专题15.4 分式方程的应用【八大题型】（原卷版）

专题154 分式方程的应用【八大题型】 【人版】 【题型1 行程问题】................................................................................................................................................. 1 【题型2 工程问题】................................................................................................................................................. 2 【题型3 销售利润问题】.........................................................................................................................................3 【题型4 航行问题】................................................................................................................................................. 4 【题型5 和、差、倍、分问题】.............................................................................................................................5 【题型6 数字问题】................................................................................................................................................. 5 【题型7 图形问题】................................................................................................................................................. 6 【题型8 方问题】..................................................................................................................................................... 7 【题型1 行程问题】 【例1】（2022·河南许昌·八年级期末）小丽和小颖相约周末到时代广场看电影，她们的家 分别距离时代广场1800m 和2400m 两人分别从家中同时出发，已知小丽和小颖的速度比是 2:3，结果小丽比小颖晚4m 到达剧院． （1）求两人的速度． （2）要想同时达到，小颖速度不变，小丽速度需要提高 m/m 【变式1-1】（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校九年级期中）某天运动员小伟沿 平路从家步行去银行办理业务，到达银行发现没有带银行卡（停留时间忽略不计），立即 沿原路跑回家．已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4 倍，已知小伟家 到银行的平路距离为2800 米，小伟从离家到返回家共用50 分钟． (1)求小伟在平路上跑步的平均速度是多少？ (2)小伟找到银行卡后，发现离银行下班时间仅剩半小时，为了节约时间，小伟选择另外一 条近的坡路去银行，小伟先上坡再下坡，用时9 分钟到达银行．已知上坡的平均速度是平 路上跑步的平均速度的5 7 ，下坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的5 4 ，且上坡路程是 下坡路程的2 倍，求这段坡路的总路程是多少米？ 【变式1-2】（2022·全国·八年级）小明家距离科技馆1900米，一天他步行去科技馆看表演， 走到路程的一半时，小明发现忘带门票，此时离表演开始还有23分钟，于是立刻步行回家 取票，随后骑车赶往科技馆．已知小明骑车到科技馆比他步行到科技馆少用20分钟，且骑 车的速度是步行速度的5倍，小明进家取票时间共用4分钟． 1 （1）小明步行的速度是每分钟多少米？ （2）请你判断小明能否在表演开始前赶到科技馆，并通过计算说明理由． 【变式1-3】（2022·湖北襄阳·八年级期末）小明和小强两名运动爱好者周末相约到滨江大 道进行跑步锻炼． （1）周六早上6 点，小明和小强同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为 4500 米和1200 米的滨江大道入口汇合，结果同时到达若小明每分钟比小强多行220 米， 求小明和小强的速度分别是多少米/分？ （2）两人到达滨江大道后约定先跑1000 米再休息小强的跑步速度是小明跑步速度的m倍， 两人在同起点，同时出发，结果小强先到目的地n分钟． ①当m=3，n=6时，求小强跑了多少分钟？ ②小明的跑步速度为_______米/分（直接用含m，n的式子表示）． 【题型2 工程问题】 【例2】（2022·全国·七年级专题练习）湖州市在2017 年被评为“全国文明城市”，在评 选过程中，湖州市环卫处每天需负责市区范围420 千米城市道路的清扫工作，现有环卫工 人直接清扫和道路清扫车两种马路清扫方式已知20 名环卫工人和1 辆道路清扫车每小时可 以清扫20 千米马路，30 名环卫工人和3 辆道路清扫车每小时可以清扫42 千米的马路 （1）1 名环卫工人和1 辆道路清扫车每小时各能清扫多长的马路？ （2）已知2017 年环卫处安排了50 名环卫工人参与了直接清扫工作，为保证顺利完成每日 的420 千米清扫工作，需派出多少辆道路清扫车参与工作（已知2017 年环卫工人与清扫车 每天工作时间为6 小时）？ （3）为了巩固文明城市创建成果，从2018 年5 月开始，环卫处新增了一辆清扫车参与工 作，同时又增加了若干个环卫工人参与直接清扫，使得每日能够较早的完成清扫工作． 2018 年6 月市环卫处扩大清扫范围60 千米，同时又增加了20 名环卫工人直接参与清扫， 此时环卫工人和清扫车每日工作时间仍与5 月份相同，那么2018 年5 月环卫处增加了多少 名环卫工人参与直接清扫？ 【变式2-1】（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级阶段练习）某工厂制作一批零件，由一 名工人做要80 完成，现计划由一部分工人先做2 然后增加5 名工人与他们一起做8 小时， 完成这项工作的3 4 。假设这些工人的工作效率相同，具体应先安排几名工人工作？ 【变式2-2】（2022·辽宁·大石桥市石佛中学八年级期末）大石桥市政府为了落实“暖冬惠 民工程”，计划对城区内某小区的部分老旧房屋及供暖管道和部分路段的人行地砖、绿化 带等公共设施进行全面更新改造．该工程乙队单独完成所需天数是甲队单独完成所需天数 的15 倍 ， 若甲队先做10 天，剩下两队合作30 天完成． （1）甲乙两个队单独完成此项工程各需多少天？ 1 （2）已知甲队每天的施工费用为84 万元，乙对每天的施工费用为56 万元，工程施工的预 算费用为500 万元，为了缩短工期并高效完成工程，拟预算的费用是否够用？若不够用， 需追加预算多少万元？请说明理由． 【变式2-3】（2022·广西贵港·八年级期中）某校改造维修田径运动场所，项目承包单位派 遣了一号施工队进场施工，计划用30 天完成整个工程．当一号施工队施工10 天后，由于 实际需要，要求整个工程比原计划提前8 天完成，于是承包单位再派遣二号施工队与一号 施工队共同施工，结果按实际需要如期完成整个工程 (1)如果二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？ (2)如果一号、二号施工队同时进场共同施工，完成整个工程需要多少天？ 【题型3 销售利润问题】 【变式3-1】（2022·四川南充·八年级期末）超市用2500 元购进某品牌苹果，以每千克8 元 的单价试销．销售良好，超市又安排4500 元补货．补货进价比上次每千克少05 元，数量 是上次的2 倍． （1）求两次进货的单价分别是多少元． （2）当售出大部分后，余下200 千克按75 折售完，求两次销售苹果的毛利． 【变式3-2】（2022·湖南·邵阳市第六中学八年级阶段练习）在落实“精准扶贫”战略中， 三峡库区某驻村干部组织村民依托著名电商平台“拼多多”组建了某土特产专卖店，专门 将进货自本地各家各户的、B 两款商品销售到全国各地．2020 年10 月份，该专卖店第一次 购进商品40 件，B 商品60 件，进价合计8400 元；第二次购进商品50 件，B 商品30 件， 进价合计6900 元． （1）求该专卖店10 月份、B 两款商品进货单价分别为多少元？ （2）10 月底，该专卖店顺利将两次购进的商品全部售出．由于季节原因，B 商品缺货，该 专卖店在11 月份和12 月份都只能销售商品，且商品11 月份的进货单价比10 月份上涨了 m 元，进价合计49000 元；12 月份的进货单价又比11 月份上涨了05m 元，进价合计61200 元，12 月份的进货数量是11 月份进货数量的12 倍．为了尽快回笼资金，商品在11 月份和 12 月份的销售过程中维持每件150 元的售价不变，到2021 年元旦节，该专卖店把剩下的 50 件商品打八折促销，很快便售完，求该专卖店在商品进货单价上涨后的销售总金额为多 少元？ 【变式3-3】（2022·浙江·八年级期末）某药店采购部于7 月份和8 月份分别用16000 元和 40000 购两批口罩，8 月份每盒口罩的进价比7 月份上涨20 元，且数量是7 月份购进数量 的2 倍． （1）求7 月份购进了口罩多少盒？ （2）该药店在7，8 月份均将当月购进的口罩平均分给甲、乙两家分店销售，并统一规定 1 每盒口罩的标价为150 元．已知7 月份两店按标价各卖出a盒后，甲店剩余口罩按标价的八 折出售；乙店剩余口罩先按标价的九折售出b盒后，再将余下口罩按标价七折全部售出， 结果利润与甲店相同． ①用含b的代数式表示a． ②8 月份，乙店计划将分到的口罩按标价出售n箱后，剩余口罩全部捐献给医院．若至少 捐赠96 盒口罩，且预计乙店7，8 月份能从这两批口罩销售中获得的总利润为2000 元，求 a,b,n所有可能的值． 【题型4 航行问题】 【例4】（2022·福建省福州育学院附属中学模拟预测）已知A ,B两港之间的距离为150 千 米，水流速度为5 千米/时． (1)若一轮船从港顺流航行到B 港所用的时间是从B 港逆流航行到港所用时间的2 3，求该轮 船在静水中的航行速度； (2)记某船从港顺流航行到B 港，再从B 港逆流航行返回到港所用的时间为t1；若该船从港 航行到B 港再返回到港均为静水航行，所用时间为t2，请比较t1与t2的大小，并说明理由． 【变式4-1】（2022·新疆·吐鲁番市高昌区第一中学八年级期中）一艘轮船在静水中的最大 航速为40千米/时，它沿江以最大航速顺流航行70千米所用时间，与以最大航速逆流航行 30千米所用时间相等．求江水的流速为多少千米/时． 【变式4-2】（2022·吉林四平·七年级期末）两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水， 乙船逆水，两船在静水中的速度都是50km/，水流速度是km/． （1）2 后两船相距多远？ （2）2 后甲船比乙船多航行多少千米？ （3）一艘小快艇送游客在甲、乙两个码头间往返，其中去程的时间是回程的时间3 倍，则 小快艇在静水中的速度v 与水流速度的关系是 ． 【变式4-3】（2022·全国·八年级单元测试）一小船由A港到B港顺流航行需6 小时，由B港 到A港逆流航行需8 小时小船从早晨6 时由A港到B港时，发现一救生圈在途中掉落水中， 立即返航，2 小时后找到救生圈 问：（1）小船由A港漂流到B港需要多少小时？ （2）救生圈是何时掉入水中的？ 【题型5 和、差、倍、分问题】 【例5】（2022·江苏淮安·八年级期末）第5 代移动通信技术简称5G，某地已开通5G 业务， 经测试5G 下载速度是4G 下载速度的15 倍，小明和小强分别用5G 与4G 下载一部600 兆 的公益片，小明比小强所用的时间快140 秒，求该地5G 下载速度是每秒多少兆？ 【变式5-1】（2022·江苏·仪征市实验中学东区校九年级阶段练习）某生态示范村种植基地 1 计划种植一批葡萄，原计划总产量要达到36 万斤．为了满足市场需求，现决定改良葡萄品 种．改良后平均每亩产量是原计划的15 倍，总产量比原计划增加了8 万斤，种植亩数减少 了20 亩，则改良后平均每亩产量是多少万斤？ 【变式5-2】（2022·北京八中八年级期中）“绿色环保，健康出行”新能源汽车越来越占 领汽车市场，以“北汽”和“北汽 新能源 EV500”为例，分别在某加油站和某充电站加油 和充电的电费均为 300 元，而续 航里程之比则为 1 4 ∶．经计算新能源汽车相比燃油车节约 06 元/公里． （1）分别求出燃油车和新能源汽车的续航单价（每公里费用）； （2）随着更多新能源车进入千家万户，有条件的小区及用户将享受 048 元/度的优惠专用 电费．以新能源 EV500 为例，充电 55 度可续航 400 公里，试计算每公里所需电费， 并求 出与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比． 【变式5-3】（2022·浙江舟山·七年级期末）舟山市疫情防控工作领导小组在5 月30 日发布 了常态化核酸检测工作的通知，6 月3 日起我市居民进入公共场所须凭7 天内核酸采样或检 测阴性证明．根据文件要求，学生在校期间每周要组织核酸检测一次，某校积极响应，安 排校医甲和师乙进行核酸采集培训．经过培训后，甲采集的速度是乙的两倍，且甲采集52 人用时比乙采集30 人用时少2 分钟． (1)求甲、乙平均每分钟分别采集多少人？ (2)该校七年级学生人数比八年级少18 人，其中七年级有7 个班，每班m 人，8 八年级有6 个班，每班人，两名采集员各自用了87 分钟完成了七、八年级学生核酸采集工作，求m 和 的值； (3)该校职工70 人完成核酸采集后要放入10 人试管或20 人试管中，在保证每个试管不浪费 情况下，有哪几种分装方？ 【题型6 数字问题】 【例6】（2022·贵州·铜仁市第十一中学八年级期中）一个两位数的十位数字是6，如果把 十位数字与个位数字对调，那么所得的两位数与原来的两位数之比是4 7 ，原来得两位数是_ _____． 【变式6-1】（2022·全国·八年级课时练习）有一个两位数，它的个位数字比十位数字大 1，这个两位数被个位数字除时，商是8，余数是2，求这个两位数． 【变式6-2】（2022·山东潍坊·八年级期末）一个二位数的十位数字与个位数字的和是12， 如果交换十位数字与个位数字的位置并把所得到的新的二位数作为分子，把原来的二位数 作为分母，所得的分数约分为4 7 ，则这个二位数是_____． 【变式6-3】（2022·全国·八年级专题练习）一个两位数，个位上的数比十位上的数大4， 1 用个位上的数去除这个两位数商是3，求这个两位数 【题型7 图形问题】 【例7】（2022·全国·七年级单元测试）已知一个长方形的长是40，宽是30，现要把它的 长和宽减少相同的长度后，使新的长方形的长和宽之比是7:5，减少的长度是______ 【变式7-1】（2022·福建省泉州第一中学八年级期末）如图，“丰收1 号”小麦的试验田 是边长为am(a>1)的正方形去掉一个边长为1m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2 号”小麦的试验田是边长为(a-1)m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 kg． (1)“丰收1 号”单位面积产量为 kg/m 2，“丰收2 号”单位面积产量为 kg/m 2 （结果用含a的式子表示）； (2)若“丰收2 号”的单位面积产量是“丰收1 号”的单位面积产量的1.5倍，求a的值． 【变式7-2】（2022·浙江·七年级阶段练习）李师傅要给一块长9 米，宽7 米的长方形地面 铺瓷砖，如图，现有和B 两种款式的瓷砖，且款正方形瓷砖的边长与B 款长方形瓷砖的长 相等，B 款瓷砖的长大于宽，李师傅打算按如下设计图的规律进行铺瓷砖，若款瓷砖的用 量比B 款瓷砖的2 倍少14 块，且恰好铺满地面，则B 款瓷砖的长为_______米，宽为_____ __米． 【变式7-3】（2022·浙江杭州·七年级期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1 所 示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，加工成如图 2 所示的竖式和横式两种无盖的长方体纸箱（加工时接缝材料不计） 1 图1 图2 （1）若该厂仓库里有1000 张正方形纸板和2000 张长方形纸板．问竖式和横式纸箱各加工 多少个，恰好将库存的两种纸板全部用完？ （2）该工厂原计划用若干天加工纸箱2400 个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天 加工速度是原计划的15 倍，这样提前2 天完成了任务，问原计划每天加工纸箱多少个？ 【题型8 方问题】 【例8】（2022·四川成都·八年级期末）某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5 个月后，乙队再加入合作3 个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要10 个月可以 完成． （1）乙队单独完成这项工程需要几个月？ （2）已知甲队每月施工费用为15 万元，比乙队多6 万元，按要求该工程总费用不超过141 万元，工程必须在一年内竣工（包括12 个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做个月， 乙队做b 个月（、b 均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方？ 【变式8-1】（2022·河南南阳·三模）某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市 区S米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工． （1）已知甲工程队改造360 米的道路与乙工程队改造300 米的道路所用时间相同．若甲工 程队每天比乙工程队多改造30 米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米． （2）若甲工程队每天可以改造a米道路，乙工程队每天可以改造b米道路，（其中a≠b）． 现在有两种施工改造方： 方一：前1 2 S米的道路由甲工程队改造，后1 2 S米的道路由乙工程队改造； 方二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造． 根据上述描述，请你判断哪种改造方所用时间少？并说明理由． 【变式8-2】（2022·云南大理·八年级期末）某开发公司生产的 960 件新产品需要