专题20.1 数据的分析【八大题型】（解析版）

专题201 数据的分析【八大题型】 【人版】 【题型1 求一组数据的平均数、中位数、众数或方差】......................................................................................2 【题型2 已知平均数、中位数、众数或方差求未知数据的值】..........................................................................4 【题型3 利用平均数、中位数、众数或方差做决策】..........................................................................................6 【题型4 利用已知数据的平均数求相关数据的平均数】......................................................................................8 【题型5 出错情况下的统计量问题】...................................................................................................................10 【题型6 利用方差判断稳定性】...........................................................................................................................12 【题型7 四种统计量的选择】...............................................................................................................................15 【题型8 统计量的综合应用】...............................................................................................................................17 【知识点1 平均数】 平均数： 加权平均数： x= x1k1+x2k2+⋯+xnkn k1+k2+⋯+kn （x1、x2 …xn 的权分别是k1、k2 …kn ） 新数据的平均数：当所给数据都在某一常数的上下波动时，一般选用简化公式： x=x'+a 。 其中，常数通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，x'1=x1−a ，x'2=x2−a ，…， x'n=xn−a 。 x'=1 n ( x'1+x'2+⋯+x'n) 是新数据的平均数（通常把x1, x2,⋯, xn,叫做原 数据，x'1, x'2,⋯, x'n,叫做新数据）。 【知识点2 众数与中位数】 众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。 中位数：将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列。如果数据的个数是奇数， 则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据 的平均数为这组数据的中位数。 【知识点3 方差】 1 方差： s2=1 n [( x1−x)2+( x2−x)2+…+( xn−x)2] 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。 【题型1 求一组数据的平均数、中位数、众数或方差】 【例1】（2022·四川成都·三模）每年的4 月23 日为“世界读书日”，某学校为了鼓励学 生多读书，开展了“书香校”的活动．如图是初三某班班长统计的全班50 名学生一学期课 外图书的阅读量（单位：本），则这50 名学生图书阅读数量的中位数，众数和平均数分别 是（ ） ．18，12，12 B．12，12，12 ．15，12，148 D．15，10，145 【答】 【分析】利用折线统计图得到50 个数据，其中第25 个数为12，第26 个数是18，从而得 到数据的中位数，再求出众数和平均数 【详解】解：由折线统计图得这组数据的中位数为（12+18）÷2＝15， 众数为12， 平均数为（7×8+12×17+18×15+21×10）÷50＝148 故选：． 【点睛】本题考查了数据的集中趋势，理解相关统计量的意义及从折现统计图准确读取数 据是解题关键． 【变式1-1】（2022·安徽合肥·八年级期末）已知一组数据5，15，75，45，25，75，45， 25，45，35，那么45是这组数据的（ ） ．众数 B．中位数 ．平均数 D．方差 【答】 【分析】将数据重新排列，再根据众数、中位数、平均数及方差的定义计算即可解答． 【详解】解：将这组数据重新排列为：5，15，25，25，35，45，45，45，75，75， 所以这组数据的众数为45，中位数为35+45 2 =40，平均数为 1 1 10 × (5+15+25+25+35+45+45+45+75+75)=39， ∴其方差为1 10 ׿， 故选：． 【点睛】本题主要考查方差、众数、中位数、平均数等知识点，解题的关键是灵活运用相 关定义． 【变式1-2】（2022·黑龙江绥化·八年级期末）小芳测得连续五日最低气温并整理后得出下 表： 日期 一 二 三 四 五 方差 平均气温 最低气 温 1 3 2 5 3 由于不小心第4 日及方差两个数据被墨迹污染，这两个数据是_____． 【答】4 和2 【分析】根据平均数算出5 天气温的总和，进而算出第四日的气温，根据平均数和每日的 气温算出方差． 【详解】解：3×5=15， 15-1-3-2-5=4， ∴方差S 2= (1−3) 2+(3−3) 2+(2−3) 2+(4−3) 2+(5−3) 2 5 =2， 故答为：4 和2． 【点睛】本题考查平均数和方差，能够根据平均数和每日的气温算出方差是解决本题的关 键． 【变式1-3】（2022·山东济宁·八年级期末）小明八年级下学期的数学成绩如下表所示： 考试类 别 平时成绩 期中成绩 期末成绩 单元1 单元2 单元3 单元4 单元5 成绩 87 84 81 83 90 86 88 (1)计算小明该学期的平时平均成绩． (2)如果按平时占20％，期中占30％，期末占50％计算学期的总评成绩．请计算出小明该 学期的总评成绩． 【答】(1)85 1 (2)868 【分析】（1）根据算术平均数的定义列式计算可得； （2）利用加权平均数的概念求解可得． （1）由表可知，小明平时的平均成绩为：87+84+81+83+90 5 =85 （2）小明该学期的总评成绩为85×20%+86×30%+88×50%=868（分）． 【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握算术平均数和加权平均数的定义． 【题型2 已知平均数、中位数、众数或方差求未知数据的值】 【例2】（2022·江苏·九年级专题练习）已知一组数据1，2，3，4，5，，b 的平均数是4， 若该组数据的中位数小于4，则的值可能是（ ） ．7 B．8 ．9 D．10 【答】D 【分析】由平均数定义可得a+b的值，再由中位数的定义可知、b 中必有一个是小于4 的， 即可得出答． 【详解】解：∵数据1，2，3，4，5，，b 的平均数是4， ∴1+2+3+4+5+a+b=7×4=28 ， ∴a+b=13 ， 将此组数据由小到大排列，则第4 个数据即为中位数， 又∵该组数据的中位数小于4， ∴，b 两数中必有一个值小于4， ∵a+b=13， ∴，b 两数中较大的数的值大于9， ∴的值可能是10． 故选：D． 【点睛】本题考查了平均数定义：所有数的总和除以数的个数；中位数定义：将一组数据 从小到大排列，若奇数个数据则中间的就是中位数，若偶数个数据，则取中间两个数的平 均数作为中位数；熟练掌握平均数和中位数定义是解题的关键． 【变式2-1】（2022·内蒙古呼和浩特·三模）已知一组正整数2，m，3，n，3，2 的众数是 2，且m，n是一元二次方程x 2−7 x+k=0的两个根，则这组数据的中位数是（ ） ．2 B．25 ．3 D．35 【答】B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到m+n=7，再结合m，n是正整数，及众数 是2，得到¿或¿，按照中位数的概念求解即可． 【详解】解：∵ m，n是一元二次方程x 2−7 x+k=0的两个根， 1 ∴m+n=7， ∵ m，n是正整数， ∴¿，¿，¿，¿，¿，¿， 若一组正整数2，m，3，n，3，2 的众数是2， ∴ ¿或¿， 将这组数据按照从小到大的顺序排列2,2,2,3,3,5， ∴这组数据的中位数是第3 位与第4 位的平均值，即2+3 2 =5 2=2.5， 故选：B． 【点睛】本题考查中位数的求法，涉及到一元二次方程根与系数的关系、众数的概念与求 法，掌握相关概念及求解方法是解决问题的关键． 【变式2-2】（2023·河北·九年级专题练习）佳佳同学5 次上学途中所花时间（单位：m） x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x 2+ y 2的值为（ ） ．192 B．200 ．208 D．400 【答】 【详解】解：∵x，y，10，11，9 这组数据的平均数为10， ∴x+y+10+11+9=5×10， ∴x+y=20， ∵x，y，10，11，9 这组数据的方差是2， ∴1 5[（x-10）2+（y-10）2+(10-10)2+(11-10)2+(9-10)2] =2 x2-20x+100+y2-20y+100+0+1+1=10 x ∴ 2+y2=10+20(x+y)-100-100-1-1=10+20×20-100-100-1-1=208， 故选：． 【点睛】考查了平均数、方差和代数式求值．熟练掌握平均数与方差的计算公式是解题的 关键． 【变式2-3】（2023·江西·九年级专题练习）已知一组从小到大排列的整数：x，3，y，2 x ，4，有唯一的众数4，则这组数据的中位数是______． 【答】4 【分析】根据题意，可假设x 分别为0、1、2、3，代入原数中判断即可得出答． 【详解】∵这列数都为整数，且已从小到大排列，有唯一众数4， ∴假设x＝0、1、2、3， 当x＝0 时，原数分别为0，3，y，0，4，不符合题意； 当x＝1 时，原数分别为1，3，y，2，4，不符合题意； 1 当x＝2 时，原数分别为2，3，y，4，4，符合题意，此时中位数为y， ①当y＝3 时，原数分别为2，3，3，4，4，不符合题意； ②当y＝4 时，原数分别为2，3，4，4，4，符合题意； 当x＝3 时，原数分别为3，3，y，6，4，不符合题意． 故答为：4． 【点睛】本题考查众数与中位数，一列数据中，出现次数最多的数是众数；一组数据从小 到大排列，当数据是奇数个时，中间的那个数是中位数，当数据是偶数个时，中间的两个 数的平均数就是中位数，熟练掌握相关概念并正确理解题意是解题的关键． 【题型3 利用平均数、中位数、众数或方差做决策】 【例3】（2018·北京房山·二模）某校广播台要招聘一批小主持人，对、B 两名小主持人进 行了专业素质、创新能力、外语水平和应变能力进行了测试，他们各项的成绩（百分制） 如表所示： 应聘者 专业素质 创新能力 外语水平 应变能力 73 85 78 85 B 81 82 80 75 如果只招一名主持人，该选用______；依据是_____．（答不唯一，理由支撑选项即可） 【答】 的平均成绩高于B 平均成绩 【分析】根据表格求出,B 的平均成绩,比较大小即可解题 【详解】解：的平均数是8025,B 的平均数是795, ∴比B 更优秀, ∴如果只招一名主持人，该选用；依据是的平均成绩高于B 平均成绩 【点睛】本题考查了平均数的实际应用,属于简单题,从表格中找到有用信息是解题关键 【变式3-1】（2022·湖南·邵阳县育科学研究室七年级期末）去年某果随机从甲、乙、丙、 丁四个品种的葡萄树中各采摘了10 棵葡萄树，每棵葡萄树产量的平均数x（单位：千克） 及方差S 2（单位：千克❑ 2）如下表所示： 品种 甲 乙 丙 丁 平均数（x ） 21 24 25 25 方差（S 2） 18 19 18 2 今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是______． 【答】丙 1 【分析】分别从平均数和方差两个方面进行分析，综合即可得到答． 【详解】解：从平均数来看，丙与丁的平均数为25，是最高的，故丙与丁的平均产量最高； 从方差来看，甲与丙的方差为18，是最低，故甲和丙的产量最稳定；故产量既高又稳定的 葡萄树为丙， 故答为：丙． 【点睛】此题考查利用平均数与方差对数据进行分析，掌握平均数与方差考查数据的角度 是解题的关键． 【变式3-2】（2022·全国·八年级单元测试）甲、乙两班各有45 人，某次数学考试成绩的 中位数分别是88 分和90 分，若90 分及90 分以上为优秀，则优秀人数多的班级是_______ _ 【答】乙班 【详解】试题分析：根据中位数的定义：将甲、乙两班的45 人的数学成绩，从小到大排列 后，第23 人的成绩就是中位数．甲班为88 分，乙班为90 分． 若90 分及90 分以上为优秀，则优秀人数多的班级是乙班，至少是23 人． 故答为乙班． 点睛：本题考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，中 间的那个数（或中间两个数的平均数）． 【变式3-3】（2013·山西·八年级期末）为了解我市初三女生的体能状况，从某校初三的甲、 乙两班中各抽取27 名女生进行一分钟跳绳次数测试，测试数据统计结果如右表．如果每分 钟跳绳次数≥105 次的为优秀，那么甲、乙两班的优秀率的关系是______________________ ____． 班级 人数 中位数 平均数 甲班 27 104 97 乙班 27 106 96 【答】甲优＜乙优 【详解】试题分析：要比较甲乙两班的优秀率，只要比较一下中位数即可，甲乙两班的中 位数都为第13 位同学的成绩，所以，通过比较甲乙两班的中位数即可比较优秀率． 从表格中可看出甲班的中位数为104，104＜105，乙班的中位数为106，106 105， 即甲班大于105 次的人数少于乙班， 所以甲、乙两班的优秀率的关系是甲优＜乙优． 【点睛】本本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握中位数的概念，即可完成 【题型4 利用已知数据的平均数求相关数据的平均数】 【例4】（2022·安徽阜阳·八年级期末）已知一组数据、b、的平均数为5，则2a−3、 1 2b−3、2c−3的平均数是___________． 【答】7 【分析】根据数据，b，的平均数为5 可知1 3(+b+)=5，据此可得出1 3(2a−3+2b−3+2c−3 )的值即可． 【详解】解：已知1 3 (a+b+c)=5， 所以1 3 [(2a−3)+(2b−3)+(2c−3)]， ¿ 2 3 (a+b+c−9 2 )， ¿ 2 3 (a+b+c)−3， ¿7． 故答为：7． 【点睛】本题考查平均数，熟记平均数计算公式是解题的关键． 【变式4-1】（四川省德阳市绵竹市2022-2023 学年七年级上学期期末数学试题）如果m个 数的平均数是a，另外n个数的平均数是b，那么，这m+n个数的平均数是_______． 【答】am+bn m+n 【分析】根据“m个数的平均数是a，另外n个数的平均数是b”可求得m+n个数的和，再 用平均数的定义求解即可． 【详解】解：∵m个数的平均数是a，另外n个数的平均数是b， ∴m+n个数的和为m＋b， ∴这m+n个数的平均数是am+bn m+n ． 故答为：am+bn m+n ． 【点睛】此题主要考查了平均数，熟练掌握平均数的求法是解题的关键． 【变式4-2】（辽宁省葫芦岛市建昌县2022-2023 学年八年级下学期期末数学试题）将一组 数据的每一个数都减去30，所得新的一组数据的平均数是1，则原来那组数据的平均数为( ) ．31 B．30 ．1 D．29 【答】 【分析】设这组数据的平均数为x=1 n ( x1+x2+⋯+xn)=，根据每个数都减去30 的平均数 1 为, x'=a−30=1，求得=31． 【详解】设这组数据的平均数为x=1 n ( x1+x2+⋯+xn)=， 每个数都减去30，其平均数为, x'=1 n ( x1−30+x2−30+⋯+xn−30) ¿ 1 n ( x1+x2+⋯+xn)−1 n (30+30+…+30) ¿ =-1 n ×30n =-30 =1， 解得=31． 故选． 【点睛】本题主要考查了平均数，解决问题的关键是熟练掌握平均数的定义和计算方法． 【变式4-3】（浙江省杭州市三校2022-2023 学年八年级下学期期中检测数学试题）已知数 据1，2，3，4 的平均数为k1；数据5，6，7，8 的平均数为k2；k1与k2的平均数是k；数据 1，2，3，4，5，6，7，8 的平均数为m，那么k 与m 的关系是（ ） ．k>m B．k=m ．k<m D．不能确定 【答】B 【分析】根据平均数的定义可得1+2+3+4=4 k1，5+6+7+8=4 k2，从而得到 1+2+3+4+5+6+7+8=4 k1+4 k2=4 (k1+k2)，进而得到m=1 2 (k1+k2)，即可求解． 【详解】解：∵数据1，2，3，4 的平均数为k1；数据5，6，7，8 的平均数为k2， ∴1+2+3+4=4 k1，5+6+7+8=4 k2， ∴1+2+3+4+5+6+7+8=4 k1+4 k2=4 (k1+k2)， ∴m=1 8 ×4 (k1+k2)=1 2 (k1+k2)， ∵k1与k2的平均数是k， ∴k=1 2 (k1+k2)， ∴k=m． 故选：B 【点睛】本题主要考查了求平均数，熟练掌握平均数等于数据的总和除以数据的个数是解 题的关键． 1 【题型5 出错情况下的统计量问题】 【例5】（2022·河北·泊头市师发展中心九年级期中）某同学使用计算器求30 个数据的平 均数时，错将其中一个数据105 输入为15，那么所求出的平均数与实际平均数的差是___． 【答】-3 【分析】在输入的过程中错将其中一个数据105 输入为15 少输入90，在计算过程中共有 30 个数，所以少输入的90 对于每一个数来说少3，实际平均数与求出的平均数的差即可求 出． 【详解】∵在输入的过程中错将其中一个数据105 输入为15 则少输入90，即90 30 =3， ∴平均数少3， 求出的平均数与实际平均数的差为-3， 故答为：-3． 【