3．B=1 3B，得出M 的长，B 的长是解题关键． 【变式1-2】（2022·四川德阳·七年级期末）如图，点是线段B 上的一点，点M、、P 分别 是线段，B，B 的中点． (1)若B=10m，求线段M 的长； (2)若=3m，P=1m，求线段P 的长． 【答】(1)M＝5m (2)P＝3 2m 【分析】（1）根据线段中点的性质可得M＝1 2，＝1 2B．再根据M＝M+＝1 2+1 2B＝1 2 （+B）代入计算即可得出答； （2）先根据题意可计算出P 的长度，由线段中点的性质可得B＝2P，B＝B﹣，＝1 2B，再 根据P＝﹣P 代入计算即可得出答． (1) 解：∵M、分别是、B 的中点， ∴M＝1 2，＝1 2B， ∴M＝M＋＝1 2＋1 2B＝1 2（＋B）＝1 2B＝1 2×10＝5（m） (2) 解：∵＝3，P＝1， ∴P＝＋P＝4， ∵点P 是线段B 的中点， ∴B＝2P＝8，B＝B－＝5， ∵点是线段B 的中点， 1 ∴＝1 2B＝5 2（m）， ∴P＝－P＝5 2－1＝3 2（m）． 【点睛】本题主要考查了两点间距离的计算，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是 解决本题的关键． 【变式1-3】（2022·湖南长沙·七年级期末）如图，已知B、在线段D 上，M 是B 的中点， 是D 的中点，且AB=CD． (1)如图线段D 上有6 个点，则共有______条线段； (2)比较线段的大小：______BD（填“＞”、“=”或“＜”）； (3)若AD=12，BC=8，求M 的长度． 【答】(1)15 (2)＝ (3)10 【分析】（1）根据线段有两个端点，得出所有线段的条数； （2）依据B＝D，即可得到B＋B＝D＋B，进而得出＝BD； （3）依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到M 的长度． (1) ∵线段D 上有6 个点， ∴图中共有线段条数为6×（6−1）÷2＝15； 故答为：15； (2) ∵B＝D， ∴B＋B＝D＋B， 即＝BD； 故答为：＝； (3) ∵AD=12，BC=8， ∴AB+CD=AD−BC=4， ∵M 是B 的中点，是D 的中点， ∴BM=1 2 AB，CN=1 2 CD， 1 ∴BM +CN=1 2 ( AB+CD )=1 2 ×4=2， ∴MN=BM +CN +BC=2+8=10． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离以及线段的和差关系，利用中点性质转化线段之间 的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性． 【题型2 线段中的方程思想】 【例2】（2022·河南信阳·七年级期末）如图，A，B，C，D四点在同一条直线上． (1)若AB=CD， ①比较线段的大小：AC______BD；（填“>”“=”或“<”） ②若BC= 3 4 AC，且AC=24 cm，则AD的长为______m； (2)若线段AD被点B，C分成了3:4:5三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离 是20m，求AD的长． 【答】(1)①=；②30 (2)30m 【分析】(1)①根据等式的性质，得出答；②求出B 的值，再求出B、D 的长，进而求出D 的长即可； (2)根据线段的比，线段中点的意义，设未知数，列方程求解即可． （1） ①∵B= D， ∴B+ B= D+ B， 即，= BD， 故答为： =； ②∵B=3 4 ，且 = 24m， ∴B=3 4 ×24= 18(m)， ∴B=D=-B=24-18=6 (m) ∴D= +D= 24+6= 30 (m) 故答为：30； （2） 解：如图1 所示， 1 ∵线段AD被点B，C分成了3:4:5三部分， 设AB=3 x，则BC=4 x，CD=5 x， 因为M是AB的中点，N是CD的中点， 所以BM=1 2 AB=3 2 x，CN=1 2 CD=5 x 2 ， 所以3 2 x+4 x+ 5 2 x=20； 得x=5 2； 所以AD=3 x+4 x+5 x=12 x=12× 5 2=30cm． 【点睛】本题考查线段的和差及其中点的有关计算，理解线段中点的意义是正确计算的前 提，以及根据已知，用方程思想解决问题是解题关键 【变式2-1】（2022·山东枣庄东方国际学校七年级阶段练习）如图，点、B 在线段EF上， 点M、分别是线段EA、BF的中点，EA : AB:BF=1:2:3，若MN=6cm，求线段EF的 长． 【答】EF的长为9cm． 【分析】由于E：B：BF=1：2：3，可以设E=x，B=2x，BF=3x，而M、分别为E、BF 的中 点，那么线段M 可以用x 表示，而M=6m，由此即可得到关于x 的方程，解方程即可求出 线段EF 的长度． 【详解】解：设EA=x cm ∵EA : AB:BF=1:2:3， ∴AB=2 x cm，BF=3 x cm， 而M、分别为EA、BF的中点， ∴MA=1 2 EA，NB=1 2 BF， ∴MN=MA+ AB+BN=1 2 x+2 x+ 3 2 x=4 x cm， ∵MN=6cm， ∴4 x=6， 1 ∴x=3 2， ∴EF=EA+ AB+BF=6 x=9cm． ∴EF的长为9cm． 【点睛】本题考查了两点间的距离．利用线段中点的性质转化线段之间的倍分关系是解题 的关键，同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的 一点． 【变式2-2】（2022·山东泰安·期中）如图，已知数轴上有两点，B，它们的对应数分别是， b，其中＝12． (1)在B 左侧作线段B＝B，在B 的右侧作线段BD＝3B（要求尺规作图，不写作法，保留作 图痕迹） (2)若点对应的数是，点D 对应的数是d，且B＝40，求，d 的值． (3)在（2）的条件下，设点M 是BD 的中点，是数轴上一点，且＝4D，请直接写出M 的长． 【答】(1)见解析 (2)＝－68，d＝92 (3)M＝28 或340 3 【分析】（1）利用圆规量得B 的长度，以点B 为圆心，B 为半径画弧，交点B 左边的坐标 轴于一点，即为点；再点为圆心，B 为半径画弧，交点右边的坐标轴于一点，再以此点为 圆心，B 为半径画弧，交圆心右边的坐标轴于另一点，则此交点为点D； （2）根据线段之间的等量关系求得、D 的长度，从而得出点所表示的数； （3）分两种情况分析：①点在线段D 上；②点在线段D 的延长线上． 【详解】（1）解：线段B、BD 为所求线段，如图所示： （2）解：∵B＝40，B＝B， ∴＝2B＝80， ∵＝12， ∴＝12－80＝－68， ∵BD＝3B， ∴BD＝120， ∴D＝80， 1 设d 为x 则，x－12＝80， 解得：x＝92， ∴d＝92． （3）解：①当点在线段D 上时， 由（2）得D＝92﹣（﹣68）＝160，点B 对应的数为12 40 ﹣ ＝﹣28， ∴BD＝92﹣（﹣28）＝120， ∵点M 是BD 的中点， ∴点M 对应的数为92 60 ﹣ ＝32， ∵＝4D， ∴D＝1 5 CD=32， ∴点对应的数为92−32=60， ∴M＝60−32=28； ②当点在线段D 的延长线上时， ∵＝4D， ∴D＝3D=160， ∴DN=160 3 ， ∴点对应的数为92+ 160 3 = 436 3 ， ∴MN ＝436 3 −32=340 3 ； 故M 的长为28 或340 3 ． 【点睛】本题主要考查了数轴与有理数的关系和线段中点的有关计算，解题关键是抓住线 段之间的关系，体现了数形结合思想． 【变式2-3】（2022·山西晋城·七年级期末）如图，数轴上点、B 对应着数10、15．、D 两 点同时从点、原点出发分别以1cm/s和2cm/s的速度沿数轴向右运动．设运动时间为t s． (1)当t=2时，请说明BC=1 2 AD； 1 (2)当t>5，且CD=AB时，求t 的值； (3)取线段CD的中点M，当BM= 1 4 OA时，求t 的值． 【答】(1)BC=1 2 AD (2)t=15 (3)t=5或t=25 3 【分析】（1）分别计算出B 和D 即可等到BC=1 2 AD； （2）先计算得到D 的关于t 的表达式，再根据CD=AB求出t 即可； （3）根据M 在点B 前面和后面两种情况分别计算出BM关于t 的表达式，再根据 BM= 1 4 OA即可计算出t． （1） 当t=2时，AC=1×t=2,BC=OB−(OA+ AC )=15−10−2=3 ， OD=2×t=4,AD=OA−OD=10−4=6， ∴BC=1 2 AD; （2） 当D 在后面时，如下图所示， OD=2t,OC=OA+ AC=10+t，CD=OC−OD=10−t,AB=15−10=5 ∵CD=AB， ∴10−t=5， ∴t=5（舍去）， 点D 在点的前面时，如下图所示， CD=OD−OC=2t−(10+t )=t−10, ∵CD=AB， ∴t−10=5， 即t=15． 1 （3） 当点M 在点B 左边时， BM=OB−OM ¿OB−OD−DM ¿15−2t−1 2 (10+t−2t ) ¿10−3 2 t 又∵BM= 1 4 OA， ∴10−3 2 t= 1 4 ×10 即t=5； 当点M 在点B 右边时， BM=OM−OB ¿OD+DM−OB ¿2t+ 1 2 (10+t−2t )−15 ¿ 3 2 t−10 又∵BM= 1 4 OA 3 2 t−10= 1 4 ×10 即t=25 3 ， ∴t=5或t=25 3 ． 【点睛】本题考查数轴上的点及线段的长度，解题的关键是根据题意建立等式 【题型3 线段中的分类讨论思想】 【例3】（2022·全国·七年级专题练习）已知线段AB上有两点、D，使得 AC ∶CD∶DB=1∶2∶3，M 是线段AC的中点，点是线段AB上的点，且满足 DN= 1 4 DB，AB=24，求MN的长． 【答】7 或13 【分析】设AC=x，则CD=2 x，DB=3 x，根据题意得x+2 x+3 x=24，计算得x=4， 1 即可得AC=4，CD=8，DB=12，CB=20，根据点M 是线段AC的中点得 MC=1 2 AC=2，根据DB=12，DN= 1 4 DB得DN=3，分以下两种情况：①当点在线段 CD上时， ②当点在线段DB上时，进行计算即可得． 【详解】解：设AC=x，则CD=2 x，DB=3 x， ∵AB=24， ∴x+2 x+3 x=24， 6 x=24 解得x=4， ∴AC=4，CD=8，DB=12，CB=20， ∵点M 是线段AC的中点， ∴MC=1 2 AC=2， ∵DB=12，DN= 1 4 DB， ∴DN= 1 4 ×12=3， 分以下两种情况： ①当点在线段CD上时，MN=MC+CD−DN=2+8−3=7， ②当点在线段DB上时，MN=MC+CD+DN=2+8+3=13， 综上所述，线段MN的长度为7 或13． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离的计算，线段的中点的性质，解 题的关键是掌握线段中点的性质，分类讨论． 【变式3-1】（2022·福建省永春第一中学七年级阶段练习）如图，在数轴上点表示数，B 点表示数b，B 表示点和B 点之间的距离，且、b 满足(a+1) 2+¿b−3∨¿0． (1)填空：＝ ，b＝ ，B＝ ； (2)若数轴上存在一点，且＝2B，求点表示的数； (3)若在原点处放一挡板，一小球甲从点处以1 个单位/秒的速度向左运动，同时另一小球乙 从点B 处以2 个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点） 以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）． ①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t 表示）； ②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间． 【答】(1)－1，3，4 1 (2)5 3或7 (3)①甲：t+1；乙：3−2t或2t−3；②t=2 3秒或t=4秒 【分析】（1）先根据非负数的性质求出、b 的值，再根据两点间的距离公式求得、B 两点 之间的距离； （2）分点在线段B 上和线段B 的延长线上两种情况讨论即可求解； （3）①甲球到原点的距离=甲球运动的路程+的长，乙球到原点的距离分两种情况：（Ⅰ） 当0＜t≤3 2时，乙球从点B 处开始向左运动，一直到原点，此时B 的长度-乙球运动的路程 即为乙球到原点的距离；（Ⅱ）当t＞3 2时，乙球从原点处开始向右运动，此时乙球运动的 路程-B 的长度即为乙球到原点的距离； ②分两种情况：（Ⅰ）0＜t≤3 2，（Ⅱ）t＞3 2，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出 关于t 的方程，解方程即可． （1） 因为(a+1) 2+¿b−3∨¿0， 所a+1=0,b−3=0， 所以a=−1,b=3； 所以B 的距离＝¿b−a∨¿4， 故答为：－1，3，4； （2） 设数轴上点表示的数为． 因为AC=2BC， 所以¿c−a∨¿2∨c−b∨¿，即¿c+1∨¿2∨c−3∨¿． 因为AC=2BC>BC， 所以点不可能在B 的延长线上，则点可能在线段B 上和线段B 的延长线上． ①当点在线段B 上时，则有−1<c<3， 得c+1=2(3−c)，解得c=5 3； ②当点在线段B 的延长线上时，则有c>3， 得c+1=2(c−3)，解得c=7． 1 故